2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县高一上学期11月期中数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县高一上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．下列对象能构成集合的是（    ）

①所有很高的山峰；②方程的实根；③所有小于10的自然数；④，，．

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

【答案】B

【分析】利用构成集合的元素性质逐一分析各命题即可判断作答.

【详解】对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准，去判断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的山峰”不能能构成集合；

对于②，方程在实数范围内的解是-4，1，是确定的，“方程的实根”能构成集合；

对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合；

对于④，因，，，即与相同，不符合集合中元素的互异性，“，，”不能能构成集合.

故选：B

2．下列说法正确的有（    ）

①   ②   ③   ④   ⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据常见集合的字母表示，直接判断即可.

【详解】对①：1是自然数，故①正确；

对②：不是正整数，故②错误；

对③：是有理数，故③正确；

对④：不是有理数，故④错误；

对⑤：是整数，故⑤错误；

故正确的有2个.

故选：B.

3．若，，且，则的最小值为（    ）

A．20 B．10 C． D．

【答案】A

【分析】由基本不等式可直接求解.

【详解】由不等式，当且仅当时等号成立，又，所以，时，取最小值

故选：A

4．若不等式，对一切恒成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】采用分离常数法，易得，结合拼凑法和基本不等式可得，进而得解.

【详解】解：不等式对一切恒成立，

，

，

对一切恒成立.

而，

当且仅当，即时等号成立，

.

故选：

5．函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】带入特殊点，用排除法找出符合题意得图像.

【详解】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D；

当x为很小的正数时，，排除A．

故选：B．

6．“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用分段函数的单调性化简命题，即可求得答案

【详解】解：因为在单调递增，在单调递增，

且在上单调递增，

所以；

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件，

故选：B.

7．已知集合A，B是实数集R的子集，定义，且，若集合A=且，，则（    ）

A．[—1，1] B．[—1，1） C．[0，1] D．[0，1）

【答案】B

【分析】分别利用函数单调性求出函数的值域，可得，由此求得即可.

【详解】当时，递减，所以，当时，递减，所以，

综上知或，

的对称轴为轴，当时，，，

所以，

所以.

故选：B

8．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（    ）

A．13 B．21 C．26 D．30

【答案】B

【分析】设，根据题意得出，从而求的值；

【详解】设，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线，如图所示，

若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，

则，即，解得，

又因为，所以，故所有符合条件的a的值之和是.

故选：B.

二、多选题

9．已知幂函数（）的图象过点，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数

C．函数是单调减函数 D．函数的值域为R

【答案】AD

【分析】将点代入函数得到，再判断函数的奇偶性，单调性和值域得到答案.

【详解】函数（）的图象过点，即，解得，；

当时，，函数的图象过原点，A正确；

，，函数是奇函数，B错误；

函数是单调增函数，C错误；

函数的值域为R，D正确.

故选：AD.

10．下列运算结果中，一定正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．

【详解】解：选项，正确；

选项，错误；

选项当时，，当时，，错误；

选项，正确．

故选：．

【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．

11．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】BD

【分析】根据给定的集合，利用交集、并集、补集的定义，逐项计算判断作答.

【详解】集合，集合，

对于A，，A不正确；

对于B，，B正确；

对于C，或，则或，C不正确；

对于D，由选项C知，，D正确.

故选：BD

12．已知函数，则下列叙述正确的是（    ）

A．若对都有成立，则

B．若使得有解，则

C．若且使得，则

D．若使得，则

【答案】ACD

【分析】根据二次不等式恒成立可判断A，利用二次不等式有解问题可判断B，根据二次方程根的分布可判断CD.

【详解】A选项：由题意，解得，故A正确；

B选项：由开口向上，故只需或，解得，B错误；

C选项：由题可知方程有两个不相等的正实根，则，解得，C正确；

D选项：由题可知，解得，D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．已知实数、满足，，则的取值范围为             ．

【答案】

【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】因为，，则，，所以，，

由不等式的性质可得.

故答案为：.

