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2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（上）开学数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（上）开学数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列数学表达式中是不等式的是（ ）
A．a＝6 B．x﹣2y C．3x﹣6＞0 D．8
3．（3分）正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440° B．720° C．360° D．180°
4．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
5．（3分）使分式有意义的条件是（ ）
A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3
6．（3分）若等腰三角形的底边长是10，则腰长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．（3分）若a＜b，则下列变形错误的是（ ）
A．2a＜2b B．2+a＜2+b C． D．2﹣a＜2﹣b
8．（3分）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
9．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
10．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
11．（3分）下列说法正确的有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角的度数之比可以是2：3：2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2﹣81＝ ．
14．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 ．
15．（3分）直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是AC的中点，点E是直线BC上一动点，线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，当点E运动时，则线段AF的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．
18． （6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
19．（7分）已知如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC沿x轴负方向平移4个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D 、E 、F ；
（2）在坐标系中画出平移后的△DEF；
（3）求出△DEF的面积．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
（1）证明∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝29°，求∠B的度数．
21．（8分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？
（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝BC，点A在y轴的正半轴上，点B（﹣3，0），点C（2，0）．
（1）点A的坐标是（ ， ）．
（2）点D是边AC上一点，且直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，求直线OD的表达式．
（3）点P是直线OD上一点，在x轴上是否存在点M，使以A、B、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（上）开学
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（3分）下列数学表达式中是不等式的是（ ）
A．a＝6 B．x﹣2y C．3x﹣6＞0 D．8
【分析】主要依据不等式的定义（用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式）来判断．
【解答】解：A、a＝6属于等式．故本选项错误；
B、x﹣2y中不含有不等号，它不是不等式．故本选项错误；
C、3x﹣6＞0符合不等式的定义．故本选项正确；
D、8中不含有不等号，它不是不等式．故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
3．（3分）正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440° B．720° C．360° D．180°
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：正十边形的外角和的度数为360°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
4．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；
C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5．（3分）使分式有意义的条件是（ ）
A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，即x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．
6．（3分）若等腰三角形的底边长是10，则腰长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系进行判断．
【解答】解：∵7+7＞10，
∴腰长可为7．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
7．（3分）若a＜b，则下列变形错误的是（ ）
A．2a＜2b B．2+a＜2+b C． D．2﹣a＜2﹣b
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都乘2，不等号的方向不变，故A正确；
B、两边都加2，不等号的方向不变，故B正确；
C、两边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、两边都乘﹣1，不等号的方向应该改变，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．
【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：∵点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，
∴，
解得3＜x＜4，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【分析】直接利用菱形的性质得出AD＝BC＝6cm，AC⊥BD，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝6cm，AC⊥BD，
∵H为AD边的中点，
∴HO＝AD＝3cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
11．（3分）下列说法正确的有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角的度数之比可以是2：3：2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．
【解答】解：①正确；
②平行四边形的对角相等，命题错误；
③平行线间的平行线段相等，命题错误；
④正确；
⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理以及性质定理，正确理解定理的内容是关键．
12．（3分）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2﹣81＝ （a+9）（a﹣9） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（a+9）（a﹣9）．
故答案为：（a+9）（a﹣9）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 2 ．
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得PE＝PD＝2．
【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟记定理是解题的关键．
