2022-2023学年云南省福贡县第一中学高一（重点班）下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省福贡县第一中学高一（重点班）下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．复数的实部与虚部之和为（    ）

A． B． C．1 D．4

【答案】C

【分析】根据复数运算法则可求得z，由实部和虚部定义求得结果.

【详解】因为，

所以复数的实部与虚部分别是，，则复数的实部与虚部之和为．

故选：C

2．在中，记，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.

【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.

故选：D

3．如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】在直观图中，利用余弦定理求出，再由斜二测画图法求出及，借助勾股定理求解作答.

【详解】在中，，，由余弦定理得：

，即，而，解得，

由斜二测画图法知：，，

在中，，所以.

故选：C

4．若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（    ）

A．2.5 B．3 C．4 D．

【答案】C

【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两种情况，即可得出结论.

【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，

因此有两种情况：

若为最长边，由，

可得，又，

所以，可得C正确；

若为最长边，由，

可得，又，

所以，此时没有选项符合.

故选：C

5．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.

【详解】∵在上的投影向量为，

，

，又是两个单位向量，即，

.

故选：.

6．空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（    ）

A．直线平行于平面 B．直线在平面内

C．直线与平面交于一点 D．直线和共面

【答案】C

【分析】根据线面平行及两直线平行得到与平面平行或直线在平面内，根据，可得直线和共面，从而判断出答案.

【详解】因为，所以与平面平行或直线在平面内，AB正确，C错误；

因为，所以直线和共面，D正确.

故选：C

7．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解.

【详解】依题意可知，底面圆的半径为圆柱部分的高为，圆锥部分的高为，

所以圆柱部分的体积为，

圆锥部分的体积为，

所以该组合体的体积为.

故选：C.

8．在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点，连，，，（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，解三角形可得解.

【详解】取的中点，连，，，

则，，所以四边形是平行四边形，

所以，所以（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，

设正方体的棱长为，则，，

则.

所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为.

故选：C

二、多选题

9．的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ）

A．

B．

C．外接圆的面积为

D．的面积为

【答案】ABD

【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.

【详解】解：设的外接圆的半径为,

因为，所以，

所以，则外接圆的面积为.

因为，所以

所以, 所以ABD正确，C错误.

故选：ABD

10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为

B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球面面积相等

D．圆柱、圆锥、球的体积之比为

【答案】CD

【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.

【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，

则圆柱的侧面积为，A错误；

圆锥的母线长，侧面积为，B错误；

球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；

，，

，D正确．

故选：CD．

11．下列命题中成立的是（    ）

A．b，c

B．，b

C．，，且，

D．，且

【答案】ACD

【分析】对于A，由平行公理可判断；对于B，由可得与的关系可能平行、相交或异面，从而可判断；对于C，由若一条直线上有两点在一个平面内，则整条直线就在平面内可判断；对于D，由若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线可判断.

【详解】对于A，由平行公理可得，，故A正确；

对于B，由，可得与的关系有三种，分别为平行、相交或异面，故B错误；

对于C，若一条直线上有两点在一个平面内, 则整条直线就在平面内，即，且 ，，故C正确；

对于D，若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线，即 且, 故D正确.

故选：ACD

12．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（    ）

A．

B．平面

C．与平面所成角是

D．与所成的角等于与所成的角

【答案】ABC

【分析】利用线面垂直的性质可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；利用线面角的定义可判断C选项；利用线线角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为四边形为正方形，则，

因为平面，平面，所以，，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，所以，，A对；

对于B选项，因为四边形为正方形，则，

又因为平面，平面，所以，平面，B对；

对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；

对于D选项，因为，平面，平面，

所以，，所以，为锐角，

所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，

故与所成的角不等于与所成的角，D错.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知数（为虚数单位），且的共轭复数为，则          ．

【答案】

【分析】根据复数模长的性质求解

【详解】由得，所以，即，所以.

故答案为：

14．已知，则     

【答案】1

【分析】根据诱导公式直接求解即可.

【详解】.

故答案为:1.

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为             .

【答案】

【分析】用余弦定理求得后可得周长．

【详解】已知，，，

由余弦定理得，

所以，即

，则，

三角形周长为．

故答案为：．

16．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为            ．

【答案】/

【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可.

【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．

又，所以，所以．

故答案为：

四、解答题

17．在中，分别是角所对的边，且满足．

(1)求角的大小；

(2)设向量，向量，且，判断的形状．

【答案】(1)；

(2)直角三角形.

【分析】（1）利用余弦定理求解即可；

（2）由，可得，即有，，即可得结论.

【详解】（1）解：因为，

所以，

因为，

所以；

（2）解：因为，，且，

所以，

所以，

所以或（舍），

当时，，

所以为直角三角形．

18．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由余弦定理计算可得；

（2）由正弦定理计算可得；

（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.

【详解】（1）由余弦定理知，，

所以，即，    

解得或（舍负），所以．

（2）由正弦定理知，，

所以，

所以．

（3）由余弦定理知，，    

所以，，    

所以

.

19．在中，角所对的边分别，且

(1)求角A的值；

(2)已知在边上，且，求的面积的最大值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求，

（2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解.

【详解】（1）在中因为．

由正弦定理得，

所以，

因为，所以．故

又是的内角，所以．从而．

而A为的内角，所以；

（2）因为所以,所以，

从而，

由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，

故的面积的最大值为.

20．如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；

(2)若，且为锐角，求证：平面．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；

（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.

【详解】（1）面面，，面面，面，

所以面，又的面积为6，

所以三棱锥的体积.

（2）由题设，即，又为锐角，

所以，

由，故，

所以，

由（1）知面，面，故，

，面，故平面.

21．如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；

(2)若中点为，求证：平面平面.

(3)若平面，，求直线与面所成的角.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3).

【详解】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，所以，从而得证；

（2）依题意可得即可得到平面，再结合（1）的结论，即可得证；

（3）依题意可得平面平面，由面面垂直的性质得到平面，则即为直线与面所成的角，再根据边长的关系得解.

（1）取的中点，连接，，

因为是的中点，所以且，

又是的中点，是正方形，所以且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）因为为的中点，是的中点

所以，又平面，平面，所以平面，

又平面，，平面，所以平面平面.

（3）因为平面，平面，所以平面平面，

又为正方形，所以，因为平面，平面平面，

所以平面，

所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形，

所以，

即直线与面所成的角为.

22．如图，在正四棱锥中，.

(1)求侧棱与底面所成角的大小；

(2)求二面角的大小的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据线面角的定义可证得为所求角，设等边的边长为，由长度关系可求得，从而得到结果；

（2）由二面角平面角定义可知为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果.

【详解】（1）设底面正方形的中心为，连接，

由正四棱锥结构特征知：平面，

即点在平面上的投影为，为侧棱与底面所成角，

在中，，，为等边三角形，设其边长为，

平面，平面，，

在中，，，，

，即侧棱与底面所成角的大小为.

（2）取的中点为，连接，

在正方形中，；在等边中，，

为二面角的平面角，

平面，平面，；

在中，，，，

二面角的大小的余弦值为.