四川省成都市第七中学2023-2024学年高三理科数学上学期开学试题（Word版附解析）

成都七中高2024届高三上入学考试数学试题理科

一、单选题

1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．

【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，

∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．

∴B={-1，0，1}

故B中元素个数为3个；

故选C．

【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．

2. 欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的几何意义判断.

【详解】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．

故选：A．

3. 椭圆的焦距为2，则的值等于（      ）.

A. 5 B. 8 C. 5或3 D. 5或8

【答案】C

【解析】

【分析】分焦点在轴，轴上两种情况，利用，，即可求出的值.

【详解】当焦点在轴上时：，，解得：，

当焦点在轴上时：，，解得：，

所以或，

故选：C

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.

4. 某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是

A. ①②都可能 B. ①可能，②不可能

C. ①不可能，②可能 D. ①②都不可能

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项．

【详解】若是①，可能是三棱锥；

若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；

所以①②都有可能，

故选：A.

【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题．

5. 已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；

对于B，，的定义域为，

为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；

对于C，，的定义域为，

又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；

对于D，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.

故选：D.

6. 如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由微积分基本定理的几何意义即可得出结果.

【详解】图中围成封闭图形（阴影部分）的面积.

故选：C.

7. 已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.

【详解】设与的夹角为，由，

可得与方向相同的单位向量为，

所以在上的投影向量为：

，

故选：D.

8. 已知，若，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案.

【详解】由题意可知，

因为，所以，

整理得，即，

又，且，所以，

故选：B

9. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过平移得到异面直线与所成角，并结合余弦定理得到结果.

【详解】如图（1），在上取点，使，

连接，，，，．

易知四边形为矩形，则，且．

连接，．因为，且，

所以四边形为平行四边形，所以，且．

连接，则，且，

所以四边形为平行四边形，则，

所以或其补角是异面直线与所成的角．

在中，，，，，

在中，，，所以．

在中，，，所以．又，

在中，由余弦定理．

故选：B.

10. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对等是进行变形，根据函数的单调性即可得解.

【详解】由题可得：，

函数是定义在的增函数，

，

所以.

故选：A

11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出初始位置时对应的角，再根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，将代入，即可求解.

【详解】设初始位置时对应的角为，则，则，

因为筒车转到的角速度为，

所以水桶到水面的距离，

当时，可得.

故选：A.

12. 如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（    ）

①              ②四边形的面积为100

③          ④的取值范围为

A. ①②④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③

【答案】B

【解析】

【分析】利用已知条件，建立平面直角坐标系，求解两条抛物线方程，求解的距离判断①；求解，的坐标，推出矩形的面积判断②，利用向量的数量积判断③；判断的距离的范围判断④．

【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，

抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；可得，抛物线的标准方程为：．

抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．可得，所以，所以①正确；

抛物线的方程为：．

和交于、两点，，可得、两点的横坐标为：3，两点的纵坐标：，

分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为、、、，

可得，，，，，，

四边形的面积为：．所以②不正确；

又，则，，可得，所以③正确；

根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，

设在直线上的射影分别为，

当点在抛物线，点在抛物线上时，，

当与重合时，最小，最小值为，

当与重合，点在抛物线上时，因为，

直线，

与抛物线的方程为联立，可得，

设，则，，

所以；

当点在抛物线，点在抛物线上时，设，

与抛物线的方程为联立，可得，

设，则，，

当，即时取等号，故此时；

当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；

综上，，所以④正确.

故选：B．

二、填空题

13. 命题p：“”则为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.

【详解】因为命题p为特称命题，所以命题p：“”的否定为：.

故答案为：.

14. 高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________．

【答案】

【解析】

【分析】计算出事件、所包含的基本事件数，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】对于事件，甲和乙至少一人选择廉村孤树，则其反面为“甲、乙两人均不选择廉村孤树”，

所以，，

对于事件，甲和乙中只有一人选择廉村孤树，另一个人选择其它村，

所以，，

因此，所求概率为.

故答案为：.

15. 在中，内角 的对边长分别为 ，且，，则b的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】由可得，即而得，利用正余弦定理化简可得，结合条件，即可求得答案.

【详解】由，可得，

即，即有 ，

即 ，

故，化简得，结合，

可得，解得或0（舍），

故答案为：4．

16. 函数的图像如图所示，已知，则方程在上有_________个非负实根．

【答案】1

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断方程在上的根的个数.

