2022-2023学年云南省昆明市安宁市昆钢第一中学高一上学期9月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省昆明市安宁市昆钢第一中学高一上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；

③空集是任意集合的子集，故，正确；

④空集没有任何元素，故，错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

∴②③正确.

故选：B.

2．若集合，则的子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.

【详解】解：，则的子集个数为个，

故选：D.

3．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为，所以,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

4．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.

【详解】由，可得出，故，

由，得不出，所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

5．已知，则的最小值是(    )

A．5 B．4 C．8 D．6

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解．

【详解】∵，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值是5．

故选：A．

6．已知不等式的解集为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：方程的两个根分别为和，利用根与系数的关系即可求解.

【详解】由题意可得：方程的两个根分别为和，

则 ，解得： ，所以，

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键点是理解和是方程的两个根，利用根与系数的关系得出关于的方程即可求出的值.

7．已知集合，且，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求解.

【详解】因为集合，且，

所以a的取值范围是，

故选：B

8．若满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用基本不等式中“1”的妙用求出最小值作答.

【详解】因满足，则，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为.

故选：B

二、多选题

9．设，．若，则实数的值可以为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

【答案】ACD

【分析】由得,分类讨论集合B的元素情况，即可求得答案.

【详解】由得：,

当时，,符合题意；

当时，，若，则；若，则；

由于B中至多有一个元素，故,

所以实数的值可以为，

故选：ACD

10．若，则下列说法与之等价的是（    ）

A．“”是“”的充分条件

B．“”是“”的必要条件

C．

D．

【答案】ABD

【分析】对于A，可根据充分条件的定义及集合的基本关系判断；

对于B，可根据必要条件的定义及集合的基本关系和补集的概念判断；

对于C，可根据集合的基本运算判断；

对于D，可根据集合的并集运算判断.

【详解】对于A，可得，所以对任意的，都有成立，即，所以A正确；

对于B，可得，即，又因为，所以B正确；

对于C，可得，所以C错误；

对于D，，所以D正确.

故选：ABD.

11．下列结论中正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件

C．若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件

D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件

【答案】ABC

【分析】需要逐项分析才能求解.

【详解】对于A，若，则 或 ，即“ ”不一定成立，

反之若“ ”，必有“x2＞4”，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，

A正确；

对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如，反之“x2为无理数”，

则“x为无理数”，故“x为无理数”是“ 为无理数”的必要不充分条件，B正确；

对于C，若“”，则“a、b不全为0”，反之若“a、b不全为0”，

则“”，故若，则“”是“a、b不全为0”的充要条件，

C正确；

对于D，在中，若“”，则∠A＝90°，

故“为直角三角形”，反之若 ，则有， ，

 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，D错误；

故选：ABC.

12．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

【答案】BD

【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.

【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；

对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；

对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；

对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．命题“，”的否定是      

【答案】,,

【分析】根据全称量词命题的否定即可求解.

【详解】“，”的否定是:,,

故答案为：,,

14．已知且，则的取值范围           .

【答案】

【分析】根据不等式的性质进行求解.

【详解】由，由，相加得.

故答案为：.

15．已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为        .

【答案】

【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解.

【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，

，，

可变为，即，解得.

故答案为：.

16．已知，，则的最小值为           .

【答案】

【分析】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.

【详解】，，

当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知二次函数的图像经过点

(1)求函数的解析式，并建立坐标系画出其函数图像．

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)，图像见解析

(2)或

【分析】（1）利用待定系数法即可求得的解析式，从而得到其图像；

（2）令，求得与轴的交点，从而结合图像即可得解.

【详解】（1）因为的图像经过点，

所以，解得，

所以，其图像如下：

.

（2）令，解得或，

所以结合图像可得的解集为或.

18．设集合．求：

(1)；

(2)；

(3)

【答案】(1)

(2)或

(3)或.

【分析】由集合的交并补混合运算直接得出答案.

【详解】（1）由集合交集的定义，

；

（2）由集合并集和补集的定义，

，

或；

（3）由集合补集和交集的定义，

或，

或，

或.

19．解下列不等式：

(1)；

(2)

(3)已知，求的最大值．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）利用二次不等式的求解方法即可得解；

（2）将分式转化为二次不等式，从而得解；

（3）利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

又因为恒成立，所以，则，

所以的解集为.

（2）因为，

所以且，解得或，

所以的解集为或.

（3）因为，所以，，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为.

20．已知集合，或．

(1)当时，求；

(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；

（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】（1）解：当时，，或，

∴．

（2）解：∵或，∴，

∵“”是“”的充分不必要条件，

∴是的真子集，∵，∴，

∴，∴，故实数的取值范围为．

21．为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为300平方米．

(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的取值范围；

(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形草坪宽为多少时，整个绿化面积的最小，并求其最小值．

【答案】(1)草坪宽的取值范围是；

(2)宽为15米时，面积最小，最小值是864平方米.

【分析】（1）设草坪的宽为，根据草坪的面积来求得的取值范围.

（2）先求得整个绿化面积的表达式，结合基本不等式求得最小值以及此时的值.

【详解】（1）设草坪的宽为，则长为

依题意，即，

.

所以草坪宽的取值范围是.

（2）依题意整个绿化面积

，

当且仅当，即时等号成立.

所以宽为15米时，面积最小，最小值是864平方米.

22．已知集合，．

(1)若，求；

(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．

若______，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)条件选择见解析，

【分析】（1）当时，集合，则可求出；

（2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，集合，

又，

所以；

（2）方案一  选择条件①．

由，得．

当时，，得，此时，符合题意；

当时，得，解得．

综上，实数a的取值范围是．

方案二  选择条件②．

由，得．

当时，，得，此时，符合题意．

当时，得，解得．

综上，实数a的取值范围是．