专题10 数列的通项与求和（十三大题型）-备战2023-2024学年高三数学上学期期中真题分类汇编（全国通用）

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专题10 数列的通项与求和


周期数列
1．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知数列满足：且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到.
【详解】因为，，，
所以，，，
故数列为周期是3的数列，
所以，
故选：B
2．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）已知数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及递推关系，结合数列的周期性即可求解.
【详解】由可知，得
因为,
所以，，，，，
所以是以3为周期的数列，则

故选：A.
3．（2022秋·江苏盐城·高三期中）（多选）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（    ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【答案】AC
【分析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【详解】因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
4．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）已知数列中，，则 ．
【答案】-3
【分析】根据递推公式计算，，，，发现数列的周期为6，然后根据周期求即可.
【详解】由题意得，，，，，，，所以数列的周期为6，.
故答案为：-3.
累加累乘法
5．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知数列满足，且，若，则正整数k为（    ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据递推公式可利用累加法求出与的关系，再由已知可求出的通项公式，
直接代入通项公式即可求出k的值
【详解】由已知可得，，，，左边相加等于右边相加，
整理可得，
又，代入，解得，进而求出，将
直接代入得，则，
故选：C
6．（广东省广州市培英中学2023届高三上学期期中）已知 ， 则（    ）
A．506 B．1011 C．2022 D．4044
【答案】D
【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.
【详解】解：，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
7．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ）
A．16 B．128 C．32 D．64
【答案】D
【分析】先用累乘法求出，对四个选项验证得符合题意，即可求解．
【详解】，
当时，．
故选：D．
8．（2022秋·辽宁沈阳·高三统考期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
9．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意可得，由此推得通项公式，再利用裂项相消法求得，从而对各选项进行判断即可.
【详解】根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，，，，且，
所以上述各式相加得，，
经检验：满足，所以，则，故C正确；
对于D，由选项C可知，
所以，故D正确.
故选：BCD.
10．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中）已知数列满足，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可．
【详解】，
，
，

，
由累加得
，
所以
，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，且，
或5时最小，
时，；
时，；
所以的最小值为
故答案为：．
待定系数法
11．（广东省华附、省实、广雅、深中2023届高三上学期期中）已知数列中，，则等于（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析得到数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列的通项即得解.
【详解】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.
故选：C
12．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）若，，则 ；
【答案】
【分析】设，求出，然后根据等比数列的定义即得.
【详解】解：设，
所以，
，，
所以，
所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：.
13．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中）已知数列满足且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】根据递推公式，构造等比数列，即可求得结果.
【详解】因为，所以，即，
即数列为首项3，公比为3的等比数列，
则=，
所以．
故答案为：.
【点睛】本题考查构造数列法求数列的通项公式，属基础题.
14．（湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知，，则的通项公式为
【答案】
【分析】首先求得的值，然后整理递推关系式，结合等差数列的通项公式即可确定其通项公式.
【详解】由递推关系式可得：，即，
且由可得，
故数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
则，，
故数列的通项公式为：.
故答案为．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．（山东省泰安第二中学2022-2023学年高三上学期期中）设为数列的前项和，已知，，则 ， .
【答案】
【分析】两边同除，令，则有且，则有，即可得；用错位相减法求和即可.
【详解】，令，则，
∴又，，∴；
①，②，
①减②得：，
∴，∴.
故答案为：；.
16．（山东省滨州市阳信县2022-2023学年高三上学期期中）已知数列中，，，则通项公式 ；前项和 .
【答案】
【分析】设实数满足，构造等比数列，即可求解通项公式，再由分组求和法代入求解前项和.
【详解】设实数满足，则，所以，可得是公比为的等比数列，又，所以，得；.
故答案为：；

