2022-2023学年新疆伊犁州“华-伊高中联盟校”高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆伊犁州“华-伊高中联盟校”高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】应用复数除法化简复数，写出对应坐标判断所在象限即可.

【详解】，

其对应点坐标为在第二象限.

故选：B

2．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用平面向量减法和模的坐标运算公式求解即可.

【详解】由题意知，，所以.

故选：A.

3．目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有120名感染者，其中有20名年轻人，60名老年人，40名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取30人进行检测，则做检测的老年人人数为（    ）

A．5 B．15 C．10 D．20

【答案】B

【分析】根据分层抽样的性质运算求解即可.

【详解】由题意可得：做检测的老年人人数为.

故选：B.

4．已知，是两条直线，是一个平面，下列关于直线与平面位置关系描述正确的是（    ）

A．，，则 B．，，则

C．， ，则 D．，，则

【答案】C

【分析】根据直线与平面的位置关系，作图找反例可排除选项.

【详解】如图所示正方体中，

对于A项，假设分别对应，底面对应，符合A条件但两直线不平行，故A错误；

对于B项，假设分别对应，底面对应，符合B条件，但两直线不垂直，故B错误；

对于D项，假设分别对应，底面对应，符合D条件，但两直线不平行，故D错误；

对于C项，如图所示，

设垂足为G，在平面内过G存在 ，则，所以.

故选：C

5．某校高三年级一共有1500名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第70百分位数是92分，则数学成绩不小于92分的人数至少为（    ）

A．420 B．350 C．450 D．400

【答案】C

【分析】设表示学生数学成绩，根据百分位数定义知，进而求数学成绩不小于92分的人数最小值.

【详解】若表示学生数学成绩，则的人数占比，

故的人数占比，

所以数学成绩不小于92分的人数至少为人.

故选：C

6．，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

7．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（    ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【分析】由正弦定理可得，结合已知求得或，注意验证是否满足构成三角形，进而求.

【详解】由正弦定理知：，则，

又，而，

所以，故或，又，故均满足题设，

当，则，此时；当，则，此时.

故选：B

8．如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（    ）

A．

B．若为线段的中点，则

C．的最小值为

D．的最大值比最小值大

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.

【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，

因为，

所以，设，则，则，，

则，即，解得：或（舍去），

则，，

，A说法正确；

若为线段的中点，则，

所以，

则，解得：，则，B说法正确；

设，

则，

故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；

，则，

因为，则，所以，

解得：，，

所以的最大值比最小值大，D说法正确.

故选：C

二、多选题

9．光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）

A．选取的这部分学生的总人数为500人

B．合唱社团的人数占样本总量的

C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人

D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125

【答案】ABD

【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.

【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10

所以选取的总人数为人，故选项A正确.

合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确.

则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的

所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确.

选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，

所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.

故选：ABD.

10．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．直线是函数图象的一条对称轴

C．函数的单调递增区间为

D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象

【答案】CD

【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可.

【详解】由图象可得，，，又，故，

所以.

显然A错误；

对于B项，，不是对称轴，故B错误；

对于C项，令，故C正确；

对于D项，将函数的图象向右平移个单位得，故D正确.

故选：CD.

11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为

C．四棱锥体积最大值为

D．四面体为“鳖臑”

【答案】AD

【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，D的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意找到四面体的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱面，

A：面，则，又，且，则面，

∴四棱锥为“阳马”，对；

C：在底面有，即，当且仅当时取等号，

，错；

D：由，即，又且，面，

∴面，面,

∴，则为直角三角形，

由面，面，，则为直角三角形，

由“堑堵”的定义得为直角三角形，为直角三角形．

∴四面体为“鳖臑”，对；

B：由C知为直角三角形，侧棱面，易知,为直角三角形，

而为直角三角形，则外接球球心位于的中点，则外接球半径，

则球的表面积为，错.

故选：AD．

12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为

【答案】AB

【分析】对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C：根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D：利用等体积法求点到平面的距离，结合线面夹角的定义运算求解.

【详解】对于选项A：因为为正方形，则，

又因为平面，平面，则，

且，平面，

所以平面，

且平面，可得，

同理可得：，

且，平面，

所以直线平面，故A正确；

对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，

且平面，平面，所以∥平面，

又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值，

且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；

对在选项C：由选项B可知：∥，

所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角.

又因为，则为等边三角形，

当为的中点时，直线与直线的夹角最大，

可得，即直线与直线的夹角为；

当与点或重合时，直线与直线的夹角最小，

可得直线与直线的夹角为；

所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；

对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线，

所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，

设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2，

因为，

由等体积法可得，解得，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误；

故选：AB.

