湖北省武汉市青山区2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列函数中，是的正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  某校组织环保知识竞赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有名同学成为区级参赛选手的候选人，具体情况如表：

如果从这名同学中选出位参加区级比赛总体水平高且状态稳定，你会推荐(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5.  如图，在矩形中，对角线，相交于点下列结论中不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知一次函数，那么下列结论正确的是(    )

A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点 D. 当时，

8.  匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中是一条折线这个容器的形状可能是下面图中的(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知点，点，分别是直线：和直线：上的动点，连接，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  一列火车以的速度匀速前进则它的行驶路程单位：关于行驶时间单位：的函数解析式为______ ．

13.  小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为          分．

14.  如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则 ______

15.  已知直线：过点则下列结论：
；
若当时，，则；
方程组的解为；
若直线向右平移个单位后过点，且不等式的解集为，则其中正确的有______ 请填写序号

16.  如图，，，，点是的中点，且，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．

求与的函数关系式；
当弹簧长度为时，求所挂物体的质量．

19.  本小题分
某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级名学生，统计得到该名学生参加志愿者活动的次数如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

表格中的 ______ ， ______ ；
在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______ ，中位数为______ ；
若该校八年级共有名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于次的人数．

20.  本小题分
如图，▱的对角线，相交于点，且，，．
求证：▱为菱形；
过点作于点求的长．

21.  本小题分
如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

在图中，以为边画平行四边形，再将线段平移到，使点与点对应，点与点对应，画出线段；
在图中，过点画，且再在上找点，使．

22.  本小题分
某公司计划购买，两种设备共台，要求种设备数量不低于种的，且不高于种的已知，两种设备的单价分别是元台，元台，设购买种设备台．
求该公司计划购买这两种设备所需费用元与的函数关系式：
求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？
由于市场行情波动，实际购买时，种设备单价上调了元台，种设备单价下调了元台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为元，请直接写出的值．

23.  本小题分
已知，点是的中线上一动点，，交于点，连接．

如图，当点与点重合时，求证：；
如图，当点与点不重合时，延长交于点，交于点．
判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若的边，以为腰作等腰直角，连接，点为的中点，当点从点运动到点过程中，请直接写出点的运动路径长．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，以线段为边，在第一象限内作正方形，直线与轴交于点，与线段交于点，且
已知．
请直接写出点和点的坐标；
若，求点的坐标；
若，请直接写出与的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：代数式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式有意义则被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

解析：解：是一次函数，不是正比例函数，故选项A不符合题意；
B.不满足正比例函数的定义，不是正比例函数，故选项B不符合题意；
C.是正比例函数，故选项C符合题意；
D.不满足正比例函数的定义，不是正比例函数，故选项D不符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义：为常数，判断即可．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

解析：解：、不能构成三角形，错误；
B、；
C、不能构成三角形，错误；
D、．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

解析：解：由于丙的方差较小、平均数较大，则应推荐丙．
故选：．
此题有两个要求：成绩较好，状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛，从而得出答案．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

解析：解：四边形是矩形，
，，，故选项A，，C正确，不符合题意；
不一定垂直于，故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据菱形的性质判断即可．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

解析：解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，二次根式的乘法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

解析：解：对于一次函数，
，
随的增大而减小，
故选项A不正确；
对于一次函数，
，，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选项B不正确；
对于一次函数，
当时，，
一次函数的图象必过点，
故选C正确；
对于一次函数，
当时，，解得：，
故选项D不正确．
故选：．
根据一次函数的性质可对选项A进行判断；根据，可对选项B进行判断，将点代入一次函数的解析式可对选项C进行判断，由时，，从而求出即可对选项D进行判断；
此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标，解答此题的关键是理解：对于一次函数，当时，的值随的值增大而增大，当时，最的增大而减小，当且时，函数的图象经过第一、二、三象限；当且时，函数的图象经过第一、三、四象限；当且时，函数的图象经过第二、三、四象限；当且时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．
 

8.【答案】 

解析：

解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．
则相应的排列顺序就为．
故选：．  

9.【答案】 

解析：解：由折叠可得，
，
，
，
，
中，，
由折叠可得垂直平分，
，
，
中，，
又是的中点，
，
故选：．
依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，根据勾股定理可得的长．在中，利用斜边上的中线的性质即可得到的长．
本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

10.【答案】 

解析：解：如图，在正方形中，，

直线：经过点，，
直线：是正方形的对称轴，
点在上，
可得点关于：的对称点，
当时，，
即直线：经过点，
过点作垂直直线：于点，即于点，交直线：于点，
和关于关于：对称，
，
，即的最小值为的长，
，
，
，
，
解得，
即的最小值为，
故选：．
在坐标系中构造边长为的正方形，得点关于：的对称点，连接，，则，当且仅当，，三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线：于点，即于点，交直线：于点，此时最小，利用等积法求出的长即可．
此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相关性质和数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

解析：解：根据题意得．
故答案为：．
利用路程速度时间，用表示出路程即可．
本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
 