取倒数法、取对数法
17．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知数列的前n项之和为，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将递推关系化简，求得通项公式，代入即可求得.
【详解】，
则，取倒数有，
则数列是以为首项，为公差的等差数列；
则，则
则
故选：D
18．（湖北省重点高中联考协作体2023届高三上学期期中）已知数列满足，.若，则数列的通项公式（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.
【详解】由，得，所以，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列求出是本题解题关键.
19．（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期中）已知数列满足，，则数列的前项和（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得.
【详解】已知数列满足，，
在等式两边同时取倒数得，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
20．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）数列中，，，则下列结论中正确的是（　　）
A．数列的通项公式为
B．数列为等比数列
C．数列为等比数列
D．数列为等差数列
【答案】C
【分析】求出数列的前3项，利用等比数列定义判断A，B；给定等式两边取对数可得，判断C，D作答.
【详解】数列中，，，则，，显然不成等比数列，A，B都不正确；
依题意，，由两边取对数得：，
因此，数列是首项为，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.
故选：C
21．（江苏省常州市华罗庚中学2022-2023学年高三上学期期中）数列中，若，，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】两边取对数，化简整理得，得到数列是以为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由，两边取对数，可得，即，
又由，则，所以数列是以为首项，公比为3等比数列，
则，所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
已知或者求通项公式
22．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知数列的前项和，若不等式，对任意恒成立，则整数的最大值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先利用公式，，求得数列的通项公式，代入不等式后，参变分离得，转化为求数列的最大值.
【详解】易知，，可得，两边同时除以可得，又因为时，，
所以数列是公差为1，首项为2的等差数列，
则，所以，由得，所以，即
令，因为，
当时，，即，数列单调递增，
当时，，即，数列单调递减，
且，，，
由数列的单调性可知的最大值为，所以，即，又因为，所以的最大值为3.
故选：B.
23．（江苏省徐州市第七中学2022-2023学年高三上学期期中）已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．
(1)证明：；
(2)若数列为等比数列，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）由消去等式中的，化简证明等式成立；
（2）由（1），利用得到数列的递推关系，由条件为等比数列，所以，解出.
【详解】（1）证明：∵，，
∴．∴．
∵，∴，∴．∴．
（2）由（1）知，，当时，，
两式相减，（，），
∴数列从第二项起成等比数列，且公比．
又，即，
∴， ∴，
∴当时，数列是等比数列．
24．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）（多选）若无穷数列的前项和为，且满足，则（    ）
A．为等比数列
B．不是递增数列
C．中存在三项成等差数列
D．中的偶数项成等比数列
【答案】BD
【分析】利用与的关系，求通项公式，再逐项判断即可作答.
【详解】无穷数列的前项和为，满足，
则当时，，当时，，不满足上式，
因此，
数列不是等比数列，A错误；
由于，因此数列不是递增数列，B正确；
假设数列中存在三项成等差数列，由于，则，
则有，即，整理得，
又，有，而恒成立，即不成立，
因此数列中找不到三项成等差数列，C错误；
显然，则有，即是等比数列，
因此数列中偶数项成等比数列，D正确.
故选：BD
25．（安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高三上学期期中）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）
A．是递增数列
B．
C．当时，
D．当或时，取得最大值
【答案】BCD
【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断每个选项的正误.
【详解】当时，，
又，所以，
则是递减的等差数列，故A错误；
，故B正确；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
26．（湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2023届高三上学期期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：
27．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知数列的前项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）仿照与的关系，由求，再求，注意讨论是否符合；
（2）先裂项求和，再证明不等式.
【详解】（1）当时，

相减得
当时，符合上式
所以.
当时，

当时，符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以


28．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考期中）设数列的前项和.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）式子取再两边同时乘2，与原式作差可整理得 ，再验证即可由公式法求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）解：当时，因为①，
所以，
所以②，
①②得，即，
当时，适合上式，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
（2）解：由（1）得，
所以
所以


因式分解型求通项
29．（2022秋·湖北·黄冈中学上学期期中）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和与项的关系可求得，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）知，从而利用裂项相消法求得，从而可证.
【详解】（1）∵，当时，，
两式相减得：，整理得，       
∵，∴，当时，，
∴（舍）或，                                        
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；
（2）由（1）知，，   
∴，
∵，∴，即．
30．（江苏省南通市如东高级中学2023届高三上学期期中）已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．求的通项公式.
【答案】，
【分析】由化简可得到的通项公式，将左右两边同除以可得是等差数列，即可得到的通项公式.
【详解】由可得，
，
因为，左右两边同除以，得，
所以数列是公差为1的等差数列，
，，
.
31．（河北省五个一联盟2023届高三上学期期中）已知递增数列满足．
(1)求；
(2)设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)；
(2)Sn=.
【分析】（1）由题可得，然后根据等差数列的概念即得；
（2）利用错位相减法即得.
【详解】（1）由，得，
即，
若，则，又，
所以数列为首项为7公差为4的等差数列；
若，由，得，（舍去）；
综上：；
（2）由（1）知，，所以数列的前n项和，


作差可得：

，
所以，
故的前n项和为Sn=.
32．（2022秋·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考期中）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】利用已知求的方法可以直接得出结果.
【详解】①；
当时，代入①得.
当时，②；
①-②得，
整理得，
因为，所以，
所以数列为等差数列，公差为1，
所以.

