2023-2024学年江西省大余县梅关中学高一上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年江西省大余县梅关中学高一上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．2023的倒数是（    ）

A．2023 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据倒数的概念，即可得答案.

【详解】2023的倒数是，

故选：B

2．下列运算中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂的四则运算法则计算，对四个选项一一进行判断正误.

【详解】A选项，，A错误；

B选项，，B错误；

C选项，，C错误；

D选项，，D正确.

故选：D

3．2022北京冬奥会开幕式的地屏为观众呈现了一场精彩的视觉盛宴．它是由46504个面积为2500cm²的单元箱体组成的，是目前世界上最大规模的LED舞台，能够呈现裸眼3D效果，则该地屏的总面积用科学记数法可表示为 （    ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

【答案】B

【分析】根据总面积公式求解面积，再根据科学计数法的定义转化即可.

【详解】该地屏的总面积为.

故选：B.

4．一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则∠2的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可求得结果

【详解】如图，因为∥，所以，

因为，，，

所以，

因为，所以，

所以，

故选：C

5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形

【答案】D

【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可

【详解】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形，

由折叠可知，

所以为等腰三角形，

因为和关于直线对称，

所以,

所以四边形为菱形，

故选：D

6．如图，在第个白球的前面，黑球的个数总共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】由题意可知第1个白球前黑球的个数为0，第2个个白球前黑球的个数为1，第3个个白球前黑球的个数为2，……，第18个个白球前黑球的个数为17，从而可求出黑球的个数

【详解】由题意可知第1个白球前黑球的个数为0，第2个个白球前黑球的个数为1，第3个个白球前黑球的个数为2，……，第18个个白球前黑球的个数为17，

所以在第个白球的前面，黑球的个数总共有

个，

故选：C

二、填空题

7．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【分析】由根式在分母上可得被开方数大于零，从而可求得结果

【详解】由题意得，得，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

8．已知关于的方程两根为、，则      ．

【答案】

【分析】根据韦达定理即可得答案.

【详解】由题意根据一元二次方程根与系数的关系可得，

故答案为：

9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程为        ．

【答案】

【分析】根据题意列出方程，即得答案.

【详解】由题意可得方程，

故答案为：

10．下表是某校女子排球队队员的年龄分布，则该校女子排球队队员年龄的中位数是       ．

【答案】15

【分析】根据中位数的概念求解即可.

【详解】该校女子排球队队员共有人

年龄从小到大排序的中位数是.

故答案为：.

11．已知实数x满足，则代数式的值为      ．

【答案】

【分析】对原式化简变形可得答案

【详解】由可得，

所以，得，

故答案为：

12．在矩形中，，，点是上，且，点是矩形边上一个动点，连接，若与矩形的边构成角时，则此时      ．

【答案】或或

【分析】对直线与矩形各边所成角为进行分类讨论，确定点的位置，结合锐角三角函数的定义可求得的长.

【详解】分以下几种情况讨论：

（1）当与所成角为，且点在边上时，，

则，所以，；

（2）当与所成角为，且点在边上时，，

则，可得；

（3）当点在直线上且与所成角为，即，

，则，即点、重合，

此时，；

（4）当点在直线且与所成角为，则，

，则，不合乎题意.

综上所述，或或.

故答案为：或或.

三、解答题

13．（1）计算：

（2）解不等式组

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据幂的运算法则和特殊角的余弦值计算即可；

（2）解不等式，求出不等式组的解集.

【详解】（1）

（2）解①得;

解②得;

综上所述，不等式组的解集为.

14．化简求值：，

【答案】

【分析】根据分式的运算化简，再根据根式的性质有理化即可得答案.

【详解】原式

当时，原式．

15．《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（A，，C，）．

(1)小猪佩奇随机坐到座位的概率是________；

(2)若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由概率公式结合题意直接求解即可，

（2）画出树状图，得出所有情况数以及小猪佩奇和小猪乔治坐对面的情况数，然后根据概率公式求解．

【详解】（1）∵有4个座位，

∴小猪佩奇随机坐到座位的概率是；

（2）选座位的所有情况如下图：

∴共有12种结果，其中与或与为对面，共有4种，

∴小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．

16．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)在图①中，已知平行四边形边的中点，画出边上的中点；

(2)在图②中，已知四边形中，，，点是边中点，画出以、为边的平行四边形．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）连接、交于点，连接并延长交于点，利用中位线的性质可证得点为边上的中点；

（2）连接，连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接，证明，可得出，证明出，可得出，再由以及平行四边形的定义可证得结论成立.

【详解】（1）解：如图①，连接、交于点，连接并延长交于点，

则点为边上的中点，证明如下：

因为四边形为平行四边形，且、交于点，则为的中点，

又因为为的中点，所以，，即，

因为四边形为平行四边形，则，故，

因为为的中点，则为的中点.

（2）解：如图②，连接，连接交于点，

连接并延长交的延长线于点，

连接，则四边形为所求作的平行四边形，证明如下：

因为，，且为的中点，则，且，

所以，，

又因为，所以，，所以，，

因为，则，

因为，，则，所以，，

又因为，故四边形为平行四边形.

17．如图，在四边形中，，对角线、交于点，，且平分，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，再证明出，即可证得结论成立；

（2）利用菱形的面积结合等面积法可求出的长，进而可求得的长，再利用三角形的面积可求得的面积.