14．设集合，若且，则满足条件的集合的个数是           .

【答案】224

【分析】利用结论：若集合含有个元素，则集合子集数为个，非空子集数为个，即可求解.

【详解】因为，所以.

因为,,,

所以符合此条件的集合有 (个).

因为中含有且中不含有的元素为4,5,6,7,8 ,

而集合的非空子集有 (个)，

所以满足且的集合

的个数为255-31=224，

故答案为:224.

15．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】分离常数，结合二次函数的性质来求得的取值范围.

【详解】，，

，所以当时，，

所以.

故答案为：

16．函数取得最小值时的取值为          ．

【答案】

【分析】将函数化为，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.

【详解】，当且仅当时取“=”.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在的最小值．

【答案】(1)；

(2)见解析.

【分析】（1）利用换元法求解析式即可；

（2）分类讨论，和三种情况下在上的单调性，根据单调性求最小值即可.

【详解】（1）令，则，

∴ 即，

∴ .

（2）由（1）知函数的图像开口向上，对称轴为

当即时，则函数在上递增

∴

当即时，则函数在上递减，在上递增，

∴ ，

当即时，则函数在上递减，

∴ ，

18．设全集，集合，集合.

(1)若，求实数的取值范围

(2)求

(3)有三个条件：①， ②，③若“”是“”的必要条件，从这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由空集的定义求解；

（2）解不等式得集合，然后由补集定义计算；

（3）三个条件都得出，然后由包含关系求得的范围．

【详解】（1）集合.若，则，

解得，所以实数的取值范围是

（2）全集，集合，由可得

化简得即解得或，或，

所以

（3）有三个条件：①， ②，③若“”是“”的必要条件，

从这三个条件中任选一个作为已知条件，都可得.又集合或

①若，由（1）可知，此时满足，符合题目要求

②若，要满足，则或，

解得或

综上所述可得实数的取值范围是或.

所以实数的取值范围是

19．已知函数是定义在上的奇函数

(1)求的解析式；

(2)用定义证明：在区间上是增函数；

(3)解关于t的不等式

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由奇函数性质可求，进而得到解析式；

（2）由增函数定义直接证明即可；

（3）将等价转化为，结合奇函数定义域和增函数去“f”建立不等式，即可求解.

【详解】（1）是定义在上奇函数，

，，，；

（2），令，，

又，，，，

，在区间上是增函数；

（3），

在区间上是增函数，

可得，解得，的解集为

20．2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.

（Ⅰ）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润；

（Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元；（Ⅲ）企业最早5年后还清所有贷款.

【分析】（Ⅰ）由题意按照、分类，即可写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（Ⅱ）由题意结合二次函数的性质、基本不等式按照、分类，分别求出函数最大值后即可得解；

（Ⅲ）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解.

【详解】（Ⅰ）当时，年利润；

当时，；

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，

所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；

当时，，

当且仅当万件时，等号成立，乙获得的利润最大为24万元.；

综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元.

（Ⅲ）由题意，设最早年后还清所有贷款，

则有，解得，

所以企业最早5年后还清所有贷款.

【点睛】本题考查了函数的应用及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.

21．已知集合，

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若不存在实数x，使，同时成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论；

（2）根据题意，可将问题转化成的讨论.

【详解】（1）根据可知，，有两种情况：

若，则，解得；

若，根据可得，解得.

结合（1）（2）可得，时，，即

（2）若不存在实数x，使同时成立，即，有两种情况：

若，则，解得

若且时，则有解得，或，解得

结合（1）（2）可得或

22．某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；

（2）问：为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要更换新的污水处理设备？

【答案】（1）y；（2）该企业10年后需要更换新的污水处理设备．

【解析】（1）根据题意可得该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y；

（2）根据基本不等式可解得结果.

【详解】（1）依题意得，该企业使用该设备x年的维护费为万元，

则总费用为万元，

因此

．

（2）由（1）及可得，，

当且仅当，即时等号成立．即当时，y取得最小值．

∴该企业10年后需要更换新的污水处理设备．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.