倒序相加法
33．（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三上学期期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.
【详解】依题意，记，
则，
又，两式相加可得
，
则.
故选：B．
34．（河北省廊坊市文安县2023届高三上学期期中）已知，则 .
【答案】4042
【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..
【详解】由，令可得，，
且，
则，
所以，函数关于点对称，即
由已知，，
又
两式相加可得，

所以，.
故答案为：4042.
35．（2022秋·湖南益阳·高三桃江县第一中学校考期中）已知函数，则 ．
【答案】4043
【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得

，
所以.
故答案为：.
36．（河北省廊坊市安次区2023届高三上学期期中）已知函数，数列是正项等比数列，且， ．
【答案】
【分析】由题意可得，利用倒序相加法求和即可.
【详解】解：由数列是正项等比数列，
且，可得，
因为，
可设，
又，
两式相加可得
，
所以．
故答案为：．
分组求和法
37．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）数列的前n项和为 .
【答案】
【分析】先利用等比数列前n项和公式得到，然后可直接求出前n项和.
【详解】观察数列得到，
所以前n项和
.
故答案为：.
38．（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆中学校考期中）已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，从而得到，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由可得，从而有，得到数列偶数项具有周期性，最后根据分组求和即可.
【详解】（1），，
，，
即，，即，
是以为首项，公比为的等比数列，
.
（2），
又，
，，
，即，
，即数列偶数项具有周期性，
，
所以·
39．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中期中）已知数列满足，，设.
(1)求证数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将条件等式两边同时除以后即可证明；
（2）代入，然后用分组求和法求和.
【详解】（1）由得，
即，又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，即；
（2）由（1）得，


.
40．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项．
(1)求；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量，从而利用公式法依次求得；
（2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
因为，则，即，
又因为成等比数列，所以，即，整理得，
又因为，所以，
联立，解得，
所以，
又，，是等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
所以
，
所以数列的前n项和.
41．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知数列，且满足，有.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，设数列的前项和为，试求和：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过和分奇偶求出数列的通项公式即可.
（2）先利用分组求和得到数列的前项和为，然后写出数列的通项公式，根据裂项相消法即可求和.
【详解】（1）由题设知，且，
易得，所以.
因为，①
所以，②
①②得，，
所以数列分别以为首项，公比都是4的等比数列，
从而，
所以.
即所求数列的通项公式为所以.
（2）由（1）及题设得，，
所以


，
所以，
所以
.
42．（山东省淄博市临淄中学2022-2023学年高三上学期期中）已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）由已知条件求得等比数列的公比和首项，即可求得其通项公式；
（2）求得的通项公式，结合（1）的结论可得，利用分组求和法，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）因为,,成等差数列，所以,
又因为在等比数列中，,所以，得的公比，
所以,解得，故.
（2）由,，，得，
则是等差数列，因为,所以，
则，
则

．
并项求和法
43．（2022秋·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）在正项等比数列中，已知．数列的通项公式是 ，令，求数列的前100项的和 .
【答案】 5050
【分析】根据已知列式相比，即可得出，，即可根据等比数列定义得出其通项公式；根据已知得出，根据分组求和法得出答案.
【详解】正项等比数列中，已知，设公比为，则，
则，解得，，
则数列的通项公式是；
令，
则数列的前100项的和：
，
，
，
，
，
故答案为：；5050.
44．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知公差大于0的等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前21项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；
（2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.
【详解】（1）根据题意，当时，，即①，
当时，，所以②，
设等差数列的公差为，
由①②得，解得，
所以；
（2）因为，则，
所以，
所以,
所以，又，
故.
45．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可
【详解】（1）设公比为，由题意得
解得

（2）
当为偶数时，，
当为奇数时，；
．
46．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推式，变形为，由等差数列定义可证明结论；利用累加法求得通项公式；
（2）根据，利用并项求和法，可得答案.
【详解】（1）由已知得， 即，
是以2为首项， 2为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当时，




47．（河北南宫中学2023届高三上学期期中）已知数列各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）由得到，结合得到，所以数列是等差数列，求出通项公式；
（2）在第一问的基础上得到，从而分组求和得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为是各项均为正数的数列，所以，故
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
则.
（2），则，
所以.