15．（3分）直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】结合函数图象，写出直线l2在直线l1上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x的交点的横坐标为﹣1，
∴当x＜﹣1时，y2＞y1，
∴关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是AC的中点，点E是直线BC上一动点，线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，当点E运动时，则线段AF的最小值是 2 ．
【分析】过点D作DM⊥AC，交BC于M，连接FC．证明△DME≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质得出∠FCA＝∠DMC＝45°，则点F在垂直于BC的直线CF上运动，过点A作AN⊥CF，交CF的延长线于点N，由垂线段的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AC，交BC于M，连接FC．
∵∠MDC＝90°＝∠BAC，
∴AB∥MD，
∴∠DMC＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴DM＝DC，
在△DME和△DCF中，
，
∴△DME≌△DCF（SAS），
∴∠FCA＝∠DMC＝45°，
∴∠FCB＝∠FCA+∠ACB＝90°，
∴点F在垂直于BC的直线CF上运动，
过点A作AN⊥CF，交CF的延长线于点N，
∴AN＝＝2，
∴AF的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查旋转变换，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【分析】首先分别计算出两个不等式，再在数轴上表示出解集，进而可得不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
把不等式①②的解集表示在数轴上为：
，
所以，不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x﹣2，
当x＝2020时，
原式＝2020﹣2
＝2018．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（7分）已知如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC沿x轴负方向平移4个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D （﹣2，1） 、E （1，﹣3） 、F （﹣3，﹣1） ；
（2）在坐标系中画出平移后的△DEF；
（3）求出△DEF的面积．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A、B、C的对应点D、E、F的坐标；
（2）利用点D、E、F的坐标描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△DEF的面积．
【解答】解：（1）D（﹣2，1）；E（1，﹣3）；F（﹣3，﹣1）；
（2）如图，△DEF为所作；
（3）△DEF的面积＝4×4﹣×2×1﹣×4×2﹣×4×3＝5．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
（1）证明∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝29°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据角平分线即可得到∠BAD＝∠DAE，依据DE垂直平分AC，即可得出∠DAE＝∠C，进而得到∠BAD＝∠C；
（2）根据角平分线的定义求出∠BAC＝58°，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAE，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAE＝∠C，
∴∠BAD＝∠C；
（2）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAE，
∵∠BAD＝29°，
∴∠DAE＝29°，
∴∠BAC＝58°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∴∠DAE＝∠DCA＝29°，
∵∠BAC+∠DCA+∠B＝180°，
∴∠B＝93°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（8分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？
（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？
【分析】（1）设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，根据甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙厂每天要多生产m万只该种口罩，根据甲、乙两厂10日内至少要生产200万只该种口罩，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，
依题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝8．
答：甲厂每天生产该种口罩8万只，乙厂每天生产该种口罩3万只．
（2）设乙厂每天要多生产m万只该种口罩，
依题意得：8×10+（m+3）×10≥200，
解得：m≥9．
答：乙厂至少每天要多生产9万只该种口罩．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝ 7.5 cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝ 5 cm时，四边形CEDF是菱形．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①证明△ABP≌△CDE（SAS），推出∠CED＝∠APB＝90°，即可得出答案；
②证明△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝6cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝2.5cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，
∵AE＝7.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：7.5；
②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝5cm，AD＝10cm，
∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），
∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝BC，点A在y轴的正半轴上，点B（﹣3，0），点C（2，0）．
（1）点A的坐标是（ 0 ， 4 ）．
（2）点D是边AC上一点，且直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，求直线OD的表达式．
（3）点P是直线OD上一点，在x轴上是否存在点M，使以A、B、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点A的坐标为（0，y），AB＝BC，则（0+3）2+y2＝（2+3）2，解得y＝4，即可求解；
（2）直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，点D是Rt△AOC的中点，则点D（1，2），即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形的平移和中点公式分别求解即可．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（0，y），
∵AB＝BC，则（0+3）2+y2＝（2+3）2，解得y＝4，
故点A的坐标为（0，4），
故答案为：0，4；
（2）∵直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，
∴点D是Rt△AOC的中点，则点D（1，2），
设直线OD的表达式为y＝kx，
将点D的坐标代入上式得：2＝k×1，解得k＝2，
故直线OD的表达式为y＝2x；
（3）∵点P在直线OD上，故设点P（m，2m），设点M（x，0），
①当AB是边时，
则点B向右平移4个单位向上平移3个单位得到点A，同样，点P（M）向右平移4个单位向上平移3个单位得到点M（P），
则，解得；
②当AB是对角线时，
则由中点公式得，解得；
