2024浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题含解析
展开2023学年第一学期浙江省名校协作体试题
高二年级数学学科
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，，则（ ）
A B.
C. D.
2. 已知向量，，，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知异面直线a，b分别为平面，的垂线，直线m满足，，，，则（ ）
A 与相交，且交线与m平行 B. 与相交，且交线与m垂直
C. 与平行，m与平行 D. 与平行，m与垂直
4. 在中， “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）
A B.
C. D.
6. 二战期间，盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数为N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为，，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的.因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间.
由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的，由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计.若缴获坦克的编号为14，28，57，92，141，173，224，288，则利用上述方法估计的总数为（ ）
A. 306 B. 315 C. 324 D. 333
7. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.
9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 某校按的比例对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层随机抽样，如果抽取的样本容量为900，则样本中高一年级的学生人数为300
B. 一组数据12，13，14，14，15，16的平均数与众数相同
C. 一组数据从小到大依次为1，2，3，5，m，若这组数据的极差为中位数的2倍，则
D. 若甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，10，则甲组数据标准差大于乙组数据的标准差
11. 函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（ ）
A. 一定是周期函数 B. 在单调递增
C. D.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的一个动点，则（ ）
A. 对任意点P，都有
B. 存在点P，使得周长为3
C. 存在点P，使得PC与所成的角为
D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.
13. 已知圆锥的高为2，体积为，则该圆锥的侧面积为______.
14. 已知锐角终边上一点P的坐标为，则______.
15. 已知函数，若函数有两个零点，且，则的取值范围为______.
16. 定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数，都有成立，则x的最小值是______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某校为了调查学生的数学学习情况，在某次数学测试后，抽取了100位同学的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知这100名同学的成绩范围是，数据分组为，，，，.
（1）求x的值；
（2）估计这100名同学成绩的上四分位数（第75百分位数）.
18. 已知复数z满足（i是虚数单位）
（1）求z的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
19. 如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.
（1）设，，请用，表示；
（2）设，求的值.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若的外接圆半径为1，且，，求BC边上的中线长.
21. 如图所示，在四棱台中，四边形ABCD为菱形，，，.
（1）求证：；
（2）若直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
22. 已知函数，，且满足.
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证函数存在唯一零点；
（3）设，证明.
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