【详解】（1）证明：，，

在与中，，，，

，四边形为平行四边形，

又平分，，，，

四边形是菱形.

（2）解：四边形是菱形，，，

，，，

，，

，，

的面积．

18．某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A表示“广泛阅读”，B表示“劳动实践”，C表示“户外运动”，D表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

(1)参加这次调查的学生总人数为______ 人；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)该校七年级有800名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？

【答案】(1)

(2)条形统计图见解析

(3)128名

【分析】（1）根据扇形图中C的比例结合条形图中相应的人数，即可求得答案；

（2）求出B的人数，即可将条形统计图补充完整；

（3）计算最期待“劳动实践”的学生比例，结合总数，即可得答案.

【详解】（1）参加这次调查的学生总人数为：人；

故答案为：；

（2）由题意得B的人数为：人，

将条形统计图补充完整如下：

（3）（名），

答：估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有名．

19．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接，．

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)求反比例函数的表达式；

(3)求平移的距离及线段扫过的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)平移的距离为，扫过的面积为.

【分析】（1）推导出，，利用平行四边形的定义可证得结论成立；

（2）推导出四边形为平行四边形，据此求出点，将点的坐标代入反比例函数的表达式，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；

（3）推导出四边形为平行四边形，计算出的长，可得出平移的距离，计算出的面积，即为线段扫过的面积.

【详解】（1）证明：由平移的性质得：，，，

因为轴，且在轴上，所以，，则，

因为，，所以，，

因此，四边形为平行四边形.

（2）解：连接，如图所示．

因为四边形为平行四边形，所以，，

又因为，所以，四边形是平行四边形，所以，，，

因为，所以，、、三点共线，

因为轴，在轴上，，所以，四边形是平行四边形，

所以，，

因为点的坐标为，，所以，，,

所以，点的坐标为，

因为点在反比例函数的图象上，则，解得，

所以，反比例函数的表达式为.

（3）解：连接、，如图所示．

在中，，，

所以，，则平移的距离为

因为，，所以，四边形是平行四边形，

所以，，

因此，线段扫过的面积为．

20．如图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座与水平面垂直，为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，若，，，，，求台灯灯体到水平面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，）

【答案】

【分析】过作交于，过作交于，延长交于，计算出、的大小，可求得、的长，由此可求得的长，即为所求.

【详解】解：过作交于，过作交于，延长交于，

因为，所以，，

在中，，，

则，

所以，，

因为，，，

所以，，所以，四边形为矩形，

所以，，，

因为，则，

因为，所以，，

在中，，，

所以，，

所以，.

答：到水平面的距离约为.

21．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．

(1)求证：直线是圆的切线；

(2)求证：；

(3)若圆的半径为8，，求扇形（阴影部分）的周长（结果保留）．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由，证明即可；

（2）连接，由，可得，即可证明结论；

（3）根据已知可得，根据扇形周长公式求解即可.

【详解】（1）证明：∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴

∵，

∴

∵是的半径，

∴是的切线

（2）连接

∵是的直径，

∴

∵，

∴

（3）∵，

∴∘

∴

∵

∴

∴

.

22．在2022年卡塔尔世界杯上足球巨星梅西带领的阿根廷队获得冠军．在决赛中，法国球员姆巴佩在离对方球门30米处的点处起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在飞出水平距离16米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以姆巴佩所在位置点为原点，姆巴佩与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系．

(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；

(2)如果阿根廷球员蒙铁尔站在法国球员姆巴佩前3米处，蒙铁尔跳起后最高能达到米，那么蒙铁尔能否在空中截住这次吊射？

【答案】(1)

(2)蒙铁尔能在空中截住这次吊射．

【分析】（1）由题意设抛物线方程为，然后将原点坐标代入可求出的值，从而可求出抛物线的方程，

（2）将代入抛物线方程可求出的值与比较即可

【详解】（1）由题意可得，足球在飞出水平距离16米时，达到最大高度8米，

设抛物线解析式为：，

把代入解析式得：，

解得：，

故抛物线解析式为：；

（2）当时，，

故蒙铁尔能在空中截住这次吊射．

23．如图（1），在和中，∠∠，，，点E在内部，之间存在怎样的数量关系？问题探究：

(1)先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

(2)再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立．

(3)如图（3），在和中，∠∠，，（k是常数），点E在内部，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由已知可得，则得，再由为等腰直角三角形，可得结论，

（2）过点作交于点，则可证得，则可得为等腰直角三角形，从而可得结论，

（3）过点作交于点，则得，所以得，，然后在中利用勾股定理求出，从而可得结论.

【详解】（1）结论：；

理由：如图（2），

，，

，

，，，

，，

而点、重合，故BE，

而为等腰直角三角形，故DE，

则，即；

（2）证明：如图（1），由（1）知，，

，，

过点作交于点，

，，，

，，≌，

，，

故为等腰直角三角形，则，

则，即；

（3）结论：．

理由：由（2）知，，

而，，即，

，    ，

过点作交于点，

由（2）知，，，

，则，，

在中，，

则，即．

【点睛】关键点睛：此题考查三角形全等和相似的应用，考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形，考查逻辑推理能力.