2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据复数的除法运算即可.

【详解】．

故选：B．

2．以下事件是随机事件的是（    ）

A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯

C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根

【答案】B

【分析】根据随机事件的概念判断即可

【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；

B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；

C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；

D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．

故选：B．

3．的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】.

本题选择C选项.

4．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ）

A．－ B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.

【详解】解：由题意，在上的投影向量为．

故选：B．

5．设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】B

【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性.

【详解】对于A，若，，，此时与可能相交，如下图所示：

对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示：

对于B，若，，则，

又因为，故.

故选：B.

6．如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（    ）．

A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米

【答案】B

【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.

【详解】根据题意可知，.

在中，由正弦定理得,即.

故选:B

7．如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据线面垂直可得面面垂直，进而根据面面垂直的性质可得的长即为点A到平面的距离，即可利用等面积法求解.

【详解】在正方体中，平面，而平面，

则平面平面，

在平面内过点A作于F，连接，如图，

因平面平面，平面,于是平面，

则的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点，

在中，，，

即，解得，所以点A到平面的距离为，

故选:C.

8．已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用对数函数的定义和二次函数的知识求得函数f(x)定义域为R的充分必要条件，进而用列举法求得数组(a,b)的总组数和满足定义域为R的条件的组数，求得所求概率.

【详解】由题意知

又因为，

所以数形成的数组有，共36种情况，

其中，

，

共17种情况满足，

所以所求概率

故选：C.

二、多选题

9．某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：

假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用频率求各事件对应的概率，应用互斥事件加法求，判断各项正误.

【详解】用频率估计概率得：，，，故A，B，C正确；

表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，

故，故D错误，

故选：ABC．

10．若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则在第二象限

B．若为纯虚数，则在虚轴上

C．若，则点的集合所构成的图形的面积为

D．若，且，则为实数

【答案】BD

【分析】根据的周期性、复数的几何意义、复数的除法运算等知识直接判断各个选项.

【详解】对于A，因为，故，所以在坐标轴上，故A错误；

对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；

对于C，若，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆及其内部，面积为，故C错误；

对于D，，则为实数，故D正确．

故选：BD

11．在中，内角的对边分别为，且满足，则（    ）

A．一定为直角三角形

B．可能为等腰三角形

C．角A可能为直角

D．角A可能为钝角

【答案】BC

【分析】利用余弦定理化简条件式得，讨论是否为0即可判定选项.

【详解】由余弦定理可得，化简可得．

当时，，此时为直角三角形；

当时，可得，即，此时为等腰三角形，即B、C选项正确.

故选：BC．

12．如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（    ）

A． B．平面

C．二面角的大小为定值 D．的最小值为

【答案】CD

【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C，由二面角的定义即可判断；对于D，将侧面和展开在一个平面内，结合余弦定理即可得出.

【详解】对于A，平面，平面，，假设，

又平面PAD，平面，

又平面，，而四边形为正方形，与矛盾，

所以假设错误，故不正确，故A不正确；

对于B，设，连接，假设平面，

又平面平面，则，

在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾，

所以假设错误，故B不正确；

对于C，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小，

因为二面角的大小为定值，所以二面角的大小为定值，

故C正确；

对于D，平面，平面，，为等腰直角三角形，

平面，平面，，即，

又四边形为正方形，，

平面PAD，平面，平面，，为直角三角形，

如图，将侧面和展开在一个平面内，，

连接，当处在与的交点处时，取得最小值，

此时，在中，由余弦定理，得，

所以的最小值为，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为      .

【答案】/

【分析】利用对立事件概率公式和概率乘法公式求解即可.

【详解】设事件“第一次检测零件合格”为，事件“第二次检测零件合格”为，

则事件“零件报废”可表示为，

由已知，

所以，

所以，

故答案为：.

14．在△ABC中，，用，表示      ．

【答案】

【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解

【详解】因为在△ABC中，，

所以

，

故答案为：

15．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，顶点M在底面的射影恰为A点，且为等腰三角形，则四棱锥外接球的体积为      .

【答案】

【分析】取的中点，由线面垂直的性质定理可得都是直角三角形，则外接球球心为，再求出半径可得答案.

【详解】如图所示，在四棱锥中，顶点M在底面的射影恰为A点，

则平面，平面，

所以，，，

因为为正方形，所以，且，平面，

所以平面，平面，所以，

且，且，平面，

所以平面，平面，所以，

取的中点，连接，

因为都是直角三角形，所以，

则球心为，底面是边长为4的正方形，为等腰三角形，则，

∴，∴，

则四棱锥外接球的半径为，

其体积.

故答案为：.

16．在中，，，，平分交于点，，则的长为           ．

【答案】

【分析】由，结合三角形面积公式可构造方程求得，由此可得；利用余弦定理可求得.

【详解】由题意得：，

，

即，解得：（舍）或，，，

，解得：.

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知，.

(1)若，求实数的值；

(2)若，，求与的数量积.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据向量的坐标运算，由共线满足的坐标关系即可求解，

（2）根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】（1），，，

，

，，解得.

（2）由已知可得，，

.

18．已知为锐角，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的关系和正弦的二倍角公式求解；

（2）利用诱导公式，同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可．

【详解】（1）因为，

所以，

所以．

（2）因为，

所以，

所以．

19．如图，在长方体中，，，点P为棱上一点.

(1)试确定点P的位置，使得平面，并说明理由；

(2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小.

【答案】(1)P为棱的中点，理由见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形中位线证明线线平行即可求证，

（2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解.

【详解】（1）当P为棱的中点时，平面.

理由如下：设和交于点O，则O为的中点.

连接，又因为P是的中点，所以.

又因为平面，平面.

所以直线平面.

（2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角或其补角.

因为，且，

所以.

又，所以.

故异面直线与所成角的大小为.

20．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：

(1)恰有一人面试合格的概率；

(2)至多一人签约的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率的加法公式可得答案；

（2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约，

根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式可得．

【详解】（1）记事件A：甲面试合格，

事件B：乙面试合格

事件C：丙面试合格

事件D：恰好有一人面试合格

依题意，事件A、B、C相互独立

.

（2）至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况，

事件F：甲签约乙丙没有签约，

事件G：三人都没有签约，事件E：至多一人签约，

因为F与G互斥，所以，

，

，

，

所以至多一人签约的概率为．

21．在锐角△中，角的对边分别为，且．

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理以及两角和的正弦公式求解；

（2）利用正弦定理将边化角，用三角函数求取值范围.

【详解】（1），

由余弦定理可得，

整理得，

∴,

∵，∴，∴，∴．

（2）由正弦定理可知△的外接圆半径为，

∴，∴，

∴．

∵△为锐角三角形，∴即∴,

∴，∴，∴,

即的取值范围为．

22．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；

(2)若平面，求线段的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）因为，，分别是，，的中点，所以，可证平面，同理平面，进而即得；

（2）由题意可知点Q在线段上移动，因为是等腰三角形，故是高时最小.

【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，

所以，平面，平面，

所以平面．

同理，平面，又因为，

所以平面平面．

（2）解：由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动，

在中，，，，的最小值为R到线段的距离，

因为是等腰三角形，故的最小值为．