吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三上学期二模考试数学试题(含答案)

这是一份吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三上学期二模考试数学试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2、函数的零点所在的大致区间是( )
A.B.
C.D.
3、已知，则( )
A.B.C.D.
4、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A.2600B.2700C.26D.27
5、已知，则的大小关系为( )
A.B.C.D.
6、已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论中错误的是( )
A.当时，B.函数有3个零点
C.的解集为D.，，都有
8、设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列函数中，与函数不是同一个函数的是( )
A.B.C.D.
10、已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则( )
A.
B.的图象关于直线对称
C.
D.在上的值域为
11、已知函数，则( )
A.有三个零点B.有两个极值点
C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线
12、锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则( )
A.
B.B的取值范围是
C.若，，则
D.的取值范围是
三、填空题
13、已知函数，则的值是________.
14、已知角的终边经过点，则的值是_______.
15、如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为，观察C点的俯角为；在B位置时，观察D点的俯角为，观察C点的俯角为，且，则C，D之间的距离为_________.
16、已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
17、已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.
18、在中，，，.
（1）求a的值；
（2）求的值.
19、某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费.一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润L（万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润L最大，并求出L的最大值.
20、已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
21、在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，.
（1）求角B的大小和边长b的值；
（2）求面积的最大值.
22、已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且，证明：有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）
参考答案
1、答案：A
解析：，，
.
故选：A.
2、答案：C
解析：的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C.
3、答案：D
解析：因为，所以，
平方后可得，
整理得，所以.
故选：D.
4、答案：D
解析：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；
当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，
所以，则，即耗氧量为，
因此鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.
故选：D.
5、答案：C
解析：，
.
故选：C.
6、答案：A
解析：当，，单调递增.
则当，时，是增函数，
当时，在，单调递增，
可得在上是增函数；
当时，在，单调递增，
可得在上是增函数；
反之，当在上是增函数时，由，
可知，此时，，即不成立.
所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.
故选：A.
7、答案：A
解析：对于A：函数是定义在R上的奇函数，当时，，
则时，，又
，故A错误.
对于B：由选项A得，函数，
时，，解得，时，，解得，函数有3个零点，故B正确；
对于C：函数，时，，解得，时，，解得
的解集为，故C正确；
对于D：时，，当时，，当时，；
时，，当时，，当时，；
当时，，时，，
作出函数图象如图所示：
结合图象可知函数的值域为，，，都有，故D正确.
故选：A.
8、答案：C
解析：根据函数的图像变换，由为偶函数，为奇函数，
则直线，分别为函数的对称轴与对称中心，
即函数的对称轴的方程为与对称中心坐标为，
易知，函数的周期，
由，则，即，且，
可得方程：，解得，即当，，
.
故选：C.
9、答案：ACD
解析：解：的定义域为R.
对于A，的定义域为，
与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为R，
与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，
与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，
与的对应关系不同，不是同一函数.
故选：ACD.
10、答案：AC
解析：由图像可知，，，
故A正确；
从而，
又由，，
因为，所以，
从而，故C正确；
因为，
所以不是的对称轴，故B错误；
当时，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
故，即，
从而，
即在上的值域为，故D错误.
故选：AC.
11、答案：ABC
解析：，，
令，解得：或，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减；
的极小值为：，
的极大值为：，
有三个零点，有两个极值点，A、B正确；
对于C，若点是曲线的对称中心，则有，
将函数代入上式验证得：
，C正确；
对于D，，解得：，
当时，，当时，，
切线方程为：或，D错误.
故选：ABC.
12、答案：ACD
解析：对于A：在中，由正弦定理，
可化为：.
因为，所以，
所以，
所以.
所以，即.
或，即这与A为的内角相矛盾，舍去.
故.故A正确；
对于B：因为为锐角三角形，所以，所以，
解得：.故B错误；
对于C：因为，由正弦定理得：，即，
所以.
因为，，由余弦定理得：，
所以，
即，即，解得：（舍去）.故C正确；
对于D：由正弦定理，.
因为，所以，所以，即的取值范围是.
故D正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：由题意可知：因为，所以，
又，则有，
故答案为：.
14、答案：/
解析：角的终边经过点，
，，
.
故答案为：.
15、答案：
解析：在中，，
，
由正弦定理可得，即，
，
由题意得，，
，，
在中，由余弦定理得
，
即，故答案为.
16、答案：
解析：，使得成立当时，.
由题意得，当时，，当时，，
故在上的最小值为.
又函数在上的最大值为，故.
答案为：.
17、答案：(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2),
解析：（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以，.又，
所以在上的单调递减区间为，.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由，得.
因为，
由正弦定理，
得，即，
所以.
（2）因为，，
所以，.
所以.
故.
19、答案：(1)；
(2)售价为9元时，利润最大为9万元
解析：（1）由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为；
（2），
因为，所以，
当且仅当即时取等号，此时L最大为9万元.
当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元.
20、答案：（1）的极大值为，极小值为
（2）
解析：（1）当时，，
，
令，解得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极大值为，极小值为.
（2）.
令，即，解得或.
因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：
当时，有，，，
所以，从而.
又函数在处取得极小值，
所以为函数在R上的最小值.
因为不等式对恒成立，
所以，解得.
所以a的取值范围是.
21、答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，
所以，，
因为角B是锐角，所以，
因为，
所以由正弦定理与余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因为，所以，，
因为，，，所以，
则
，
因为，所以，
则，，
故，面积的最大值为.
22、答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)由题意得函数的定义域为，
，当时，令，得，
所以在上单调递增；
令，得，
所以在上单调递减；
当时，因为恒成立，
所以在上单调递增；
(2)，
令，则在时恒成立，
所以在时单调递增，且，
所以有两个零点等价于有两个零点.
因为，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以.
下面证明当时，，
设，则，
令，又，
当时，恒成立，
所以单调递增，
得，
故在上单调递增，
得，即，
又因为，
所以在，上各存在一个零点，
所以时，函数有且仅有两个零点，
即当时，函数有且仅有两个零点.
1
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0
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0
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单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增