2022-2023学年贵州省黔西南布依族苗族自治州兴义第一中学高一下学期第三次月考数学试题含答案

2022-2023学年贵州省黔西南布依族苗族自治州兴义第一中学高一下学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．若复数满足,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.

【详解】因为,

所以,

则,

故选:B.

2．目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有100名感染者，其中有10名年轻人，60名老年人，30名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取20人进行检测，则做检测的老年人人数为（    ）

A．6 B．10 C．12 D．16

【答案】C

【分析】利用分层抽样比例求解.

【详解】解：老年人做检测的人数为.

故选：.

3．下列说法正确的是（    ）

A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线

C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D．圆锥的母线可能平行

【答案】C

【分析】由题意，根据圆台的基本概念，可得答案.

【详解】对于A，当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；

对于B，旋转的直角梯形不垂直于底的腰叫做圆台的母线，故B错误；

对于C，由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确；故D错误；

故选：C.

4．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形的面积公式，代入相关数据，即可求解.

【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为，则由扇形的面积为，可得：，解得：扇形的圆心角．

故选：C

5．已知角终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定，化简得到原式为，计算得到答案.

【详解】角终边经过点，故，

，

故选：B

6．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．四边形的周长为

D．四边形的面积为

【答案】D

【分析】先画出原图，然后根据斜二测画法的知识确定正确答案.

【详解】如图过作，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，

即,即B错误；

还原平面图为下图，

即，即A错误；

过C作CF⊥AB，由勾股定理得，

故四边形ABCD的周长为：，即C错误；

四边形ABCD的面积为：，即D正确.

故选：D.

7．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（    ）

A．的周期为

B．在上单调递增

C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称

【答案】D

【分析】根据题意求得函数周期，判断A；进而确定，可得函数解析式，利用正弦函数单调性判断B；根据正弦函数的对称性可判断C，D.

【详解】由题意函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，

故函数周期为，A错误；

则，

当时，，

因为函数在上不单调，故在上不单调递增，B错误；

因为，此时函数取到最小值，

故的图象不关于点对称，C错误；

，此时函数取到最大值，的图象关于直线对称，D正确，

故选：D

8．已知三棱锥满足，．则其外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，根据三棱锥图像，分别表示出，，然后利用勾股定理，解得，进而利用球体的体积公式即可得出答案.

【详解】在中，，，

根据三角形的外接圆半径公式，

可得的外接圆半径，

如图所示．

设点在平面内的投影的为，则，

在中，

因为，解得，

设三棱锥的外接球半径，

即，，

在中，由勾股定理得，

即，解得，

故三棱锥的外接球半径，

根据球体的体积公式.

故选：C

二、多选题

9．已知，其中，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A：利用同角三角函数基本关系来计算判断；

对于B：利用倍角公式来计算判断；

对于C：利用倍角公式来计算判断；

对于D：利用两角差的余弦公式来计算判断.

【详解】对于A：若，其中，则，，故A错误；

对于B：，且，则，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确．

故选：BCD.

10．已知向量，，则（    ）

A． B．

C．与同向的单位向量是 D．向量在上的投影向量是

【答案】ABD

【分析】由向量的数量积的坐标运算可判断A；由向量的坐标减法运算和模长计算可判断B；由单位向量的定义可判断C；由投影向量的定义可判断D.

【详解】对于A，由题意可得，则A正确．

对于B，因为，，所以，所以，则B正确．

对于C，与同向的单位向量是，则C错误．

对于D，向量在上的投影向量是，则D正确．

故选：ABD.

11．已知l，m为直线，为平面，下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AD

【分析】求得位置关系判断选项A；求得位置关系判断选项B；求得位置关系判断选项C；求得位置关系判断选项D.

【详解】选项A：若，则存在直线，，

由，可得，则.判断正确；

选项B：若，则或.判断错误；

选项C：若，则或.判断错误；

选项D：若，则存在直线，，

由，可得，又，则.判断正确.

故选：AD

12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（    ）

A．正方体在每个顶点的曲率均为

B．任意四棱锥的总曲率均为；

C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是；

D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数

【答案】ABD

【分析】根据曲率的定义依次判断即可.