错位相减法
48．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)前项和
【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和．
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则．
故，解得，，则，
，
由题意，得，解得．
；．
（2）由（1）知，．设其前项和为，
，①
，②
①②，得



．
．
49．（河北省石家庄精英中学2023届高三上学期期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后错位相减法可求得的表达式，从而可得证.
【详解】（1）解：（1）由得，
当时，，而，
；
（2）证明：由及，
得，
所以，
所以，
当时，，
得，
两式相减得

，
，
满足，
∴，
∴.
50．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求得，从而求得；
（2）利用错位相减法即可求得.
【详解】（1）由题意可知，是等比数列，是等差数列，，
因为成等差数列，所以，即，
整理得，即，解得，
所以.
（2）由（1）得，
故，
则，
两式相减得：
，
故.
51．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，，，与的等差中项为.
(1)求数列、的通项公式；
(2)已知，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可求得、的通项公式；
（2）由（1）得，从而利用错位相减法即可求得.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，与的等差中项为，
所以，则，即①，
因为，所以，得，
将上式代入①式得，解得或，
当时，，矛盾舍去，
当时，，则，，
所以，.
（2）由（1）得，，
所以，
则，
两式相减得：，
所以.
52．（福建省福州市四校联盟（永泰城关中学、连江文笔中学、长乐高级中学、元洪中学）在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式可求数列的通项公式，再根据数列的项与前n项和的关系可求的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）记，


，
.

奇偶数列求和
53．（辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中）已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（    ）
A．621 B．622 C．1133 D．1134
【答案】C
【分析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.
【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
共10项，
和为；
，共10项，
其和为；
∴该数列前20项的和；
故选：C.
54．（2022秋·山东聊城·高三统考期中）多选）已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（    ）
A．n为偶数时， B．
C． D．的最大值为20
【答案】AC
【分析】对选项A，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B，检验当时，所给表达式不满足；对选项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据，可直接求得；对选项D，的最大值为
【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，故A对；

根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有：，故B错误；
，故C对；
根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，故D错
故选：AC
55．（2022秋·江苏泰州·高三统考期中）已知正项数列满足且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项的和．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案；
（2）由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差等比数列的前n项和公式求得答案.
【详解】（1）由题意得：,
∵，∴，即为常数，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
（2）由（1）得,
∴
.
56．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中）设数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)对于任意的正整数，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用奇偶分组求和法、裂项相消法、等比数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，，则，
所以，，
也满足，故对任意的，.
（2）解：对于任意的正整数，，
所以，


.
57．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；
（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．
【详解】（1）解：在中，令得，，
当时，，
，即，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
设的公差为，由题意可得，即，
整理得，
解得或舍去，
．
（2）解：由题意可得，



．

裂项相消法
58．（广东省梅州市兴宁市下堡中学2023届高三上学期期中）在各项均为正数的数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先将变形为，从而得到关于的二次方程，解之即可得到，从而证得是等比数列，进而可求得的通项公式；
（2）利用（1）中的结论与裂项法得到，从而求得，由此得证.
【详解】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，
又，
所以是以，的等比数列，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，则，所以.
59．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）数列前项和为，其中，且
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，先求出，当时，，进而得出结果；
（2）先根据裂项相消法求和，再得出结果.
【详解】（1）由题意得，；
当时，，，
当时，，
，
，，
∴数列是以1为首项，公差为2的等差数列，
∴.
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∴，
∴.
60．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知正项等比数列{an}，满足a2a4=1，a5是12a1与5a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）正项等比数列的公比设为，根据已知求出，，即得解；
（2），再裂项相消分类讨论得解.
【详解】（1）正项等比数列的公比设为，
由，可得，
是与的等差中项，可得，
即为，解得，
则
（2）；

则

当为偶数时，；
当为奇数时，.
61．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）在数列中，， ，且，，成等比数列．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列满足，其前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由两边取倒数，化简即可得出，根据已知与等差数列的定义证明数列是等差数列，即可求出通项公式，结合，，成等比数列，转化求解即可；
（2）根据已知结合小问1化简通项，即可利用裂项相消法，求解数列之和，即可根据函数值域证明结论.
【详解】（1），
，
，
，
，
数列是首项为1，公差为的等差数列，
，即，
，，成等比数列，
，
，解得或（舍），
故；
（2）由小问1可得，，
，
，
，
，
，
，
.
62．（河北省张家口市第一中学2023届高三上学期期中）已知数列与的前项和分别为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系求出和，证明是等差数列，即可求出数列的通项公式.
（2）化简，利用裂项相消法求出，再利用数列的单调性即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意， ，
在数列中，
当时，，
解得或．
∵
∴．
∵
∴．
两式相减得．
∴．
∵，
∴．
即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，
∴
即
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，
在数列中，
∴．
∴．
∵恒成立，
∴．
∴的取值范围为
63．（河北省保定市安新县第二中学2023届高三上学期期中）已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前项和，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设的公差为，解方程组求出，，即得解；
（2）求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）解：设的公差为，则

