重庆市育才中学数育集团2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷

这是一份重庆市育才中学数育集团2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷，共29页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市育才中学数育集团2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，6，10 B．5，7，11
C．3，4，8 D．2a，4a，6a（a＞0）
2．（4分）若a＜b，则下列各式中一定正确的是（　　）
A．ab＜0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．﹣a＞﹣b
3．（4分）如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于G、H．∠AGE＝60°（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（4分）若正n边形的一个外角为60°，则n的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（4分）估算的范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．全等三角形的对应角的平分线相等
C．角平分线相等的三角形一定全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
7．（4分）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD与CE交于点P，其中∠A＝50°（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
9．（4分）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2025的坐标为（　　）

A．（506，506） B．（﹣506，﹣506）
C．（507，﹣506） D．（﹣507，506）
10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，延长AB至点D，使得AD＝AC，△ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（　　）
①∠BCD＝∠CAE；
②AF＝2DE；
③AB＝BD+DF；
④S△AGD＝S四边形AGFB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上.
11．（4分）计算：＝　 　．
12．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（4m﹣1，5﹣3m）在第四象限　 　．
13．（4分）要想了解八年级1164名学生的心理健康评估报告，从中抽取了400名学生的心理健康评估报告进行统计分析，该调查的样本容量为 　 　．
14．（4分）若关于x，y的方程的解满足x﹣y＝3　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝95°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，则∠BDC＝　 　．

16．（4分）如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点，若四边形BDEF的面积是22，则△CEF的面积是 　 　．

17．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y﹣2x＜0无解，那么所有符合条件的整数a的和为 　 　．
18．（4分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数（n），例如：n＝34时，n'＝43，（57）＝　 　；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）
规定：，若F（s）能被7整除（s）+F（t）﹣81y＝162（s，t）的最大值为 　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）解答时给出必要的演算过程.
19．解方程组：
（1）；
（2）．
20．（1）解不等式：x﹣（3x﹣1）≤2；
（2）解一元一次不等式组并写出所有的整数解：．
21．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交CD于点F；（要求：保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠CFE＝∠CEF．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴　 　+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝　 　，
∴∠DBF+　 　＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBF+　 　＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝　 　，
∴∠CFE＝∠CEF．

22．育才中学由人民教育家陶行知先生创办，为了解本校初中学生对老校长陶行知先生的了解情况，学校从全校3000名初中学生中随机抽取部分学生进行“陶行知”知识问答（满分100分，得分x均为不小于60的整数）（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90）（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出），请根据图表信息解答以下问题：

（1）求问答成绩为“优秀”的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中“基本合格”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果全校初中学生都参加知识问答，请你根据抽样问答的结果，估计我校初中学生中能获得“良好”和“优秀”的共有多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，4），B（﹣4，﹣1），C（1，0）1B1C1，点A的对应点A1的坐标是（a，2），点B的对应点B1的坐标是（﹣1，b）．
（1）直接写出a，b的值及点C1的坐标，画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）若点D在x轴上，且三角形ACD的面积是三角形A1B1C1面积的2倍，求点D的坐标．

24．在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E
（1）如图1，当∠C＝80°时，求∠E的度数；
（2）如图2，连接CE，延长AC至点G，垂足为F，过点E作EM⊥AG，求证：BC＝CM+BF．

