2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期12月联考数学试题（Word版含答案）

运城市教育发展联盟2022-2023学年高二上学期12月联考

数学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.准线方程为的抛物线的标准方程为

A.   B.   C.   D.

2.已知等差数列的前项和为，若，，则

A.10   B.12   C.14   D.16

3.已知双曲线的头细长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为

A.   B.

C.    D.

4.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为

A.1   B.2   C.3   D.4

5.已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为

A.   B.

C.   D.

6.已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为

A.   B.   C.   D.

7.在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为

A.   B.

C.   D.

8.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题：

①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；

②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点﹔

③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点.

其中所有正确命题的序号是

A.①③   B.①②   C. ②③   D.①②③

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知双曲线：，则下列选项中正确的是

A.的焦点坐标为   B.的顶点坐标为

C.的离心率为    D.的焦点到渐近线的距离为3

10.已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是

A.    B.

C.   D.

11.如图，直三棱柱中，，，.点Р在线段上（不含端点），则

A.不存在点，使得

B.面积的最小值为

C.的最小值为

D.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值

12.在平面四边形ABCD中，A，C在BD两侧，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设数列的前n项和为，则

A.为递增数列    B.为等比数列

C.为等差数列    D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若数列的前项和为，则数列的通项公式___________.

14.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是____________.

15.在平行六面体中，，，，点P在上，且，则___________.（用，，表示）

16.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知圆过平面内三点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程.

18.（12分）

已知数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

19.（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形且，，M为OA的中点，N为BC的中点.

（1）证明：直线平面OCD；

（2）求点B到平面OCD的距离.

（注：利用空间向量知识求解）

20.（12分）

已知数列中，，

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，，试比较与的大小.

21.（12分）

如图，平面五边形中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD翻折成四棱锥，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且.

（1）证明：；

（2）当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.

22.（12分）

已知双曲线：的离心率为，左、右顶点分别为M，N，点满足.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点P的直线与双曲线交于A，B两点，直线OP（O为坐标原点）与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，，求证：为定值.

运城市教育发展联盟2022-2023学年高二上学期12月联考

数学

参考答案、解析及评分细则

1.B  2.D  3.C  4.D  5.A  6.D  7.C  8.B  9.BC  10.BD  11.BD  12.ACD

13.  14.1  15.   16.

17.解：（1）设圆的方程为，

，解得

即，故圆的标准方程为.

（2）圆心到直线的距离，

当直线斜率不存在时，方程为：，，不符合题意

当直线斜率存在时，设直线方程为：，

，

∴直线方程为或.

18.解：（1）∵，①

∴.②

①-②得，即

又，，∴，∴，

∴是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴.

（2）由（1）得，，

∴

.

19.（1）证明：作于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，

建立如图空间直角坐标系.

则，，，，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

则，，

即取，解得；

所以，平面OCD，

∴平面OCD；

（2）解：设点B到平面OCD的距离为，

则d为向量在向量上的投影的绝对值，

由，得，

所以点B到平面OCD的距离.

20.（1）证明：∵，，

∴，，

即.

∴是首项为-4，公差为-1的等差数列.

从，

（2）解：∵，由（1）知

∴，

∴

而.

∴当时，有，即；

当时，有，即.

21.（1）证明：取AD，CD的中点O，G，连接PO，FG，MG，OC，则，，.

∵，∴，∴，，

又，，∴平面.

∵M，G分别为CE，CD的中点，∴，且在平面PAD，

∵平面PAD，∴平面PAD.

同理，平面PAD.

∵，平面，∴平面平面，∴平面.

∵平面，∴.

（2）解：由（1）可知平面PAD，∴即为直线EF与平面PAD所成的角.

∵，∴当AE的长最小时，最大，此时，即E为PD的中点.

因此，以点O为坐标原点，以OC所在的直线为轴，OD所在的直线为y轴，OP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，.

∴，，

设平面的法向量为，则

令得，

由题意易知平面PAD的一个法向量为，

∴，

∴平面与平面PAD夹角的余弦值为.

22.解：（1）由题意知，，又，

所以，，

由，可得，

又，所以，故，

所以双曲线的方程为；

（2）因为，，

若直线的斜率不存在，则与双曲线仅有一个公共点，不合题意，故的斜率存在，

设：，

联立

得：，

设，，

则，.

因为，故：，①

又，，

所以：，②

联立①②，解得，

于是

所以为定值.