【详解】由图像可得函数在上有3个极值点，

不妨设其极值点为，其中，

设，，，

由图像可得，，时，函数单调递增，，

又函数的图像由陡峭变为平缓，故逐渐变小，

所以当时，函数单调递减，，

当时，函数单调递减，所以，

函数的图像先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，

先变大再变小，函数先单调递减再单调递增，所以取值先负后正，

所以存在，使得，

当，，当，，

当时，函数单调递增，函数的图像由平缓变为陡峭，函数单调递增，

所以当时，，

当时，，当时，，

所以当时，，函数在单调递增，

当时，，函数在单调递减，

因为，函数在单调递增，

所以函数在上不存在零点，且，

因为，

因为表示点与点的连线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，

结合图像可得，故，

所以函数在上存在唯一零点，

故方程在上有1个非负零点，

故答案为：1.

三、解答题

17. 四棱柱中，，．

（1）当时，试用表示；

（2）证明：四点共面；

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解；

（2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面.

【小问1详解】

四棱柱中，，

因为，

所以

；

【小问2详解】

设（不为0），

，

则共面且有公共点，则四点共面；

18. 随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动车服务系统，共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果．目前来看，共享电动车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为一次租用时间，具体计费标准如下：

①租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；

②租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；

③租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算

甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时间的概率如下表：

若甲、乙租用时间相同的概率为．

（1）求，的值；

（2）设甲、乙两人所付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；期望

【解析】

【分析】(1) 分别记“甲租用时间不超过30钟、 、 ”为事件，它们彼此互斥，则可得，求解即可；

(2)由题意可得可能取值为，求出对应概率，列出分布列，计算期望即可.

【小问1详解】

解：分别记“甲租用时间不超过30钟、 、 ”为事件，它们彼此互斥，则，且；

分别记“乙租用时间不超过30钟、 、 ”为事件，则，且与相互独立．

记“甲、乙租用时间相同”为事件，

则

由①②解得：

【小问2详解】

解：可能取值为，

，，

，

，

所以分布表如下：

所以

19. 记为数列的前n项和，且，已知．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知得为公差为的等差数列，求得，利用与的关系求得，再利用累乘法即可得到结果.

（2）利用等差数列前项和公式表示出，即可得出，然后利用裂项相消法求得其前项的和，即可得到结论.

【小问1详解】

由题意得为公差为，首项为的等差数列，

则，

即，

两式作差得，

即，

所以，

即，，

因为也适合上式，所以.

小问2详解】

由（1）知，

由可得，

所以，

则

，

当时，有，

因为，所以恒成立等价于，从而.

20. 已知函数，.

（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；

（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）将有两个极值点为，，转化为方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化为恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.

【小问1详解】

的定义域为，

由，得，则，

因为经过点的直线与函数的图像相切于点，

所以，

所以，解得，

【小问2详解】

，则，

因为有两个极值点为，，

所以在上有两个不同的根，

此时方程在上有两个不同的根，

则，且，解得，

若不等式恒成立，则恒成立，

因为

不妨设，

则，

因为，所以，

所以在上递减，所以，

所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程在上有两个不同的根，求出的范围，再将不等式恒成立，则恒成立，然后构造关于的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

21. 已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，且点关于原点对称．

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：直线过定点．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求，由此可得双曲线方程；

（2）设，分别联立直线，与双曲线方程，结合关于系数关系求点和点坐标，利用点斜式表示直线的方程，再证明直线过定点.

【小问1详解】

设双曲线的半焦距为，则，

由已知，故，即，

所以渐近线方程为．

又到双曲线的渐近线的距离为，则，

所以．

所以双曲线的方程为．

【小问2详解】

设，

若，则，

故，

直线的方程为，

若，设直线的方程为，

直线的方程与双曲线联立，

．

又，则

所以，即．

同理，

则，

则直线方程为，

令，则，

即

所以直线过定点．

  【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；

（2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

注：22与23题为选做题，2选1，均为10分．

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．

【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平方法，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.

【小问1详解】

，

，

曲线的直角坐标方程为；

当时，，

当时，可得直线的参数方程为；

【小问2详解】

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

整理可得：．①

因为

所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，

则方程①有两解，设为，

则，

故，解得的倾斜角为．

23. 已知.

（1）求的最小值M；

（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）3    （2）

【解析】

【分析】（1）确定，，，相加得到答案.

（2）根据得到，解得答案.

【小问1详解】

，则，，

，

则，所以，

当且仅当时等号成立，的最小值为．

【小问2详解】

，

当且仅当且时取最大值．

的最大值为，