∴，∵，∴，
∴的通项公式为.
（2）由（1）得，
.
数列求和与不等式
64．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）
已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，得，两式相除可求出，从而可求得，所以将问题转化为，从而可求出m的取值范围
【详解】当时，由，得，
两式相除得，也适合
所以


，
因为对任意，（且）恒成立，
所以，
所以，
当时，由，得，则，
当时，由，得，则，
综上，
故选：A
65．（2022秋·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考期中）已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
66．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）已知等差数列满足，，数列的前项和，
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对一切恒成立，求正整数的最小值．
【答案】(1)，；
(2)3
【分析】（1）由等差数列的基本量法求得，由求得；
（2）用错位相减法求得和，代入不等式化简后转化为用基本不等式求函数的最值．
【详解】（1）设数列的公差为，则，，
所以，
，
，，
时，，也适用，
所以；
（2）由（1），
，
，
两式相减得，
所以．
所以不等式即为，
又，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是，故，
所以的最小值是3．
67．（辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中）若正项数列的前n项和为，首项，点在曲线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，表示数列的前n项和，若对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点坐标代入曲线方程，整理可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，分别讨论和，由即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法可得，再根据恒成立可得，即可求解.
【详解】（1）因为点在曲线上，
所以，则，且，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也成立，
所以
（2）因为，
所以
因为对恒成立，所以，所以.
68．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最小值为
【分析】（1）利用求得数列的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得的最小值.
【详解】（1）依题意，
当时，，
当时，，
当时上式也符合，所以.
（2），

，
为单调递增数列，，则，
所以，
函数的对称轴为，
，
当时，递增.
所以使成立的正整数的最小值为.



1．（福建省龙岩市一级校联盟（九校）2023届高三上学期期中）已知数列，对于任意正整数，都满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由递推关系可得，利用累加求数列的通项公式，再由裂项相消法求的值.
【详解】因为对于任意正整数，都满足，
所以，又，
所以，
所以当时，，
所以，即，
所以当时，，又也满足此关系，
所以
所以，
故.
故选：C.
2．（河北省唐山市第十—中学2023届高三上学期期中）若是数列的前n项和，已知，,且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及与的关系，利用构造法得通项公式，结合等比数列的前n项和公式及分组求和法即可求解.
【详解】由题意得当时，，
设，得，
又因为，，
所以也满足上式，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以
故.
故选：A.
3．（山西省运城市2023届高三上学期期中）在数列中，，则的值为（    ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【分析】根据通项利用作差变形确定数列的单调性，即可化简所求式子，再根据通项求解化简式子即可.
【详解】解：数列中，，则，
则当时，在数列中；当时，数列单调递增，则
则
.
故选：A .
4．（福建省泉州一中、南安一中2023届高三上学期期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等比数列求，进而得，由分组求和得，根据奇偶即可求解最值.
【详解】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以
，
故，即，
当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减，
当时，有最大值，所以,
当为偶数时，满足，由于单调递减，，
综上可得，
同理，
故当时，，故，
综上：，
故选：D
5．（2022秋·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）设数列的通项公式为，其前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由并项求和法求解，
【详解】当或，时，，；
当，时，，；
当，时，，．
，
．
故选：D
6．（2022秋·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考期中）（多选）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.
【详解】解：∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
则，∴，故C错误；
则，故A正确；
∴，故D错误.
故选：AB.
7．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）（多选）若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣2，数列{bn}满足bn＝log2an，则下列选项正确的为（　　）
A．数列{an}是等差数列
B．an＝2n
C．数列{an2}的前n项和为
D．数列的前n项和为Tn，则Tn＜1
【答案】BD
【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列和求出数列的通项公式，进一步判定AB的结论，进一步利用数列的求和和放缩法的应用判定CD的结论．
【详解】数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣2①，
当n＝1时，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1，即，
所以数列{an}是以2为首项2为公比的等比数列．
所以 ，故A错误，B正确；
对于C：，
所以，故C错误；
对于D：由于数列{bn}满足bn＝log2an＝n，
所以，
所以．故D正确．
故选：BD．
8．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知数列，为的前n项和，，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义得数列 为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；
（2）由（1）得 运用错位相减法可得.
【详解】（1）当时，，
当时， 由， 可得，
两式相减可得，，
即有，
即为数列为第二项起为等比数列,
又