综上，点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、中点公式的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列数学表达式中是不等式的是（ ）
A．a＝6 B．x﹣2y C．3x﹣6＞0 D．8
3．（3分）正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440° B．720° C．360° D．180°
4．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
5．（3分）使分式有意义的条件是（ ）
A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3
6．（3分）若等腰三角形的底边长是10，则腰长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．（3分）若a＜b，则下列变形错误的是（ ）
A．2a＜2b B．2+a＜2+b C． D．2﹣a＜2﹣b
8．（3分）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
9．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
10．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
11．（3分）下列说法正确的有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角的度数之比可以是2：3：2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2﹣81＝ ．
14．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 ．
15．（3分）直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是AC的中点，点E是直线BC上一动点，线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，当点E运动时，则线段AF的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．
18． （6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
19．（7分）已知如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC沿x轴负方向平移4个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D 、E 、F ；
（2）在坐标系中画出平移后的△DEF；
（3）求出△DEF的面积．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
（1）证明∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝29°，求∠B的度数．
21．（8分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？
（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝BC，点A在y轴的正半轴上，点B（﹣3，0），点C（2，0）．
（1）点A的坐标是（ ， ）．
（2）点D是边AC上一点，且直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，求直线OD的表达式．
（3）点P是直线OD上一点，在x轴上是否存在点M，使以A、B、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（上）开学
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（3分）下列数学表达式中是不等式的是（ ）
A．a＝6 B．x﹣2y C．3x﹣6＞0 D．8
【分析】主要依据不等式的定义（用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式）来判断．
【解答】解：A、a＝6属于等式．故本选项错误；
B、x﹣2y中不含有不等号，它不是不等式．故本选项错误；
C、3x﹣6＞0符合不等式的定义．故本选项正确；
D、8中不含有不等号，它不是不等式．故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
3．（3分）正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440° B．720° C．360° D．180°
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：正十边形的外角和的度数为360°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
4．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；
C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5．（3分）使分式有意义的条件是（ ）
A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，即x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．
6．（3分）若等腰三角形的底边长是10，则腰长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系进行判断．
【解答】解：∵7+7＞10，
∴腰长可为7．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
7．（3分）若a＜b，则下列变形错误的是（ ）
A．2a＜2b B．2+a＜2+b C． D．2﹣a＜2﹣b
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、两边都乘2，不等号的方向不变，故A正确；
B、两边都加2，不等号的方向不变，故B正确；
C、两边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、两边都乘﹣1，不等号的方向应该改变，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．
【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：∵点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，
∴，
解得3＜x＜4，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【分析】直接利用菱形的性质得出AD＝BC＝6cm，AC⊥BD，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝6cm，AC⊥BD，
∵H为AD边的中点，
∴HO＝AD＝3cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
11．（3分）下列说法正确的有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角的度数之比可以是2：3：2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．
【解答】解：①正确；
②平行四边形的对角相等，命题错误；
③平行线间的平行线段相等，命题错误；
④正确；
⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理以及性质定理，正确理解定理的内容是关键．
12．（3分）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2﹣81＝ （a+9）（a﹣9） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（a+9）（a﹣9）．
故答案为：（a+9）（a﹣9）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 2 ．
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得PE＝PD＝2．
【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟记定理是解题的关键．
15．（3分）直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】结合函数图象，写出直线l2在直线l1上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x的交点的横坐标为﹣1，
∴当x＜﹣1时，y2＞y1，
