2022-2023学年新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得，根据集合的并集运算即可求得答案.

【详解】由题意可得， ，

则，

故选：A

2．不等式的解集为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】由，可得

所以或，

所以不等式的解集为或.

故选：C.

3．下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可求解.

【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，且在定义域内有恒成立，特别地，若在时有定义，则有，

对于A，的定义域为，不满足要求，故A错误；

对于B，因为的定义域为，关于原点对称，

又，

所以是奇函数，故B正确；

对于C，因为，所以不是奇函数，故C错误；

对于D，因为，，即，

所以不是奇函数，故D错误.

故选：B.

4．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；

对于B，若，则反向，，B正确；

对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；

对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.

故选：B.

5．已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数的定义求解即可.

【详解】

故选：C

6．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】引入中间值，与1比较大小，与0比较大小即可.

【详解】因为，，，

所以．

故选：B.

7．在中，已知，，，则等于（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】C

【分析】根据正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范围．

【详解】根据正弦定理有，

所以，

又在中，有，且，

则，所以．

故选：C．

8．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解.

【详解】

如图所示，过点分别作，，分别交，于点，，

则，，

所以，，，，

由已知得，

则在中，，

所以，，

即，，

所以，，

即，，

所以，

故选：A.

二、多选题

9．已知向量，，则正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若与的夹角为钝角，则 D．若向量是与同向的单位向量，则

【答案】ABD

【分析】根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示即可判断A；根据向量共线的坐标表示即可判断B；若与的夹角为钝角，则，且与不共线，列出不等式组，即可判断C；若向量是与同向的单位向量，则，从而可判断D.

【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；

对于B，若，则，所以，故B正确；

对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，

即，解得，且，故C不正确；

对于D，若向量是与同向的单位向量，则，故D正确.

故选：ABD.

10．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（   ）

A．，，； B．，，；

C．，，； D．，，.

【答案】AD

【分析】由正弦定理解三角形后可得结论.

【详解】对于A，由正弦定理得：，

，，即，，则三角形有唯一解，A正确；

对于B，由正弦定理得：，

，，即，或，则三角形有两解，B错误；

对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；

对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.

故选：AD

11．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：，错误；

对选项C：，错误；

对选项D：，正确.

故选：AD

12．已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解.

【详解】因为，

所以.

因为为锐角，

所以，解得.

当时，，解得.

当为锐角时，实数的取值范围是.

所以实数可能的取值是，.

故选：BD.

三、填空题

13．的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为         ．

【答案】/

【分析】由题意可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】由可得：，则，

由余弦定理可得，

因此，.

故答案为：.

14．已知，则的夹角为      .

【答案】

【分析】根据，可得，结合数量积的运算律求出夹角的余弦值，即可得解.

【详解】，

设的夹角为，因为，

所以，

所以，

故的夹角为.

故答案为：.

15．如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为      m

【答案】

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】由题，作出空间图形如下，

则有,

因为到达B处仰角为45°，所以，

在中，，

由正弦定理可得解得m，

所以m，

故答案为: .

16．如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围      ．

【答案】

【分析】连接、和，根据题意得到为平行四边形，设，其中，根据向量的运算法则，求得，，结合向量的数量积的运算公式，求得，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】如图所示，连接、和，因为且为的中点，

可得为平行四边形，所以，

设，其中，

因为，可得，，

在中，可得，

在中，可得，

又因为且，所以，

所以

，

设，

根据二次函数的性质，可得函数的对称轴为，

且在在上单调递减，在在上单调增，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

又由，即函数的最大值为，

所以的取值范围.

故答案为：.

四、解答题

17．已知．

(1)化简；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式及弦切互化公式化简即可；（2）利用同角三角函数基本关系求解即可.

【详解】（1）

.

（2）∵，且，

∴，

∴.

18．已知的内角的对边分别为，且

(1)求角；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.

【详解】（1）已知，

由正弦定理得，

，

显然，

所以有，得，

因为角为内角，

所以.

（2）由正弦定理可知，

由（1）可知，因为，

由余弦定理可得，，

所以有，，

解得，.

19．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.

(1)若，求的值；

(2)设，，，，求的值；

【答案】(1)；

(2)3.

【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；

（2）由，将用表示，利用三点共线即得.

【详解】（1）因，

所以，

又因为的中点，

所以，

所以，又，

所以；

（2）因，，，，

所以，，又因，

所以，

又因，，三点共线，

所以，即.

20．已知平面向量，且，

(1)若，且，求向量的坐标；

(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；

（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.

【详解】（1）解：设，，

，又，

，

或，

或.

（2）解：，，设与的夹角为.

故，

在上的投影向量为.

21．已知函数，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角A；

(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）运用三角恒等变换化简函数，再运用特殊角的三角函数值解方程即可.

（2）方法一：在△ABC中运用余弦定理求得BC及，再在中运用余弦定理可求得AD的值.

方法二：运用平面向量基本定理可得，两边同时平方运用数量积求解即可.

【详解】（1）因为

，

所以，所以．

所以，即．

又，所以．

（2）如图所示，

方法一：在△ABC中，由余弦定理可得，

则．又点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以．

又在△ABC中，，

在中，由余弦定理可得，

所以．

方法二：因为点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以．

等式两边同时平方可得．

所以，即．

22．由于疫情原因，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（为长度单位）．设计者准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．

(1)求点到点的距离；

(2)求点到点的距离；

(3)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)当时，三角形区域面积取最小值．

【分析】（1）连接、，计算出，利用余弦定理可求得的长；

（2）计算出，可得出，利用正弦定理可求得的长，再利用勾股定理可求得的长；

（3）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面积的最小值.

【详解】（1）解：连接、，在中，因为，，则，

由余弦定理可得：，所以，.

（2）解：在中，由余弦定理可得，．

在中，，

由正弦定理可得，解得．

在直角中，，所以，.

（3）解：因为，

．

因为，所以，，

当且仅当时，等号成立，因此，．