2022-2023学年福建省福清第三中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年福建省福清第三中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．为了了解参加学校体育节的1200名学生的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量.下列说法正确的是（    ）

A．总体是1200名学生

B．个体是每一名运动员

C．40名学生的身高是一个个体

D．样本容量是40

【答案】D

【分析】根据题意可得出总体、个体、样本和样本容量.

【详解】根据统计的相关概念并结合题意可得，总体是1200名学生的身高，个体是每一名运动员的身高，样本是抽取的40名学生的身高，样本容量是40，故ABC错误，D正确.

故选：D.

2．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（   ）

A．复数的模为2 B．复数的共轭复数为

C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【答案】D

【分析】由复数除法法则　求得，根据根据模的定义，共轭复数的定义，复数的定义和复数的几何意义判断各选项．

【详解】解：，

则，

，故A错；

复数的共轭复数为，故B错；

复数的虚部为，故C错；

复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．

故选：D．

3．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（    ）

A．35 B．40 C．45 D．60

【答案】C

【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可

【详解】由题意可得男生抽取的人数是．

故选：C

4．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．

【详解】∵分别是的中点，

∴.

又，∴.故选C.

【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．

5．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可

【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，

因为，而，所以在中，，故，

故选：C．

6．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（    ）

①

②

③

④

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】根据线面、面面的位置关系，逐一判断可得选项.

【详解】解：对于①，若，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故①错误；

对于②，若，则，故②正确；

对于③，若，则m，n可能平行也可能异面，故③错误；

对于④，若，则或nα，故④错误；.

综上得命题中正确的是②，共1个，

故选：B.

7．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算母线长为，再利用圆台的表面积公式计算得到答案.

【详解】圆台母线长为，

圆台的表面积.

故选：B

8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.

【详解】如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．圆柱的所有母线长都相等

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】ABD

【分析】利用圆柱的性质判断选项A；利用棱柱的性质判断选项B；利用正棱锥的定义判断选项C；利用棱台的性质判断选项D.

【详解】选项A：圆柱的所有母线长都相等.判断正确；

选项B：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确；

选项C：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误；

选项D：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确.

故选：ABD

10．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（    ）

A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F

【答案】ABD

【分析】根据平面展开图，还原正方体，然后进行判断即可.

【详解】将平面展开图，还原正方体如下图所示：

所以互相重合的点是A与B，D与E,C与F，

故选：ABD

11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】ABC

【分析】证明面即可判断A；由线面平行的判定定理可判断B；由线面角的定义求出两个线面角即可判断C；根据异面直线所成的角可判断D，进而可得正确选项

【详解】解：对于A：因为底面，面，所以，

因为底面是正方形，所以，因为，平面，

所以平面，因为平面，所以，故A正确；

对于B：因为底面是正方形，所以，因为平面，平面，

由线面平行的判定定理可得平面，故B正确；

对于C：设，连接，因为平面，平面，

所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，，

因为，，且，所以 ，

可得，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，故C正确；

对于D：因为，所以即为与所成的角，即为与所成的角，

因为，，，平面，所以平面，

因为平面，所以，所以，因为，

所以，所以，

所以与所成的角不等于与所成的角，故D不正确；

故选：ABC

12．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为，

对于A，如图（1）所示，连接，则，

故（或其补角）为异面直线所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，

由正方体可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，

故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，

则，

因为，故，故，

所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为    .

【答案】

【详解】设正方体边长为 ，则 ，

外接球直径为.

【解析】 球

【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.

14．在复平面内,点对应的复数分别为,,则           .

【答案】5

【分析】先分别求出两点在复平面内对应点的坐标，再计算即可.

【详解】在复平面内，点对应的坐标为，点对应的坐标为，

所以，所以.

故答案为：5.

15．如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，则原的周长是           .

【答案】

【分析】由直观图还原得到原，根据边的长度，即可求得答案.

【详解】由直观图还原得到原，如下图所示

为等腰三角形，底边，高，

所以，,

所以，原的周长是.

故答案为：.

16．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是  .

【答案】2.

【分析】设圆柱的高为，表示出表面积可得，再分别表示出，即可.

【详解】解：设酒杯上部分高为，

则酒杯内壁表面积，

则，

所以，，

故，

故答案为：2.

【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.

四、解答题

17．如图，在三棱锥中，，，为的中点，为中点，，，

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理易得证；

（2）计算，由勾股定理可判断，又显然，可得平面，根据平面与平面垂直的判定定理得证.

【详解】（1）证明：因为为的中点，为的中点，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）证明：因为，，是的中点，

所以且，

又因为，，∴，

所以，

又，，平面，且，

所以平面，

平面,

平面平面.

18．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.

（1）求平面与平面所成二面角的大小；

（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意可证明，所以即为平面与平面所成二面角的平面角，结合线段关系即可求得的大小；

（2）根据题意，可证明和，从而由线面垂直的判定定理证明平面，即可得，所以异面直线与所成角为.

【详解】（1）由题意可知底面是边长为1的正方形，

则，

又因为垂直于底面，平面，

则，

由于，

则平面，

而平面，

所以，

则即为平面与平面所成二面角的平面角，

由可知，

在中，；

（2）由，且，为棱的中点，

所以由等腰三角形性质可知,

又因为，且，

所以平面，

而平面，

所以，而且，

所以平面，

而平面，

所以，

则异面直线与垂直，所以异面直线与的夹角为.

【点睛】本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.

19．已知函数，其中，，．

(1)求函数的单调递减区间．

(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由数量积的运算得函数解析式，再应用降幂公式和辅助角公式，将化为余弦型函数，即可求解；

（2）由，求出角，共线，求出关系，得出关系，再结合余弦定理求出.

【详解】（1）

，

由题意有，

解得

所以单调递减区间为；

（2），

，

，

与向量共线，

，

.

20．如图1，在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，如图2.

（1）求证：；

（2）若，三棱锥的体积是，求其表面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，连接、，可证平面，即可得；

（2）由可知三棱锥为正四面体，利用体积求棱长，即可求解.

【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接、，

在中，易知，又是的中点，

∴，

在中，易知，又是的中点，

∴，

又、平面，，

∴平面，

又平面，

∴；

（2）当时，三棱锥是正四面体，设其棱长为，

则，，

于是，

解得，

故三棱锥的表面积是.