2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用集合的交集运算即可.

【详解】解：因为集合，

所以．

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论即得

【详解】命题“，”的否定是“，”

故选：B.

3．设a，b，c∈R，其中正确的是（    ）

A．若，则 B．若， 则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】取特值可否定BCD,利用不等式的基本性质可知A正确.

【详解】当时，BD都不正确，当时C错误，由不等式的基本性质得A正确；

故选：A

4．已知，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．或1

【答案】B

【分析】利用对数的运算法则和对数性质得到关于的代数式，转化为关于的一元二次方程，求得的值，注意根据已知等式，由对数的定义探求范围，做出取舍，进而利用对数的定义求得所求对数的值.

【详解】，.

∴.

∵，∴，解之得:或.

∵，∴，∴.

∴.

【点睛】本题考查对数的运算，易错点是忽视对数中的真数大于零的要求，缺少对范围的确定，产生多余的解.

5．函数在区间上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．

【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．

故选：B

6．若，则有（    ）

A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值

【答案】D

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．

故选：D.

7．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.

【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.

故选：A

8．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（    ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.

A．的值域为 B．

C． D．以上选项都不对

【答案】B

【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．

【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，

对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，

故选项A错误；

对B、C选项：

①当，，则，；

②当，，则，＝0；

③当或，则，，

所以选项B正确，选项C、D错误，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.

二、多选题

9．已知，，则下列说法正确的是（    ）

A．的取值范围为 B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.

【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；

对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；

对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；

对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；

故选：ACD.

10．若，，则下列四个式子中有意义的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】B选项，D选项中，当时，式子无意义，即可得出选项.

【详解】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；

B选项中，，无意义；

C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；

D选项中，当时，式子无意义．

故选：AC．

11．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据交汇函数的含义，分别求解各个选项中函数的定义域和值域，由交集结果可得正确选项.

【详解】由交汇函数定义可知：交汇函数表示函数定义域与值域交集为；

对于A，的定义域，值域，则，A错误；

对于B，的定义域，值域，则，B正确；

对于C，的定义域为，值域，则，C错误；

对于D，的定义域为，值域，则，D正确.

故选：BD.

12．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A．                 B．

C．             D．

【答案】BC

【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.

【详解】对于A，，由于，所以，

所以，故不存在正数M，使得成立.

对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.

对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.

对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.

故选：BC

三、填空题

13．设集合，，若，则实数的取值范围是           ．

【答案】

【分析】解含绝对值的不等式化简集合A，再借助集合的包含关系求解作答.

【详解】不等式化为：，即，解得，即，

因，，则有，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

14．若正实数满足，则的最小值为          .

【答案】/.

【分析】由题意可得，化简后利用基本不等式可求得其最小值.

【详解】因为正实数满足，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：.

15．不等式的解集是    ．

【答案】

【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即可求解.

【详解】不等式等价于，解得.

故不等式的解集为.

故答案为：.

16．已知，若对一切实数，均有，则   .

【答案】

【分析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值.

【详解】由对一切实数，均有

可知，即解之得

则，满足

故

故答案为：

四、解答题

17．（1）

（2）＋lg25＋lg4

【答案】（1）71；（2）.

【分析】（1）利用指数幂的运算求解；

（2）利用对数的运算求解.

【详解】（1），

，

；

（2）＋lg25＋lg4-

，

.

18．已知，.

（1）若，求集合；

（2）如果是的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解出不等式，利用集合并集的定义求解即可；

（2）化简集合，利用是的必要条件列出不等式组，可得实数的取值范围．

【详解】（1）当时，由，

解得，；

而，所以.

（2），所以，

，，

如果是的必要条件，则，

，解得，

故的取值范围为.

19．已知函数．

（1）求的定义域；

（2）若，求的值．

【答案】（1）且；（2）．

【解析】（1）由，解不等式可得定义域；

（2）时，将代入求值即可．

【详解】（1）由，解得且

故的定义域为且

（2）若，

20．已知，求：

（1）的最大值；

（2）的最大值．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）直接应用基本不等式即可求出的最大值；

（2）把代数式进行变形，然后直接应用基本不等式即可求出的最大值．

【详解】（1），（当且仅当时等号成立），

所以的最大值为；

（2），（当且仅当时取等号），所以的最大值为.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，代数式的恒等变形是解题的关键.

21．已知函数

（1）求函数的解析式；

（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）解法一：运用配凑法，然后整体换元得函数的解析式；

解法二：运用换元法，令，则且．代入原式求得的解析式，进而换元得到函数的解析式；

（2）由（1）代入将问题转化为在时有解．再令，由，得，设．根据二次函数的最值可得取值范围.

【详解】（1）解法一：∵，∴．

又，∴．

解法二：令，则．由于，所以．

代入原式有，

所以．

（2）∵，∴．

∵存在使成立，

∴在时有解．

令，由，得，

设．

则函数的图象的对称轴方程为，

∴当时，函数取得最小值．

∴，即的取值范围为．

22．已知函数．

（1）求证：在上是增函数；

（2）判断在上的单调性（只写结论不必给出理由），并求出在上的最值．

【答案】（1）见解析；（2）在上的单调单调递减，在上的最小值为；最大值为．

【分析】（1）利用函数单调性的定义，设，则通分化简得到，然后进行论证即可.

（2）类似（1）中方法得到在上的单调单调递减.然后根据在上的单调性，得到最大值和最小值.

【详解】（1）设，则

，                   

，，，   

故，   

故在上递增；

（2）在上的单调单调递减.

所以在[1,2]上单调递减，在(2,5]单调递增，

又∵,

∴在上的最小值为；最大值为．