25．为提升办学条件，某学校计划购买部分A、B两种型号电脑．若购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元；购买1台A型电脑和1台B型电脑共需5500元．
（1）求每台A型电脑和每台B型电脑的售价分别是多少元？
（2）经市场调查，现有两家商场分别推出了优惠套餐：
甲商场：A型电脑和B型电脑均打九折出售；
乙商场：A型电脑每满1000元减150元，B型电脑无优惠活动；
该校需要购买A型电脑和B型电脑共50台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台A型电脑才能使选择乙商场购买更划算？
26．如图，△CAB与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，连接AD、BE．
（1）如图1，若∠CAD＝20°，∠DCB＝26°；
（2）如图2，若CE∥AB，AD平分∠BAC；
（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，在BC上有一点M，且BM＝CG，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，6，10 B．5，7，11
C．3，4，8 D．2a，4a，6a（a＞0）
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、3+6＜10，8，10的三条线段，故A不符合题意；
B、5+7＞11，2，11的三条线段，故C符合题意；
C、3+4＜6，4，8的三条线段，故D不符合题意；
D、3a+4a＝6a，7a，不能组成三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
2．（4分）若a＜b，则下列各式中一定正确的是（　　）
A．ab＜0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．﹣a＞﹣b
【分析】分析a，b的取值符号，可举例说明，运用不等式的性质时注意是否不等号的方向改变．
【解答】解：因为a＜b
A、ab不一定小于0；
B、ab不一定大于0；
C、a﹣b＜8；
D、﹣a＞﹣b不等式两边都乘﹣1，正确；
故选：D．
【点评】主要考查了不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于G、H．∠AGE＝60°（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】欲求∠EHD的度数，须先求∠EHC的度数，这需看∠EHC和已知条件∠AGE是什么关系，由题中已知条件知，∠EHC和∠AGE为同旁内角，根据平行即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，所以∠EHC＝∠AGE＝60°，
∴∠EHD＝180°﹣∠EHC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
【点评】解答这类题常因对平行线的性质掌握不熟练而选错．特别注意弄清两个角之间的位置关系．
4．（4分）若正n边形的一个外角为60°，则n的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据多边形的外角和与正多边形的性质即可求得答案．∵
【解答】解：正n边形的一个外角为60°，
∴n＝360°÷60°＝6，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的外角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（4分）估算的范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先估算出在哪两个连续整数之间，继而求得﹣2在哪两个连续整数之间．
【解答】解：∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
∴8＜﹣2＜5，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．
6．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．全等三角形的对应角的平分线相等
C．角平分线相等的三角形一定全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】由全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可判断．
【解答】解：A、B、D中的说法正确、B、D不符合题意；
C、角平分线相等的三角形不一定全等．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
7．（4分）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】此题中的等量关系有：①共有190张铁皮；②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套．
【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×7x＝22y．
列方程组为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解应用题的关键，寻找第二个相等关系是难点．
8．（4分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD与CE交于点P，其中∠A＝50°（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠BPE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+（∠ABC+∠ACB）＝．
∵∠BPE是△PBC的外角，
∴∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝65°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠PBC+∠PCB的度数是解题的关键．
9．（4分）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2025的坐标为（　　）

A．（506，506） B．（﹣506，﹣506）
C．（507，﹣506） D．（﹣507，506）
【分析】通过观察可得点的变化每4个一循环，用2025除以4，通过余数判断出点的位置，再解答即可．
【解答】解：由图得，点A的坐标有4种情况，
2025÷4＝506……6，
∴点A2025在第四象限，纵坐标为﹣506，
∴A2025的坐标是（507，﹣506）．
故选：C．
【点评】本题考查规律型﹣点的坐标，解题的关键是相交探究规律，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，延长AB至点D，使得AD＝AC，△ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（　　）
①∠BCD＝∠CAE；
②AF＝2DE；
③AB＝BD+DF；
④S△AGD＝S四边形AGFB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等腰三角形的性质以及等角的余角对①作出判断；利用ASA，得出△BCD≌△ABF，从而对②③作出判断，再根据同底等高的三角形的面积相等对④作出判断．
【解答】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，
∴∠BCD+∠CFE＝90°，CF＝DF，
∵∠CBA＝90°，
∴∠DAE+∠BFA＝90°，
∵∠CFE＝∠BFA，
∴∠BCD＝∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，
故①正确；
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90，
∵∠BCD＝∠DAE，
∴△BCD≌△BAF （ASA），
∴BD＝BF，CD＝FA，
∵AE是△ACD的中线，
∴CD＝FA＝2DE，
故②正确；
∵CB＝BF+CF，CF＝DF，
∴AB＝CB＝BD+DF，
故③正确；
∵BG∥DF，
∴△BGF与△BGD同底等高，
∴S△GBF＝S△GBD，
∴S△AGD＝S四边形AGFB，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上.
11．（4分）计算：＝　﹣6　．
【分析】利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣8﹣（﹣4）﹣3
＝﹣6+6﹣3
＝﹣6，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（4m﹣1，5﹣3m）在第四象限　　．
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得不等式组，求不等式的解即可．
【解答】解：由点A（4m﹣1，2﹣3m）在第四象限
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
13．（4分）要想了解八年级1164名学生的心理健康评估报告，从中抽取了400名学生的心理健康评估报告进行统计分析，该调查的样本容量为 　400　．
【分析】根据样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量即可得．
【解答】解：要想了解八年级1164名学生的心理健康评估报告，从中抽取了400名学生的心理健康评估报告进行统计分析．
故答案为：400．
【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
14．（4分）若关于x，y的方程的解满足x﹣y＝3　4　．
【分析】先把①乘3得③，然后②+③消去x和m，求出y，再把y值代入x﹣y＝3，求出x，最后把x，y代入①求出m即可．
【解答】解：，
①×4得：15y﹣3x＝6﹣4m③，
②+③得：16y＝4，
∴，
把代入x﹣y＝7得：，
把：，代入①得：m＝4，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝95°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，则∠BDC＝　115°　．