∴关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是AC的中点，点E是直线BC上一动点，线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，当点E运动时，则线段AF的最小值是 2 ．
【分析】过点D作DM⊥AC，交BC于M，连接FC．证明△DME≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质得出∠FCA＝∠DMC＝45°，则点F在垂直于BC的直线CF上运动，过点A作AN⊥CF，交CF的延长线于点N，由垂线段的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AC，交BC于M，连接FC．
∵∠MDC＝90°＝∠BAC，
∴AB∥MD，
∴∠DMC＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴DM＝DC，
在△DME和△DCF中，
，
∴△DME≌△DCF（SAS），
∴∠FCA＝∠DMC＝45°，
∴∠FCB＝∠FCA+∠ACB＝90°，
∴点F在垂直于BC的直线CF上运动，
过点A作AN⊥CF，交CF的延长线于点N，
∴AN＝＝2，
∴AF的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查旋转变换，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【分析】首先分别计算出两个不等式，再在数轴上表示出解集，进而可得不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
把不等式①②的解集表示在数轴上为：
，
所以，不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x﹣2，
当x＝2020时，
原式＝2020﹣2
＝2018．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（7分）已知如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC沿x轴负方向平移4个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D （﹣2，1） 、E （1，﹣3） 、F （﹣3，﹣1） ；
（2）在坐标系中画出平移后的△DEF；
（3）求出△DEF的面积．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A、B、C的对应点D、E、F的坐标；
（2）利用点D、E、F的坐标描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△DEF的面积．
【解答】解：（1）D（﹣2，1）；E（1，﹣3）；F（﹣3，﹣1）；
（2）如图，△DEF为所作；
（3）△DEF的面积＝4×4﹣×2×1﹣×4×2﹣×4×3＝5．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
（1）证明∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝29°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据角平分线即可得到∠BAD＝∠DAE，依据DE垂直平分AC，即可得出∠DAE＝∠C，进而得到∠BAD＝∠C；
（2）根据角平分线的定义求出∠BAC＝58°，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAE，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAE＝∠C，
∴∠BAD＝∠C；
（2）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAE，
∵∠BAD＝29°，
∴∠DAE＝29°，
∴∠BAC＝58°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∴∠DAE＝∠DCA＝29°，
∵∠BAC+∠DCA+∠B＝180°，
∴∠B＝93°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（8分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？
（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？
【分析】（1）设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，根据甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙厂每天要多生产m万只该种口罩，根据甲、乙两厂10日内至少要生产200万只该种口罩，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，
依题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝8．
答：甲厂每天生产该种口罩8万只，乙厂每天生产该种口罩3万只．
（2）设乙厂每天要多生产m万只该种口罩，
依题意得：8×10+（m+3）×10≥200，
解得：m≥9．
答：乙厂至少每天要多生产9万只该种口罩．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝ 7.5 cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝ 5 cm时，四边形CEDF是菱形．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①证明△ABP≌△CDE（SAS），推出∠CED＝∠APB＝90°，即可得出答案；
②证明△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝6cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝2.5cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，
∵AE＝7.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：7.5；
②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝5cm，AD＝10cm，
∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），
∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝BC，点A在y轴的正半轴上，点B（﹣3，0），点C（2，0）．
（1）点A的坐标是（ 0 ， 4 ）．
（2）点D是边AC上一点，且直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，求直线OD的表达式．
（3）点P是直线OD上一点，在x轴上是否存在点M，使以A、B、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点A的坐标为（0，y），AB＝BC，则（0+3）2+y2＝（2+3）2，解得y＝4，即可求解；
（2）直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，点D是Rt△AOC的中点，则点D（1，2），即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形的平移和中点公式分别求解即可．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（0，y），
∵AB＝BC，则（0+3）2+y2＝（2+3）2，解得y＝4，
故点A的坐标为（0，4），
故答案为：0，4；
（2）∵直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，
∴点D是Rt△AOC的中点，则点D（1，2），
设直线OD的表达式为y＝kx，
将点D的坐标代入上式得：2＝k×1，解得k＝2，
故直线OD的表达式为y＝2x；
（3）∵点P在直线OD上，故设点P（m，2m），设点M（x，0），
①当AB是边时，
则点B向右平移4个单位向上平移3个单位得到点A，同样，点P（M）向右平移4个单位向上平移3个单位得到点M（P），
则，解得；
②当AB是对角线时，
则由中点公式得，解得；
综上，点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、中点公式的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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