2022-2023学年湖南省长沙市周南中学高一上学期新生入学摸底测试数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市周南中学高一上学期新生入学摸底测试数学试题

一、单选题

1．根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，张打印纸约厚，因此，一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用科学记数法求解即可.

【详解】数据“”用科学记数法可表示为.

故选：D.

2．在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】根据无理数的定义可得答案.

【详解】在，，，，2022这五个数中，无理数为，，

共有两个.

故选：A.

3．如图，这个组合几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】根据组合体直观图可知，几何体下面是长方体，长方体的左上方是圆柱，

故左视图下面是矩形，左上方是矩形.

故选：A

4．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用二次根式运算，逐项判断作答.

【详解】对于A，与不是同类二次根式，不能进行加减运算，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：C

5．世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别求在4G网络峰值速率下传输500兆数据的时间和在5G网络峰值速率下传输500兆数据的时间， 从而得解.

【详解】设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，

则在4G网络峰值速率下传输500兆数据需要秒，

5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在5G网络峰值速率下传输500兆数据需要秒，

而5G网络比4G网络快45秒，所以.

故选:A.

6．已知一组数据5，5，6，6，6，7，7，则这组数据的方差为（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【分析】根据平均数、方差公式求解即可.

【详解】将数据从小到大排列：.

平均数为，

方差为，故A正确.

故选：A

7．下列说法正确的是（    ）

A．海底捞月是必然事件

B．明天的降雨概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨

C．为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查

D．甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定

【答案】D

【分析】利用事件、概率的意义判断AB；利用抽样、方差的意义判断CD作答.

【详解】对于A，海底捞月是不可能事件，A错误；

对于B，概率反映的是事件发生的可能性大小，明天的降雨概率为，说明明天降雨的可能性为，B错误；

对于C，长沙市的初中学生很多，采用全面调查比较困难，适合抽样调查，C错误；

对于D，由于，则乙的射击成绩比甲稳定.

故选：D

8．已知点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出、、的值即可作答.

【详解】由点、、在反比例函数的图象上，得，

所以.

故选：A

9．如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.

【详解】作关于轴的对称点，

作关于的对称点，

连接交轴于，交于，所以，

此时周长最小，即，

由，直线方程为，所以，解得，

所以，可得直线方程为，即，

由，解得，所以，

令可，所以.

故选：C.

10．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，若，，则下列结论：①，②，③，④.其中结论正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质根据角平分线的定义可得，从而可得为等边三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据角的和差即可判断①；根据三角形中位线定理即可判断②；根据，利用平行四边形的面积公式即可判断③；先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可得的长，然后根据即可判断④．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，

，

平分，

，

为等边三角形，

，，

，

，

，

又，

，结论①正确；

，

，结论②正确；

，

，

，结论③正确；

在中，，

，

在中，，

，结论④正确；

综上，结论正确的有4个，

故选：D．

11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据抛物线的开口可得，与轴的交点在下方可得，抛物线的对称轴可得可判断①；设，，由可得，从而，可判断②③④.

【详解】因为抛物线的开口向上，所以，与轴的交点在下方，所以，

抛物线的对称轴是，可得，所以，故①错误；

设，，抛物线对称轴是，

即，可得，

因为，所以，可得，

所以，即，

所以，故②正确；

可得，故③正确；

因为，若为任意实数，

则，故④正确.

故选：C.

12．如下图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形，四边形，四边形均为正方形，，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，若，，则的长为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】设，根据给定图形，用表示出，，，再利用勾股定理列式计算作答.

【详解】由，设，，

因为四边形，四边形，四边形均为正方形，

则，，

，又，，是某个直角三角形的三边，即，

因此，即，而，解得，

所以.

故选：B

二、填空题

13．因式分解：          .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.

【详解】.

故答案为：

14．圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线          .

【答案】

【分析】由圆锥的底面半径求出底面周长，再利用锥体的侧面展开图的弧长，可求得圆锥的母线.

【详解】设圆锥的底面半径为，扇形的圆心角为，可得圆锥底面周长为，

圆锥的母线为,该圆锥的侧面展开图弧长为解得.

故答案为：.

15．已知，则          .

【答案】6或2

【分析】利用指数幂的运算和多项式相等可得答案.

【详解】因为，

所以，解得，或，

则，或.

故答案为：6或2.

16．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为          .

【答案】且

【分析】分析可知，解方程得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】对于方程，有，可得，

由可得，

因为关于的分式方程的解为负数，

则，解得且.

故答案为：且.

17．代数式的一切可能值为          .

【答案】，0，2

【分析】分、、讨论去绝对值可得答案.

【详解】由已知，，

当时，；

当时，；

当时，.

