河北省金科大联考2022-2023学年高一上学期期中数学试卷（含答案）

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河北省金科大联考2022-2023学年高一上学期期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形能表示函数图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则
B. 集合有两个真子集
C. 若，则
D. 不存在奇数的立方是偶数

4.    已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为(    )

A.  B.
C.  D. 或

5.    已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则(    )

A.  B.
C.  D.

7.    对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，，，那么使得不等式成立的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    已知函数在区间上单调，则实数的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知集合，，当时，的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是(    )

A. 的单调递增区间为
B.
C. 的最大值为
D. 的解集为

12. 已知函数若互不相等的实数，，满足，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知集合，，若，则的值为______．
14. 已知幂函数在上单调递增，则的值为______．
15. 已知函数，且，则的值为______．
16. 已知实数，，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知全集，，．
    求；
    求和．
18. 本小题分
    已知全集，集合，集合，其中．
    若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
    若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
19. 本小题分
    已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增．
    证明：函数在上单调递减；
    解关于的不等式．
20. 本小题分
    已知，，，求的最小值；
    已知，，，求的最小值．
21. 本小题分
    年月日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在年月累计销量突破了万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，年月每生产万件获利万元，该公司预计年月这个新产品的其他成本总投入为万元，由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业年月的利润为单位：万元．
    求函数的解析式；
    当年月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
22. 本小题分
    已知函数，．
    求函数的值域；
    已知为实数，函数的最大值为，求．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，对于、两图，可以找到一个与两个对应的情形；
对于图，当时，有两个值对应；
对于图，每个都有唯一的值对应．因此，图可以表示函数，
故选：．
根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．
本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个都有唯一的值对应”．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，，解得且．
函数的定义域为．
故选：．
由根式内部的代数式大于等于，指数为的底数不为，联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，当时，则，但，故A为假命题；
对于，集合，只有一个真子集，故B为假命题；
对于，当，为负数时，则，无意义，故C为假命题；
对于，因为任意奇数的立方都是奇数，则为真命题，
故选：．
根据集合的相关知识可判断、，利用特殊值法可判断，利用全称命题相关知识可判断．
本题考查集合以及全称命题相关知识，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，，
则，，
可得图中阴影部分表示的集合为：或．
故选：．
由，，由此能求出，从而能求出图中阴影部分表示的集合．
本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，“，使”是真命题，
当，即时，不等式可化为，符合题意；
当，即时，有，解得，
综上，实数的取值范围为．
故选：．
易知，“，使”是真命题，再分和两种情况，根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，得解．
本题考查存在命题的否定，不等式恒成立的条件，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为对任意的，，有，
所以函数在上单调递减，
根据偶函数对称性可知，在上单调递增，
且．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由可得，
故，
所以．
故选：．
由已知先求出的范围，然后结合新定义即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了二次不等式的求解，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，
当时，，，
，当时，，
，当时，，则，
当时，，
，
当且仅当时等号成立，
当时，当且仅当时等号成立，当时，，
则，
综上，．
故选：．
分类讨论，分别解不等式求出的取值范围．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为函数在区间上单调，
所以或，
解得或．
故选：．
由已知结合二次函数的单调性即可求解．
本题主要考查了二次函数的单调性的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，集合，
，
，
，
当时，
，
，解得，集合，
，
，
综上所述，的值为或．
故选：．
根据已知条件，结合集合相等的定义，分，两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，当时，，
又由为偶函数，则的草图如图：
由此分析选项：
对于，的单调递增区间为，A正确；
对于，在区间上，为减函数，则有，B错误；
对于，的最大值为，C正确；
对于，的解集为，D错误；
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和解析式作出函数的草图，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】接：根据解析式作出的图像，再作交于三点，横坐标分别为，，，

由图像易知，所以，
令，解得；
令，解得；
故，
故选：．
作出分段函数的图像，数形结合分析满足的条件即可求解．
本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为集合，，若，
则当，则，
当时，集合不满足集合的互异性，
当时，满足题意，
当时，，集合不满足集合的互异性，
故答案为：．
根据题意，分别令和两种情况结合集合的性质进行讨论．
本题考查集合的包含关系，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：幂函数在上单调递增，
，解得，
故答案为：．
利用幂函数的定义和单调性即可算出结果．
本题主要考查了幂函数的定义和单调性，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，
则有，
则，
若，则，
故答案为：．
根据题意，求出函数的表达式，分析可得，由的值，计算可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题，
 

16.【答案】 

【解析】解：令，得，

．
当且仅当，即时，取等号，
的最小值为．
故答案为：．
由换元法和基本不等式的性质直接求解．
本题考查换元法、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】解：全集，，
或．
，
则，
，
． 

【解析】求出集合，利用补集的定义可求得集合；
求出集合，利用交集、补集和并集的定义可求出所有集合．
本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：若“”是“”的充分条件，则，
所以不为空集，
所以，解得，
所以的取值范围为．
若“”是“”的必要条件，则
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为． 

【解析】由“”是“”的充分条件，知，列出关于的不等式组，解之即可；
由“”是“”的必要条件，知，列出关于的不等式组，解之即可．
本题考查充分必要条件的应用，理解充分条件、必要条件与集合之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：因为是定义在上的偶函数，
又在上单调递增，
在任取，则，则，
又，，
则，则，
则函数在上单调递减，
解：因为是定义在上的偶函数，又，
则，得或，
则不等式的解集为或 

【解析】根据定义法可证单调性；
利用偶函数得性质可得，从而可解．
本题考查定义法证明单调性以及偶函数得性质，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，
，
的最小值为．
，，
，当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为． 

【解析】由可得，代入，再结合二次函数的性质求解即可．
由可得，代入，再结合基本不等式求解即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为获利，其他成本总投入为万元，
所以，
所以；
当时，，
则当时，的最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，，
，故的最大值为，
故当产量为万件时，该企业利润最大，最大利润是万元． 

【解析】由题意，分和两段分别求解函数解析式即可；
由二次函数性质与基本不等式求解两段上函数的最大值，比较可得结果．
本题考查了函数模型在实际问题中的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意知，，所以，
，
因为，所以，所以，
所以，
故函数的值域为．
设，则，
由可知，，所以，
所以，
设，，对称轴为，
若，则在上单调递增，所以；
若，当，即时，在上单调递增，所以；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以；
当，即时，在上单调递减，所以；
综上所述，． 

【解析】易得函数的定义域为，利用完全平方和公式变形可得，再由直接法求其值域，即可；
采用换元法，设，则，，令，，结合二次函数的对称轴与单调性，分类讨论，得解．
本题考查函数值域的求法，熟练掌握二次函数的图象与性质，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．