数列为以为首项，等比数列为的等比数列.
（2）由（1）得，， 可得，
则,,
即有前项和为，
，,
两式相减可得，，

化简可得.
9．（2022秋·河北唐山·高三唐山一中校考期中）数列满足：，，；令，则数列的前项和为 .
【答案】.
【分析】由等差数列的定义可得是首项为2的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得公差，可得，，再由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和.
【详解】数列满足：，
即为，
所以是等差数列，设公差为，
由，，可得，解得，
则，
，
数列的前项和为，
，
上面两式相减可得
，
化简可得.
故答案为：.
10．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：利用等比数列的通项公式和前项和公式得到关于基本量的方程组，解之即可求得；
法二：利用等比数列的性质和前项和公式依次转化得到关于的方程组，解之即可求得；
（2）分类讨论的通项公式，注意当为偶数时，为奇数，从而利用分组求和法可求得.
【详解】（1）法一：
因为是公比的等比数列，
所以由，得，即，
两式相除得，整理得，即，
解得或，又，所以，故，
所以，
法二：因为是公比的等比数列，
所以由得，即，则，，解得或（舍去），
故，则，所以.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以




.
1．（2022秋·江苏南通·高三期中）设递增的等比数列的前项和为，已知，且．
(1)求数列通项公式及前项和为；
(2)设，求数列的前项和为．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）设递增的等比数列的公比为，根据，可得，再结合即可求出与的值，从而可得数列通项公式及前项和为；
（2）由（1）可得，从而利用错位相减求和法即可求出数列的前项和为．
【详解】（1）设递增的等比数列的公比为，
由，得，又，所以，
解得或（舍去），
又，得，则，
所以；；
（2）由（1）可得，
所以；
则；
两式相减得，
所以．
12．（2022秋·江苏南通·高三期中）已知数列，，，其中．
(1)设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：；
(3)设为非零整数，，试确定的值，使得对任意，都有成立．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)见解析；
(3).
【分析】(1)由，可得，即有，从而得数列是等差数列，再由等差数列的定义求通项公式即可；
(2)利用错位相减求得，即可得证；
(3)由可得对任意成立，分为奇数、偶数求出的范围，再结合为非零整数，即可得的值.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
即，
所以数列是等差数列，
首项为，公差，
所以；
（2）解：因为，
所以①,
所以②,
由①-②可得

     =
=
所以，
又因为，
所以；
（3）解：因为，
所以，
又因为对任意成立，
即对任意成立，
整理得对任意成立，
即对任意成立，
对任意成立，
对任意成立，
所以对任意成立，
当为奇数时，，
所以，
当为偶数时，，
所以，
所以，
又因为为非零整数，
所以.
13．（河北省深州市中学2023届高三上学期期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列.
(1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式；
(2)若，设，求数列的前项和；
(3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件，利用与的关系，得出递推关系式，证明数列为等比数列，再求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，根据数列通项特征，利用错位相减法求出数列的和．
（3）利用（2）的结论，找出算式最大值利用恒成立问题求出参数的范围．
【详解】（1）各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列．
则：①，
当时，，解得：．
当时，②，
①②得：，整理得：，
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以：．
（2）由于：，所以，则，
所以①，
②，
①②得：，
解得：．
（3）设，
则：，
当，2，3时，，
当时，，即，
故的最大值为1，
不等式对一切正整数恒成立，只需即可，
故：，解得：或，
所以的取值范围是：．
14．（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合，可证明是等比数列，求解即可；
（2）乘公比错位相减法求和可得，代入，化简可得恒成立，结合单调性求解即可.
【详解】（1）∵，当可得，
，
∴，
即是以1为首项，的等比数列，
∴.
（2）∵,
∴,
,
两式相减：
,
∴,
∴,
∴,
即存在使成立,
∵随着n增大，在减小,
∴当时，.
15．（2022秋·湖北·高三校联考期中）已知数列的首项为，且满足，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中，，对任意，，都有，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，即，由等比数列定义列通项公式即可；
（2）令即求得，利用错位相减法即可求
【详解】（1），，
又，且
是首项为，公比为的等比数列，
（2）对任意，都成立，令得，，，
，

作差化简得