高中物理  教材同步  人教版（2019）  选择性必修 第一册  第二章 机械振动  3. 简谐运动的回复力和能量 学案

课题

简谐运动的回复力和能量

年级

高二

知识点来源

人教版高中物理选修3-4第十一章第三节《简谐运动的回复力和能量》

学习目标

物理观念：1.知道回复力的概念.

2.知道振幅越大，振动的能量越大．

科学思维：1.会根据简谐运动的回复力特点，判断及分析常见的简谐运动.

2.理解简谐运动的动力学特征．

科学探究：通过探究，理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．

学习重难点

理解简谐运动的动力学特征、各个物理量的变化情况。

【课前预习】

一、简谐运动的回复力

1．简谐运动

如果质点所受的力与它偏离平衡位置      的大小成       ，并且总是指向     ，质点的运动就是简谐运动．

2．回复力

(1)定义：使振动物体回到        的力．

(2)方向：总是指向         ．

(3)表达式：F＝           .

二、简谐运动的能量

1．能量转化

弹簧振子运动的过程就是      和     互相转化的过程．

(1)在最大位移处，      最大，       为零．

(2)在平衡位置处，         最大，       最小．

2．能量特点

在简谐运动中，振动系统的      ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种        的模型．

【自主探究】

1．判断下列说法的正误．

(1)回复力的方向总是与位移的方向相反．(　　)

(2)回复力的方向总是与加速度的方向相反．(　　)

(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．(　　)

(4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．(　　)

2．如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________．(选填“正”“负”“增大”或“减小”)

图1

【探究过程】

一、简谐运动的回复力

【应用探究】

如图所示为一个水平方向的弹簧振子模型(水平杆光滑)，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x.

(1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？

(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？

(3)除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗？回复力有什么特点？

【探究过程】

1．回复力

(1)回复力的方向              ，                    的平衡位置．

(2)回复力的性质

例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子，    充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，              充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由        提供．

图2

2．回复力公式：F＝－kx.

(1)k是比例系数，其值由      决定，与     无关．只有水平弹簧振子，回复力仅由    提供，k为      ．

(2)“－”号                                            ．

3．简谐运动的加速度

4．物体做简谐运动的判断方法

(1)简谐运动的回复力满足           ；

(2)简谐运动的振动图象是            ．

典例1　(多选)如图3所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)

图3

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用

C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大

D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

典例2　如图4所示，弹簧劲度系数为k，在弹簧下端挂一个重物，质量为m，重物静止．在竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度)，然后无初速度释放，重物在竖直方向上下振动．(不计空气阻力)

(1)试分析重物上下振动回复力的来源；

(2)试证明该重物做简谐运动．

二、简谐运动的能量

【应用探究】

如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．

(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？

(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？

(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？

【归纳总结】

典例3　如图5所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.

图5

(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．

(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________．

A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小

B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变

(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________．

A．振幅不变   B．振幅减小

C．最大动能不变   D．最大动能减小

三、简谐运动中各物理量的变化

1．如图6所示为水平的弹簧振子示意图，在下表中填上振子运动过程中各物理量的变化情况．

图6

典例4　如图7甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x与时间t的关系图象如图乙所示，下列说法正确的是(　　)

图7

A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右

B．t＝0.2 s时， 振子在O点右侧6 cm处

C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同

D．从t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的动能逐渐增大

【总结感悟】

11.3《　简谐运动的回复力和能量》课后巩固练习

一、选择题

考点一　简谐运动的回复力和加速度

1．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　)

2．(多选)如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是(　　)

A．m做简谐运动，OC＝OB

B．m做简谐运动，OC≠OB

C．回复力F＝－kx

D．回复力F＝－3kx

3．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图象，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是(　　)

4．(多选)如图所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧正上方高为h处自由下落到弹簧上端A点，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点，小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是(　　)

A．B点位于AC连线中点的上方

B．B点位于AC连线中点的下方

C．小球在A点的回复力等于mg

D．小球在C点的回复力大于mg

5．如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中物体A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图线为(　　)

考点二　简谐运动的能量

6.如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知(　　)

A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零

B．在0.2 s时，振子具有最大势能

C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值

D．在0.4 s时，振子的动能最大

7．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上．在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么(　　)

A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为

B．小球做简谐运动的振幅为

C．运动过程中小球的机械能守恒

D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变

8.如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A.在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面(有机械能损失)，第二次是当M运动到最大位移处C时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则(　　)

A．A1＝A2＝A   B．A1<A2＝A

C．A1＝A2<A   D．A2<A1＝A

9.如图所示，一水平弹簧振子在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动，O为平衡位置．已知振子由完全相同的P、Q两部分组成，彼此拴在一起．当振子运动到B点的瞬间，将P拿走，则以后Q的运动和拿走P之前相比有(　　)

A．Q的振幅不变，通过O点的速率减小

B．Q的振幅不变，通过O点的速率增大

C．Q的振幅增大，通过O点的速率增大

D．Q的振幅减小，通过O点的速率减小

考点三　简谐运动中各物理量的变化

10．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的振动图象，下列说法正确的是(　　)

A．在第1 s内，质点速度逐渐增大

B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大

C．在第4 s内，质点的动能逐渐增大

D．在第4 s内，质点的势能逐渐增大

11．一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子位移为时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为(　　)

A．a1>a2，E1<E2   B．a1>a2，E1>E2

C．a1<a2，E1<E2   D．a1<a2，E1>E2

二、非选择题

12．如图所示，弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长．重力加速度为g，则物体在振动过程中：

 (1)物体在竖直方向做简谐运动的过程中物体的机械能是否守恒？________.