13.【答案】 

解析：

解：根据题意得：
分．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．  

14.【答案】 

解析：解：四边形是正方形，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

解析：解：由题意，
对于，直线：过点，
．
．
正确，符合题意．
对于，由，
直线为．
当时，．
当时，即时，，不符合题意．
当时，即时，随增大而增大，从而当时，显然此时不符合题意．
当时，即时，随增大而减小，从而当时，此时符合题意．
综上，当时，，则．
错误，不符合题意．
对于，，
又由，
把代入得，
．
．
当时，的值不确定为任意值，此时也不确定．
当时，即，从而．
错误，不符合题意．
对于，直线向右平移个单位得解析式为，此时直线经过，
．

．
．
不等式的解集为，
，且．
，经检验是方程的解．
正确，符合题意．
故答案为：．
依据题意，根据所给条件，由一次函数与方程，一次函数与不等式的关系进行逐个分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程，解题时需要熟练掌握并理解．
 

16.【答案】 

解析：解：作交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
将绕点顺时针旋转得到，延长、交于点，如图所示，
则，，，，
，
，
，，
，，
为等边三角形，
，
为的中点，
点是的中点，
为的中位线，
，
，
，
故答案为：．
作交的延长线于，则，由含有角的直角三角形的性质及勾股定理可得，，从而可得，，将旋转得到，延长、交于点，由旋转的性质可得，从而得到，即为等边三角形，最后根据三角形中位线定理即可得到答案．
本题主要考查了含有角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握含有角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线，是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

解析：先进行二次根式的化简，再进行加减运算即可；
先算二次根式的乘法，再算除法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：把，代入中，
得，
解得：，
所以与的函数关系式为；
把代入中，
得，
解得：．
所挂物体的质量为． 

解析：把，代入中，即可算出的值，即可得出答案；
把代入中，计算即可得出答案．
本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式及函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

19.【答案】       

解析：解：根据给出的数据可得：，，
故答案为：，；
该名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
出现的最多，有次，
众数为；
共有名学生，中位数为第，第个数的平均数，
故答案为：，；
根据题意得：
人．
答：估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于次的人数有人．
由题中的数据即可求解；
根据中位数、众数的定义，即可解答；
根据样本估计总体，即可解答．
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

20.【答案】证明：，，，
，，
，
是直角三角形，，
，
▱为菱形；
解：由可知，▱为菱形，
，，，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：． 

解析：由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，则，再由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由菱形面积求出，然后由勾股定理即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，平行四边形，线段即为所求；
如图中，线段，点即为所求．
 

解析：根据平行四边形的定义以及性质解决问题即可；
利用旋转变换的性质作出线段，再利用等腰直角三角形的性质作出即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：由题意得：；
购买这两种设备所需费用元与的函数关系式为；
种设备数量不低于种的，且不高于种的，
，
解得，
为整数，
可以取，，，，，这个整数，
该公司按计划购买这两种设备有种方案；
根据题意可得：
，
当时，即时，随的增大而减小，
当时，最小，
，
解得：，不符合，舍去；
当时，即时，随的增大而增大，
当时，最小，
，解得：，
综上所述，． 

解析：根据单价乘以数量等于总价，表示出购买，两种设备的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用；
根据题意“种设备数量不低于种的，且不高于种的”，列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，从而得到购买方案；
根据题意列出与的函数关系式，分系数和时，根据一次函数的性质，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，正确得到一次函数和一元一次不等式组．
 

23.【答案】证明：，，
，，
为的中线，
，在与中，
，
≌，
．
解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图所示，过作交点，连接．
，
四边形为平行四边形，
．
同可证明．
，
又，
四边形是平行四边形；

如图所示，取的中点，连接，
是的中线，即点为的中点，
是的中位线，
，．
又，
由平行线的唯一性可知，重合，即点和点重合，
点为的中点，
，
四边形使平行四边形．
，．
，．
四边形是平行四边形，
，
，
；
．
当点在上运动时，点在直线上运动．
是等腰直角三角形，
，，点在直线上运动，
如图所示，以点为原点，以，为轴，轴建立坐标系，
设，
，
，
，
，
为的中点，

点在直线上运动，
当时，，当时，；
点的运动轨迹是从点，沿着直线运动到点，
点的运动路径长为．
 

解析：先根据平行线的性质得到，，进而利用证明≌，由此即可证明；
如图所示，过作交点，连接，先证明四边形为平行四边形，得到，同可证明，得到，由此即可四边形是平行四边形；
如图所示，取的中点，连接，则是的中位线，即可得到，，再由，可知，重合，即点和点重合，即点为的中点，证明四边形是平行四边形，推出；如图所示，以点为原点，以、为轴，轴建立坐标系，设，进而求出，则由此可得点在直线上运动，再求出点的运动轨迹是从点沿着直线运动到点，即可利用勾股定理求出点的运动路径长，
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，一次函数与几何综合，正确确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
当时，，
，
当时，，
，
过点作轴交于，
，
，
，
，
，
≌，
，，
；
，
，
连接，则，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，，
；
当时，，
，
当时，，
，
，，
，
过点作轴交于点，
，
，，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
． 

解析：过点作轴交于，通过证明≌，求点坐标；
连接，根据题意可得，利用平行线的性质求出直线的解析式为，再求直线与直线的交点即为点；
过点作轴交于点，根据平行线的性质可得，从而求出，再由直线的解析式为，求出点的横坐标为，从而得到方程，整理可得．