2022-2023学年湖北省荆州市开发区高级中学高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省荆州市开发区高级中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知扇形的周长为6cm，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（        ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由题意可列关于扇形的圆心角的方程，解之即可.

【详解】设扇形的圆心角为α rad，半径为Rcm，则，

解得α＝1．

故选：A．

2．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．∪

【答案】D

【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示.

【详解】角α的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：

即∪

故选：.

【点睛】本题考查由三角函数值的范围，求角度的范围，涉及三角函数线的应用，属基础题.

3．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式化简可得结果.

【详解】.

故选：C.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简可得结果.

【详解】.

故选：B.

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数为奇函数可以排除A，B选项，再根据当，且时，，排除D选项，可得答案.

【详解】由函数有，

所以函数为奇函数，故排除A，B选项.

又当，且时，，，即，排除D选项.

故选：C.

6．函数的部分图象如图，的最小正零点是，的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图可得，令有，根据的最小正零点是求，即可写出的解析式，由整体代入法求的单调递增区间.

【详解】由图知：，令，

∴，则，可得，

∵的最小正零点是，且，

∴当时，，得.

∴，令，

∴，故在上递增.

故选：B

7．已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数图象和直线．根据对数函数与正弦函数性质可得的性质，从而求得相应范围．

【详解】的零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出的图象和直线，如图，

，区间正好是的一个周期，和时取得最大值，因此是它在上的对称轴，，

由得，，

所以，它在时是增函数，

，，

所以的取值范围是．

故选：D．

8．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由三角恒等变换将题设转化为在上恒成立，再由正弦函数的性质求出，即可求解.

【详解】不等式可转化为，

即在上恒成立，当时，，则，则.

故选：D.

二、多选题

9．下列计算中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解.

【详解】对于A，，

错误；

对于B，，正确；

对于C，，正确；

对于D，，正确.

故选：BCD

10．已知曲线：，：，则（    ）

A．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到

B．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到

C．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到

D．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到

【答案】BD

【分析】根据三角函数的图象变换直接求解.

【详解】变换方式一：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到曲线．

变换方式二：因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到曲线．

故选:BD．

11．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

12．已知函数的图象关于直线对称，且对于，当，，且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】首先得到为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减，则问题转化为恒成立，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.

【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，即为偶函数，

又当，，且时，恒成立，即恒成立，

所以在上单调递增，则在上单调递减，

若对任意的恒成立，

即恒成立，即恒成立，

即恒成立，即，解得，即，

故符合条件的有A、B、C；

故选：ABC

三、填空题

13．函数的定义域为      .

【答案】

【分析】根据被开方式大于等于零，分母不为零，即可得到结果.

【详解】使函数有意义需满足：，解得，且，

故定义域为.

故答案为：

14．已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在上的最大值要不大于上的任意函数值，据此解答即可.

【详解】因为在上单调递增，

所以当时，在上单调递增，

又因为开口向下，对称轴为，

所以，故，且在上的最大值为，

当时，在上单调递增，

所以由幂函数的性质可知，且，

故，得，

由于以上条件要同时成立，故，即.

故答案为：.

15．已知，则      .

【答案】

【分析】直接利用诱导公式及二倍角公式求解即可.

【详解】.

故答案为：

16．函数的所有零点之和为          ．

【答案】9

【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.

【详解】由，令，，

显然与的图象都关于直线对称，

在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，

这6个点两两关于直线对称，有，则，

所以函数的所有零点之和为9.

故答案为：9

四、解答题

17．已知且求及

【答案】，

【分析】根据同角平方公式，结合正弦和角公式与余弦和角公式，可得答案.

【详解】由，则，即，

，

.

18．已知且.

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由代入正切函数的二倍角公式即可求解；

（2）求出，利用两角和的正切函数公式可得答案.

【详解】（1）因为，所以．

（2）因为，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以．

19．已知函数的部分图象如图所示，且在处取得最大值，图象与轴交于点．

(1)求函数的解析式；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图象可得函数的周期，从而求得，结合函数在处取得最大值，可求得的值，再根据图象与轴交于点，可求得，从而可得解；

（2）根据（1）及角的范围求得，，再利用两角差的余弦公式进行化简可求解.

【详解】（1）由图象可知函数的周期为，所以.

又因为函数在处取得最大值

所以，所以，

因为，所以，

故.

又因为，所以，

所以.

（2）由（1）有，

因为，则，

由于，从而，

因此.

所以

.

20．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)，

(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；

（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案.

【详解】（1）由题意可得

当时，所以

解得

所以

（2）当时，，其对称轴为

所以当时取得最大值万元

当时，万元

当且仅当即时等号成立

因为

所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

21．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）当时，解指数、对数不等式求得不等式的解集.

（2）利用求得，由分离常数，利用构造函数法，结合函数的值域，求得的取值范围.

【详解】（1）当时，.

由，

得，

得，

得，

解得.

故不等式的解集是.

（2）因为函数的图象过点，

所以，

即，

解得.

所以.

因为关于的方程有实根，

即有实根.

所以方程有实根..

令，

则.

因为，，

所以的值域为.

所以，

解得.

所以实数的取值范围是.

【点睛】研究方程的零点问题，可考虑分离常数法，结合函数值域进行求解.

22．已知.

(1)求的单调递增区间；

(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)（）

(2)

【详解】（1）化简得

，

令，，解得，

所以单调递增区间为，.

（2）由（1）可得，

即，对任意的恒成立，

只需要即可，

，

令，，为减函数，

所以当时，，

所以.