A．守恒　　B．不守恒　　C．不确定

(2)物体在最高点回复力的大小________在最低点回复力的大小．(选填“大于”“小于”或“等于”)

(3)系统的最大弹性势能等于________．

(4)物体在最低点所受弹力等于________．

13．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示．

(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；

(2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？

(3)在t＝0到8.5×10－2 s时间内，质点通过的路程为多大？

14．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g.

 (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

(2)物块做简谐运动的振幅是多少；

(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动．(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F＝－kx)

参考答案

1.答案　C

解析　由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确．

2.答案　AD

解析　当物体位移是x时，物体受到的作用力F＝F1＋F2＝－k1x－k2x＝－3kx，符合简谐运动的动力学方程，m做简谐运动，所以OB、OC都是物体做简谐振动的振幅，OB＝OC，综上所述，选项A、D正确．

3.答案　C

解析　加速度与位移的关系为a＝－，而x＝Asin ωt，所以a＝－sin ωt，则可知C选项正确．

4.答案　ACD

解析　小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点由静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧的正上方自由下落，最低点需下移，但是平衡位置不变，可知B点位于AC连线中点的上方，故A正确，B错误；小球在A点所受弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；若从A点静止释放，到达最低点时，加速度与A点对称，大小为g，但是C点所处的位置在A点关于平衡位置对称点的下方，小球在C点的回复力大于mg，故D正确．

5.答案　B

解析　设弹簧的劲度系数为k，振子距平衡位置的位移为x时系统的加速度为a，根据牛顿第二定律有kx＝－(mA＋mB)a，所以当位移为x时，整体的加速度a＝－，隔离对A分析，则摩擦力Ff＝mAa＝－kx，B正确．

6.答案　B

解析　弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2 s时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．

7.答案　A

解析　小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，A对，B错．电场力做功，故机械能不守恒，C错．运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错．

8.答案　B

解析　振子运动到C点时速度恰为0，此时放上小物块，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，不变，故振幅不变，即A2＝A；振子运动到平衡位置时速度最大，弹簧的弹性势能为零，放上小物块后，系统的机械能减小，根据能量守恒定律可得机械能转化为弹性势能的总量减小，故弹簧的最大伸长(压缩)量减小，即振幅减小，所以A1<A，故A1<A2＝A，B正确．

9.答案　B

解析　振幅为偏离平衡位置的最大距离，即速度为零时的位移大小，振子到B点时速度为零，OB间距等于振幅，此时拿走P，振子速度仍然为零，故振幅不变；简谐运动中势能和动能之和守恒，到达B点时，动能为零，弹性势能最大，此时拿走P，系统机械能不变，回到O点时动能不变，根据Ek＝mv2，振子质量减小，速率一定增大，B正确．

10.答案　BC

解析　在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大，故A错误，B正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，故C正确，D错误．

11.答案　A

解析　振子从平衡位置向最大位移处运动时，振子做减速运动，并且加速度增大，所以经过，通过的位移大于，所以a1>a2，E1<E2，A正确．

12.答案　(1)B　(2)等于　(3)2mgA　(4)2mg

解析　(1)物体在竖直方向做简谐运动的过程中，由于弹簧的弹力对物体做功，因此物体的机械能不守恒，故B正确．

(2)物体在竖直方向做简谐运动，根据对称性可知，物体在最高点回复力的大小等于在最低点回复力的大小．

(3)从最高点到最低点，动能变化为0，重力势能减小2mgA，则弹性势能增加2mgA，而在最高点弹性势能为0，则物体在最低点弹性势能为2mgA.

(4)物体在最高点时回复力大小为mg，方向竖直向下．由对称性知，在最低点时回复力大小也等于mg，方向竖直向上，则有mg＝F弹－mg，得F弹＝2mg.

13.答案　(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小　变大　(3)34 cm

解析　(1)由题图可知质点做简谐运动的振幅A＝2 cm，周期T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos t cm＝－2cos 100πt cm

当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.

(2)由题图可知在1.5×10－2 ～2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．

(3)t＝0时质点位于负向最大位移处，从t＝0至8.5×10－2 s 的时间内为个周期，质点通过的路程为s＝17A＝34 cm.

14.答案　(1)L＋　(2)＋　(3)见解析

解析　(1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力．

根据平衡条件，有：

mgsin α＝k·Δx

解得Δx＝

故弹簧的长度为L＋

(2)物块做简谐运动的振幅为

A＝Δx＋L＝＋.

(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为

k(x＋Δx)＝k(x＋)

故合力为F＝mgsin α－k(x＋)＝－kx

故物块做简谐运动．