2022-2023学年安徽省阜阳市临泉第一中学（高铁分校）高二下学期第三次月考数学word版含解析

临泉县高铁中学高二年级下学期第三次月考

数学试卷

考试范围：选择性必修第三册；考试时间：120分钟；命题人：蒲艳；审题人：肖靳勇

一、单选题（本大题共8小题，共40分．）

1. 已知随机变量，，那么（）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】因为，所以，又，

所以.

故选：B

2. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，不同色；

同色两大类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得答案．

【详解】由题意知，分两种情况：

(1)不同色，先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种；

(2) 同色；先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种．

由分类加法计数原理，共有种，

故选：A．

3. 利用独立性检验考察两个变量X与Y是否有关系，通过2×2列联表进行独立性检验．经计算，那么认为X与Y是有关系，这个结论错误的可能性不超过（）

A0.001 B. 0.005 C. 0.05 D. 0.01

【答案】C

【解析】  

【分析】利用独立性检验思想及检验值，在表中读取对应数据即可.

【详解】根据检验结果，可知，

所以这个结论错误的可能性不超过0.050，即可知C正确.

故选：C

4. 变量x，y具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则=（）

A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5

【答案】C

【解析】

【分析】回归直线过样本中心，求出样本中心代入回归直线方程求得结果.

【详解】由已知得，，而回归直线过样本中心，

∴，∴，

故选：C.

5. 为了应对即将到来的汛期，某地防汛指挥部抽调名专业人员（包括甲、乙两人）平均分成三组，对当地三处重点水利工程进行防汛安全检查，则甲、乙不同组的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】考虑甲、乙在同一组的分组方法种数，以及将六人平均分为三组的分组方法数，利用古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】考虑甲、乙在同一组，只需将其他四人分为两组即可，分组方法种数为，

将六人平均分为三组，每组两人，则不同的分组方法种数为，

因此，甲、乙不同组的概率为.

故选：D.

6. 从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.

【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，.

则，，

，

则分布列为：

所以得分期望为.

故选：.

7. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的性质可判断CD选项.

【详解】设“向右下落”，“向左下落”，则，

因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，

而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以，

对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确；

故选：B

8. 若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】记函数的定义域为R为事件A，求得，记函数为偶函数为事件B，求得，再利用条件概率公式求解即可.

【详解】抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，共36种情况，如下

记函数的定义域为R为事件A，

即恒成立，需满足，即，

满足的有26种情况，故.

记函数为偶函数为事件B，

函数的定义域为，由偶函数的定义知，即或.

满足或的有6种情况，故,

故,

故选：B

二、多选题（本大题共4小题，共20分．）

9. 随机变量且，随机变量，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据正态分布的期望方差性质可判断A、B，根据及二项分布期望公式可求出，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得.

【详解】解：因为且，

所以，故，，选项A正确，选项B错误；

因为，所以，

所以，解得，选项C正确；

，选项D正确.

故选：ACD.

10. 已知，则（）

A.

B.

C.

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意通过赋值逐项分析判断.

【详解】对于A：令，可得，故A错误；

对于B：令，可得，故B正确；

对于C：令，可得，

结合选项B，两式作差，可得，

即，故C正确；

对于D：令，可得，故D正确.

故选：BCD.

11. 以下列说法中正确的是（）

A. 回归直线至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点

B. 相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强

C. 已知随机变量x服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则

D. 设服从正态分布N（0，1），若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据回归直线性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，

根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质可判断选项D.

【详解】对AB，回归直线一定经过样本中心点，而样本中心点并不一定是（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点，

故A错

相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强，B正确；

对C，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p），所以30×（1－p）＝20，则p＝，故C对；

对D，，故D对，

故选：BCD

12. 某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）

A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为

B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为

C. 四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为

D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于ABC，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；

对于D，根据题意得到第一餐厅就餐的人数服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得的期望，由此判断即可.

【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，

对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；

对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；

对于C，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；

对于D，每个同学选择去第一餐厅的概率为，

所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若随机变量，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由二项分布的期望公式列方程求得，再由对应方差公式求方差即可.

【详解】由题设，则，而.

故答案为：

14. 重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.

【答案】##0.15625

【解析】

【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.

故答案为：

15. 已知，则_____________.

【答案】30

【解析】

【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可.

【详解】因为，所以是含项的系数，

若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为；

若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为；

若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项；

综上：含的项为，则含项的系数为，即.

故答案为：.

16. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示：

得到与的线性回归方程，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知求得，，进而代入回归方程可求得，从而得出.然后代入，根据指对互化，即可得出答案.

详解】由已知可得，，，

所以，有，解得，

所以.

由，得，

所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17. 已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求：

（1）的值；

（2）展开式中的常数项；

（3）展开式中系数最大的项．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）根据二项式系数和，可解方程求得的值；

（2）由二项式定理可得二项展开式通项，将代入通项中即可得到常数项；

（3）设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项.

【小问1详解】

展开式的二项式系数和为，，解得：.

【小问2详解】

展开式通项为：，

令，解得：，则展开式常数项为.

【小问3详解】

设展开式第项的系数最大，

则，即，解得：，

又，，展开式中系数最大的项为.

18. 从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.

（1）男同学甲、女同学乙必须被选出；

（2）至少有2名女生被选出；

（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.

【答案】（1）6    （2）16

（3）90

【解析】

【分析】（1）先选出男同学甲、女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可.

（2）先从8人中任选3人，再把没有女学生入选和只有1名女生入选的算出来，再用排除法，由此求得选法数.

（3）用分步计数原理，先选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，再剩下的6人中任取1人担任其它班委，相乘即可.

【小问1详解】

解：根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；

【小问2详解】

解：从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，

只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：--=16种；

【小问3详解】

解：选出一个男生担任体育班委，有种情况，

再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，

剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，

用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.

19. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为40%，40%，20%）．某同学回答这三类问题中每个题的正确率分别为，，．

（1）若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

（2）若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望．

【答案】（1）

（2）分布列见解析，3

【解析】

【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果；

（2）由题意可得，X的可能取值为0，2，4，6，分别求得其所对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望.

【小问1详解】

设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，

所选的题目回答正确为事件B，

则

，

所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；

【小问2详解】

X的可能取值为0，2，4，6，

，

，

，

，

则X的分布列为

所以.

20. 国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：

（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；

（2）将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．

附：

参考公式：，其中．

【答案】（1）认为保护动物意识的强弱与性别有关，理由见解析

（2）分布列见解析，．

【解析】

【分析】（1）根据公式计算，与临界值进行比较，可得结论；

（2）根据X的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式计算数学期望.

小问1详解】

零假设为：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，

由题意，．

所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．

即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；

【小问2详解】

由题意可知：在女性的市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，

所以，X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以X的分布列为

．

21. 某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：

（1）易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；．

【答案】（1）答案见解析

（2），31人.

【解析】

【分析】（1）根据相关系数的公式，分别计算数据求解即可；

（2）根据回归直线方程的参数计算公式可得关于的回归直线方程为，再代入求解即可.

【小问1详解】

由题意，知，，

，，

所以.又，则.

因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高，

所以可以用线性回归模型拟合与的关系.

【小问2详解】

由（1）可得，，

则，

所以关于的回归直线方程为，

当时，，

所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人.

22. 某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶元，未售出的饮品降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完.依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶；当时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶；当时，零售价为每瓶元，日需求量为瓶.已知七月份每天气温的概率为，的概率为，的概率为.

（1）求七月份这种饮品一天的平均需求量；

（2）若七月份某连续三天每天的气温均不低于，求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望.

【答案】（1）瓶

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可得日需求量分别为、、时的概率，然后利用随机变量的数学期望公式即可求解；

（2）先设出每天的进货量，分和求出日利润，然后由题意得和的概率，对这三天的气温情况讨论，求得这三天的总利润的所有可能取值及其对应的概率，进而得分布列，即可求得数学期望.

【小问1详解】

解：设七月份这种饮品的日需求量为，则的可能取值有、、，

由题意知，，，

所以，

故七月份这种饮品一天平均需求量为瓶.

【小问2详解】

解：因为这三天每天的气温不低于，所以这三天这种饮品每天的需求量至多为瓶，至少为瓶，

设这三天每天的进货量为瓶，则，

当时，日利；

当时，日利润.

由题意知七月份某一天的气温的概率，

所以的概率，的概率.

设这三天销售这种饮品的总利润为，

若这三天的气温都满足，则，；

若这三天中有两天的气温满足，一天的气温满足，

则，

；

若这三天中有一天的气温满足，两天的气温满足，

则，

；

若这三天的气温都满足，则，.

所以的分布列如下表所示：

故，其中.

【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：

（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

（2）求出每一个随机变量取值的概率；

（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.