【分析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．
【解答】解：由折叠可得∠B'＝∠B＝35°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB'＝∠B'＝35°，
又∵∠ACB＝95°，
∴∠BCB'＝60°，
由折叠可得，∠BCD＝，
∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣35°﹣30°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点，若四边形BDEF的面积是22，则△CEF的面积是 　18　．

【分析】连接BE，设△CEF的面积为S，根据题意用S表示出△ADE和△ACE的面积，然后根据等高三角形面积的比等于等边的比列出关S的方程，解方程即可求得．
【解答】解：连接BE，设△CEF的面积为S，
∵BF：BC＝2：5，
∴BF：FC＝8：3，
∴S△BEF＝S，
∵四边形BDEF的面积是22，
∴S△BDE＝22﹣S，
∵点D是线段AB的中点，
∴S△BCD＝S△ACD，S△ADE＝S△BDE＝22﹣S，
∴S△ACE＝S+22﹣（22﹣S）＝S，
∵BF：FC＝3：3，
∴S△ACF：S△ABF＝2：2，
∴＝，
解得S＝18．
故答案为：18．

【点评】本题考查了三角形的面积，等高三角形面积的比等于等边的比是解题的关键．
17．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y﹣2x＜0无解，那么所有符合条件的整数a的和为 　3　．
【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．
【解答】解：解方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组，
∴2﹣2a﹣2（10﹣8a）＜0，
解得：a＜，
，
解不等式①得：x＞2a+1，
解不等式②得：x＜a﹣4，
又∵关于x的不等式组无解，
∴2a+2≥a﹣1，
解得：a≥﹣2，
即﹣8≤a＜，
∴所有符合条件的整数a为：﹣2，﹣3，0，1，3，3，
∴所有符合条件的整数a和为3．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
18．（4分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数（n），例如：n＝34时，n'＝43，（57）＝　﹣162　；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）
规定：，若F（s）能被7整除（s）+F（t）﹣81y＝162（s，t）的最大值为 　　．
【分析】根据新定义列式计算可得F（57）；由F（s）能被7整除，可得a﹣b＝7，a＝9，b＝2，或者a＝8，b＝1，根据F（s）+F（t）﹣81y＝162，可得x﹣2y＝﹣5，x＝3，y＝4或x＝1，y＝3，而K（s，t）＝＝，即可得到答案．
【解答】解：当n＝57时，n'＝75，
∴F（57）＝＝﹣162；
∵s＝10a+b，
∴F（s）＝＝81（a﹣b），
同理F（t）＝81（x﹣y），
∵F（s）能被7整除，
∴a﹣b＝7，
∴a＝8，b＝2，b＝1，
∵F（s）+F（t）﹣81y＝162，
∴81（a﹣b）+81（x﹣y）﹣81y＝162，
∴a﹣b+x﹣7y＝2，
∴x﹣2y＝﹣3，
∴x＝3，y＝4或x＝3，
∵K（s，t）＝＝，
∴当a＝9，b＝2，y＝4时，t）最大＝．
故答案为：﹣162，．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）解答时给出必要的演算过程.
19．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1），
①×8得：8x﹣4y＝20③，
②+③得：11x＝22，
解得：x＝3，
把x＝2代入①得：4﹣y＝2，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解是：；
（2），
整理得：，
①+②得：4y＝24，
解得：y＝3，
把y＝3代入②得：x+15＝10，
解得：x＝﹣7，
故原方程组的解是：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
20．（1）解不等式：x﹣（3x﹣1）≤2；
（2）解一元一次不等式组并写出所有的整数解：．
【分析】（1）首先去括号得x﹣3x+1≤2，然后移项，合并同类项得﹣2x≤1，最后将未知数的系数化为1即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即可．
【解答】解：（1）去括号，得：x﹣3x+1≤4，
移项，合并同类项，
∴x≥﹣；
（1）解不等式：7﹣x≤6，
解不等式，得：x＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜8．
∴原不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，7．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组得方法与步骤是解答此题的关键．
21．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交CD于点F；（要求：保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠CFE＝∠CEF．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴　∠DBF　+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝　∠CFE　，
∴∠DBF+　∠CFE　＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBF+　∠CEF　＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝　∠DBF　，
∴∠CFE＝∠CEF．