【详解】对于A，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故A正确；

对于B，由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故B正确；

对于C，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有，而选项C中所给的多面体的顶点数、面数、棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确；

对于D，设每个面记为边形，

则所有的面角和为，

根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．从高三某班抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，（单位：分），则这名同学数学成绩的第百分位数是           ．

【答案】

【分析】根据百分位数定义可求.

【详解】解：因为，

所以这名同学数学成绩的第百分位数是，

故答案为：.

14．已知向量．若，则             ．

【答案】/-0.5

【分析】应用向量垂直的坐标公式列方程求参数m即可.

【详解】由题设，可得.

故答案为：

15．已知，则           ．

【答案】/

【分析】由，再结合诱导公式，即可求解.

【详解】因为，

故答案为：

16．已知等腰中，底边长为2，腰长为为所在平面内一点，则的最小值是          .

【答案】

【分析】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，由并应用数量积的坐标表示求最小值即可.

【详解】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，如下图示，

由，则，

而，则，

所以，当时，的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．设，是两个不共线的向量．

(1)若，，求；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式求夹角即可；

（2）根据向量平行的充要条件计算参数即可.

【详解】（1）因为，又向量夹角范围为[0,π]，

所以.

（2）因为，设，μ为实数，

即，则，即，

解得．

18．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:

(1)平面AEC;

(2)平面AEC⊥平面PBD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;

(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.

【详解】（1）设,连接,如图所示:

因为O,E分别为,的中点,所以,

又因为平面,平面,

所以平面．

（2）连接,如图所示:

因为,为的中点,所以,

又因为四边形为菱形,所以,

因为平面,平面,且,

所以平面,又因为平面,

所以平面平面．

19．已知函数

(1)求函数的单调增区间；

(2)将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复合函数单调性列出不等式，解出即可；

（2）首先求出，利用整体换元法得到，则得到其值域.

【详解】（1）令，

由的单调性可知，当时，

即时此函数单调递增.

所以函数的单调增区间为.

（2）由题可得：，

时，有，所以的值域为.

20．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值；

(2)估计居民月均用水量的中位数；

(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由.

【答案】(1)0.30

(2)

(3)162000，理由见解析

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求解；

（2）利用中位数的定义求解；

（3）利用样本估计总体.

【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为,

同理，在中的频率分别为

.

由，

解得.

（2）由频率分布直方图得：

,

,

所以中位数应落在，

设中位数为x，则，解得，

估计居民月均用水量的中位数约为.

（3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为

.

由以上样本的频率分布，

可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为

21．如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.

(1)求二面角的余弦值；

(2)在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.

【答案】(1)；

(2)答案见解析，.

【分析】（1）根据条件确定就是二面角的平面角，构造三角形求解；

（2）根据给定的条件知平面，过点E作PB的平行线与PA交于F，则平面PAC，再求出三棱锥的底面积和高即可.

【详解】（1）  

，并且是等边三角形，

三棱锥是正三棱锥，D是的中心，点G是AB边的中点；

由平面， 平面，平面，可知，平面PDG，平面PDG，

所以平面，进而得，

所以就是二面角的平面角，

又是边长为的等边三角形，且，，

是等腰直角三角形，同理都是等腰直角三角形；

，，

，即二面角的余弦值为；

（2）平面，平面，

平面，

同理平面，又平面，

，与点P，D，C共面，即E点在线段PG上，

又，，，

过E点在平面PAB内作PB的平行线，与PA交于F，则平面，

也是等腰直角三角形，，

又平面PAB，平面PAB，，将作为底面，则ED是三棱锥的高，

，即四面体的体积为.

22．已知函数部分图像如图所示.

(1)求和值；

(2)求函数在上的单调递增区间；

(3)设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值.

【答案】(1)，

(2)单调递增区间为，，

(3)最小值为，最大值为

【分析】（1）由图像观察周期，计算；由最大值求出；

（2）利用整体代换求出单增区间；

（3）先求出，转化为，在上有解.令，求出的值域，即可求出a.

【详解】（1）由图像可知：，所以，则，

又，，得，

又，所以.

（2）.

要求的增区间，只需，，

解得：，.

令，得，

因，则，

令，得，

令，得，

因，则，

所以在上的单调递增区间为，，.

（3），

则.

由函数在上存在零点，

则，在上有解，

令，由，则，即，

则，

所以，即，

故a最小值为，最大值为.