故答案为： .

三、双空题

18．如图①，在边长为4的正方形中，以点为圆心，长为半径作，为上一动点，过点作所在圆的切线，交于点，交于点.

（1）图①中的周长等于          .

（2）如图②，分别延长、，延长线相交于点，设的长为，的长为，则与之间的函数表达式                         .

【答案】     8    

【分析】根据过圆外一点的切线长相等可得的周长；连接、，过点作于点，判断出可得，再由可得与之间的函数表达式.

【详解】四边形是正方形，

，，

切所在圆于点，切所在圆于点，

又切所在圆于点，，，

的周长；

如图，连接、，过点作于点，

则易得四边形为矩形，

，，，

在和中，，

，，

四边形是正方形，，，

，.

在中，，

，即.

故答案为：①8；②.

四、解答题

19．一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手.某公司用甲，乙两种货车向某市运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表：

(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；

(2)目前有46.4吨物资要运输到该市，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用.

【答案】(1)甲乙分别能运输5吨和3.5吨

(2)甲货车8辆，乙货车2辆

【分析】（1）设甲乙每次满载分别能运输吨和吨物资，根据已知数据列方程组求x、y即可；

（2）设甲货车辆，乙货车辆，结合（1）及已知有，求，进而确定最节省费用的车辆安排.

【详解】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输吨和吨物资，

根据题意得，解得，

答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资.

（2）设安排甲货车辆，乙货车辆，

根据题意得，解得，为整数，则或9或10，

因为甲种货车的费用大于乙种货车的费用，所以甲种货车数量最小时最节省费用，

当时，最小费用（元），

答：该公司应安排甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用.

20．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长.

(1)如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度.（用含，，的代数式表示）

(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度.

【答案】(1)米

(2)3.8米.

【分析】（1）利用在中，可得；

（2）由得，由得，从而求出，可得答案.

【详解】（1）如图：

由题意得：米，米，，，

在中，（米），

米，

灯杆的高度为米；

（2）由题意得：米，米，

，

，，

，，

，，

，，

，米，

，米，灯杆的高度为3.8米.

21．如图，的直径，弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点，连接，.

(1)由，，围成的曲边三角形的面积是多少？

(2)求证：是的切线；

(3)求线段的长.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）连接，利用给定条件，证明，再计算扇形面积和三角形面积作答.

（2）证明，再利用切线的判定推理作答.

（3）过作，再借助相似三角形求解作答.

【详解】（1）连接，由的直径，得，又的平分线交于，

则，即，扇形面积，

所以由，，围成的曲边三角形的面积.

（2）由（1）知，而，则，

所以是的切线.

（3）由（1）知，又，，则，

过点作于点，由（1）（2）知，四边形是正方形，即，

又，则，

于是，即，所以.

22．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为.

(1)求点、的坐标以及的值.

(2)证明：点在以为直径的圆上.

(3)在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)点，点，；

(2)证明见解析；

(3)存在，点坐标为.

【分析】（1）将点的坐标代入，再解方程作答.

（2）利用两点间的距离公式，结合勾股定理推理作答.

（3）设出直线所对函数解析式，再利用等面积法求解作答

【详解】（1）将点代入得：，则抛物线的解析式为：，

而抛物线与轴交于、两点，由，解得或，

所以点，点.

（2）由（1）知，即点，而点，点，

则，，，

因此，即有，

所以点在以为直径的圆上.

（3）设直线与的交点为，如图，

由直线把分成面积相等的两部分，得，

而和是等高的两个三角形，即有，点是的中点，

由点，点，得点坐标为，

设直线的解析式为，把点、点得坐标代入得，解得，

于是直线解析式，而点是直线与抛物线的交点，

则由解得：或，

显然点与不重合，即点的横坐标不为0，当时，，

所以点坐标为.

23．如图，在半径为3的圆中，、都是圆的半径，且，点是劣弧上的一个动点（点不与点、重合），延长交射线于点.

(1)如果设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；

(2)当时，点在线段上，且，点是线段上一点，射线与射线交于点，如果以点、、为顶点的三角形与相似，求的值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）连接，，过点作于点，利用相似三角形性质求出解析式，再由点C的位置求出定义域作答.

（2）利用相似三角形性质求出，结合（1）的信息，及相似三角形性质求解作答.

【详解】（1）连接，，过点作于点，如图2，

由，，得，，

又，则，而，即，于是，

又，因此，即，

由点是劣弧上的一个动点（点不与点、重合），得，

而，即，

所以关于的函数解析式为，定义域为.

（2）如图，

当时，由（1）知，，

由，，得，，，

由，得，而，则，

因此，则，即，解得，，

所以.