【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的定义即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，BE即为所求；
（2）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF+∠CFE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠CEF＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠DBF，
∴∠CFE＝∠CEF．
故答案为：∠DBF，∠CFE，∠CEF．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22．育才中学由人民教育家陶行知先生创办，为了解本校初中学生对老校长陶行知先生的了解情况，学校从全校3000名初中学生中随机抽取部分学生进行“陶行知”知识问答（满分100分，得分x均为不小于60的整数）（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90）（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出），请根据图表信息解答以下问题：

（1）求问答成绩为“优秀”的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中“基本合格”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果全校初中学生都参加知识问答，请你根据抽样问答的结果，估计我校初中学生中能获得“良好”和“优秀”的共有多少？
【分析】（1）先根据样本中“良好”的人数和所占比例求出样本中的总频数，将总频数减去其他等级的人数，即可求出成绩为“优秀”的学生人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）将“基本合格”所占百分比乘以360°，即可求出扇形统计图中“基本合格”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）将获得“良好”和“优秀”所占百分比乘以3000名，即可估计我校初中学生中能获得“良好”和“优秀”的共有多少名．
【解答】解：（1）样本中的总频数为：12÷30%＝40，
成绩为“优秀”的学生人数为：40﹣6﹣8﹣12＝14（名），
补全频数分布直方图如下：

（2），
答：扇形统计图中“基本合格”所对应的扇形圆心角的度数为54°；
（3）（名），
答：估计我校初中学生中能获得“良好”和“优秀”的共有1950名．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，4），B（﹣4，﹣1），C（1，0）1B1C1，点A的对应点A1的坐标是（a，2），点B的对应点B1的坐标是（﹣1，b）．
（1）直接写出a，b的值及点C1的坐标，画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）若点D在x轴上，且三角形ACD的面积是三角形A1B1C1面积的2倍，求点D的坐标．

【分析】（1）根据点A和点A1的纵坐标、点C和点C1的横坐标得到三角形ABC先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1，然后利用此平移规律得到a，b的值，通过描点得到三角形A1B1C1；
（2）设D点坐标为（t，0），先用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算出三角形A1B1C1面积＝11，再根据三角形面积公式得到×|t﹣1|×4＝2×11，然后解方程求出t，从而得到D点坐标．
【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C3即为所求，A1（1，5），B1（﹣1，﹣7）．
∴a＝1，b＝﹣3；

（2）设D（t，7），
三角形A1B1C3面积＝5×5﹣×5×3﹣×3×7＝11，
∵三角形ACP的面积是三角形A1B1C2面积的2倍，
∴×|t﹣1|×4＝4×11，
解得t＝12或t＝﹣10，
∴点D的坐标为（﹣10，0）或（12．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24．在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E
（1）如图1，当∠C＝80°时，求∠E的度数；
（2）如图2，连接CE，延长AC至点G，垂足为F，过点E作EM⊥AG，求证：BC＝CM+BF．