【点睛】关键点睛：1.利用平行关系可知异面直线与所成角为直线与直线的夹角，进行分析求解；

2.利用等体积法求点到平面的距离，可知直线与平面所成角的正弦值为.

三、填空题

13．设是虚数单位，若复数满足，则           ．

【答案】

【分析】根据题意可得，进而结合模长公式运算求解.

【详解】因为，则，

所以.

故答案为：.

14．已知，的两边EF、FM分别平行于的两边AB与BC.则           ．

【答案】或

【分析】根据等角定理判定即可.

【详解】由等角定理，如果一个角的两边与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补，所以或.

故答案为：或.

15．某校教师男女人数之比为5:4，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为           ．

【答案】

【分析】设男女人数分别为，求出全体教师平均命中次数，利用方差公式求全体教师1分钟限时投篮次数的方差.

【详解】设男女人数分别为，则男女教师总命中次数分别为、，

所以全体教师平均命中次数为，

若男教师命中次数为，女教师命中次数为，

所以，，

全体教师1分钟限时投篮次数的方差为，则

，

所以.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：用男女教师命中次数的方差表示出全体教师1分钟限时投篮次数的方差为关键.

16．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值           ．

【答案】

【分析】根据题设在应用余弦定理得，结合基本不等式求的范围，即可确定最大路程和，注意取值条件.

【详解】如下图，中，

所以，

则，当且仅当时等号成立，满足题设要求，

所以，故两机器人运动路程和的最大值.

故答案为：

四、解答题

17．设，向量，，，且∥，．

(1)求；

(2)求向量与夹角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得，进而可得，结合向量的模长公式运算求解；

（2）根据题意可得，，进而可求，，代入夹角公式运算求解即可.

【详解】（1）因为∥，，则，解得，

即，，

可知，即，可得，

所以.

（2）由（1）可知：，，

可得，，

则，，

可得，

且，则，

所以向量与夹角为.

18．在中，A，B，C的对边分别为，若满足，．

(1)若，求的大小；

(2)若满足，求及的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用余弦定理运算求解即可；

（2）先根据面积公式可得，在利用余弦定理可得，进而结合正弦定理运算求解.

【详解】（1）若，由余弦定理，

可得，即.

（2）因为，可知角为锐角，则，

又因为，即，解得，

由余弦定理，即，

由正弦定理，可得.

19．如图：已知直三棱柱中，交于点O，，.

(1)求证：；

(2)求二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意可证平面，进而可得，结合证明平面，即可得结果；

（2）可知二面角即为二面角，根据题意结合三垂线法可得二面角的平面角为，运算求解即可.

【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，可得，

由题意可知：，即，

且，平面，

所以平面，且平面，所以，

又因为，则是正方形，可得，

且，平面，所以平面，

且平面，所以 .

（2）连接，可知平面即为平面，则二面角即为二面角，

取的中点，连接，

因为，且为的中点，则，

又因为平面ABC，平面ABC，可得，

，平面，所以平面，

且平面，则，

所以二面角的平面角为，

在中，，可得，

所以二面角的正切值为.

20．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中m的值；

(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；

(3)若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？

【答案】(1)0.005

(2)84.5

(3)87.5

【分析】（1）利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为进行计算；

（2）根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；

（3）根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为时即可.

【详解】（1）由图可得,解得

（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数．

（3）设被嘉奖的学生的分数不低于，

因为第四组的频率为，第三组的频率为，

所以，所以，得．

21．已知四棱锥，底面为正方形，且边长为2，，，，F、M、N分别为PD、AD、BC的中点，E点在FM直线上运动.

(1)求证：∥平面；

(2)当E为FM的中点时，求证：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意先证平面∥平面PAB，结合面面平行的性质可得∥平面；

（2）取PA的中点Q，连接，利用余弦定理可得，可得，利用线面垂直可证平面，可得，即可得结果.

【详解】（1）连接MN，因为M、N分别是AD、BC的中点，则∥，

且平面，平面，所以∥平面，

同理可得∥，且平面，平面，所以∥平面，

 又因为，平面，所以平面∥平面PAB，

且平面，所以∥平面.

（2）取PA的中点Q，连接，

在中，可知，

由余弦定理可得，

因为E为的中点，可知E、D、Q三点共线，

且在中，，所以，

由（1）可知：∥，∥，且，

可得，且，平面，

所以平面，

由平面，可得，

且，平面，所以平面.

22．在中，角所对的边分别为，且.

(1)求证：；

(2)求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；

（2）利用条件将问题转化为，结合基本不等式求最值即可.

【详解】（1）在中，，

由正弦定理得，

又，

因为

所以

所以，又，

所以，且，

所以，故.

（2）由（1）得，

所以，

因为，

所以

，

当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，

所以当时，的最小值为