【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算可得出答案；
（2）过E作EN⊥BC于N，根据HL得出Rt△ENB≌Rt△EFB，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）解：∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB＝∠CAB，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠AEB＝∠EBD﹣∠EAB＝∠CBD﹣∠C＝40°，
即∠E＝40°；
（2）解：过E作EN⊥BC于N，

∵∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，EN⊥BC，EM⊥AG，
∴EM＝EN＝EF，
在Rt△ENB与Rt△EFB中，
，
∴Rt△ENB≌Rt△EFB（HL），
∴BN＝BF，
同理可得，CN＝CM，
∴BC＝CN+NB＝CM+BF．
【点评】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
25．为提升办学条件，某学校计划购买部分A、B两种型号电脑．若购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元；购买1台A型电脑和1台B型电脑共需5500元．
（1）求每台A型电脑和每台B型电脑的售价分别是多少元？
（2）经市场调查，现有两家商场分别推出了优惠套餐：
甲商场：A型电脑和B型电脑均打九折出售；
乙商场：A型电脑每满1000元减150元，B型电脑无优惠活动；
该校需要购买A型电脑和B型电脑共50台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台A型电脑才能使选择乙商场购买更划算？
【分析】（1）设每台A型电脑的售价是x元，每台B型电脑的售价是y元，根据“购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元；购买1台A型电脑和1台B型电脑共需5500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该学校购买m台A型电脑，则购买（50﹣m）台B型电脑，根据选择乙商场购买更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每台A型电脑的售价是x元，每台B型电脑的售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台A型电脑的售价是3000元，每台B型电脑的售价是2500元；
（2）设该学校购买m台A型电脑，则购买（50﹣m）台B型电脑，
根据题意得：3000×3.9m+2500×0.7（50﹣m）＞（3000﹣150×3）m+2500（50﹣m），
解得：m＞，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为32．
答：该学校至少购买32台A型电脑才能使选择乙商场购买更划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．如图，△CAB与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，连接AD、BE．
（1）如图1，若∠CAD＝20°，∠DCB＝26°；
（2）如图2，若CE∥AB，AD平分∠BAC；
（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，在BC上有一点M，且BM＝CG，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）如图2中，过点D作DF∥BC，交AB于点F，连接BD，根据平行线的性质及角的和差推出BD平分∠ABC，根据角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定推出DF＝BF，利用AAS证明△ACD≌△AFD，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解；
（3）如图3中，结论：CN+MN＝BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE＝20°，
∵∠DCB＝26°，
∴∠ECB＝90°﹣26°＝64°，
∴∠CEB＝180°﹣64°﹣20°＝96°，
∵∠CED＝45°，
∴∠DEB＝96°﹣45°＝51°；
（2）证明：如图2，过点D作DF∥BC，连接BD，

∵CE∥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ECB＝∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝∠ECD﹣∠ECB＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，
∴CD平分∠ACB，
∵AD平分∠BAC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠FBD＝22.6°，
∵DF∥BC，
∴∠BDF＝∠CBD＝22.5°＝∠FBD，∠DFA＝∠ABC＝45°＝∠ACD，
∴DF＝BF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（AAS），
∴AC＝AF，CD＝DF＝BF，
∵AB＝AF+BF，
∴CD+AC＝AB；
（3）解：CN+MN＝BG，理由如下：
如图3，如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T

∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BCT+∠ECB＝90°，∠ECB+∠CBG＝90°，
∴∠BCT＝∠CBG，
在△CBT和△BCG中，
，
∴△CBT≌△BCG（ASA），
∴BT＝CG，CT＝BG，
∵BM＝CG，
∴BM＝BT，
在△BNM和△BNT中，
，
∴△BNM≌△BNT（SAS），
∴MN＝NT，
∴CN+MN＝CN+NT＝CT＝BG．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．