2022-2023学年云南省保山市部分校高二下学期期末模拟测试数学试题含答案

2022-2023学年云南省保山市部分校高二下学期期末模拟测试数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的运算结合交集的定义求解即可.

【详解】集合，

则.

故选：A

2．若，则（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数除法求得，再结合共轭复数定义和减法法则计算．

【详解】，所以，所以，

故选：B.

3．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，据统计得出了昼夜温差与实验室种子浸泡后的发芽数（颗）之间的线性回归方程：，且对应数据如表：

如果昼夜温差为时，那么种子的发芽数大约是（    ）

A．21颗 B．23颗 C．25颗 D．27颗

【答案】B

【分析】根据给定的数据，求出样本的中心点，进而求出值，再代入计算作答.

【详解】，

则样本点的中心的坐标为，代入，得.

可得，取，得，

如果昼夜温差为时，那么种子的发芽数大约是23颗，

故选：B.

4．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用为奇函数排除；利用时，，排除C，从而可求解.

【详解】因为定义域为，

对于AB，，

所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；

对于C，时，，所以，

所以，故C不正确；

对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.

故选：D.

5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图1所示的形状，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…则第八层球的个数为（    ）

A．15 B．21 C．28 D．36

【答案】D

【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律，结合等差数列前n项求和公式计算得出结果.

【详解】根据题意，设各层球的个数构成数列，

由题意可知，，

则有，

故第八层球的个数，

故选：D.

6．已知函数，则将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于原点对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先通过辅助角公式将函数化为，然后将其的图像向左平移个单位后得到函数，由于图像关于原点对称，可得，再根据的范围即可求解.

【详解】

，

将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，

即，

又图像关于原点对称，可得，即，，

， .

故选：C.

7．学生到工厂劳动实践，利用打印机技术制作模型.设模型为长方体挖去四棱锥所得的几何体（如图），其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用的原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出正四棱锥的体积，即可求出该模型的体积，从而求出其质量.

【详解】由题意，，，

所以该模型的体积，

打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，

制作该模型所需原料的质量为.

故选：C.

8．过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据题意结合抛物线的定义分析可得，，进而可得的倾斜角和斜率.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

如图，过作准线的垂线交准线于，

因为，所以，

可知与轴的正方向的夹角为，则的斜率为，

故选：A.

二、多选题

9．已知向量满足，设的夹角为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据向量线性关系求得，，利用向量模长、平行、夹角、垂直的坐标表示或运算判断各项正误即可.

【详解】因为向量，满足，两式相加，则，，

所以，则，故A正确；

因为，故，所以，故正确；

设的夹角为，则，，则，故C正确；

因为，故与不垂直，故D错误，

故选：ABC

10．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效地训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如图所示频率分布直方图，则（    ）

A．

B．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有70人

C．估计全校学生体能测试成绩的平均数为77

D．估计全校学生体能测试成绩的分位数为84

【答案】AD

【分析】根据频率分布直方图中频率和等于1可求出，判断A；求出成绩落在内的频率，再乘以总人数可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据百分位数的定义求解可判断D.

【详解】对于A，根据频率和等于1得，解得，故A正确；

对于B，成绩在区间[80,100]内的学生人数约为，故B错误；

对于C，学生体能测试成绩的平均数约为，故C错误；

对于D，

，

所以这组数据的分位数的估计值落在区间内，

又因为，故学生体能测试成绩的分位数为84，故D正确，

故选：AD.

11．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】由题设知，特殊值判断A；根据指对数的单调性判断B、C；由基本不等式知，进而判断是否成立判断D.

【详解】由，故，

当时，A错；

由在定义域上递减，而，故，B错；

由，而在定义域上递增，故，C对；

因为，则，

仅当，即时等号成立，

所以，只需，而，仅当时等号成立，

综上，，仅当时等号成立，D对.

故选：CD

12．已知函数的导函数为，则（    ）

A．函数的极小值为

B．

C．函数的单调递减区间为

D．若函数有两个不同的零点，则

【答案】ABD

【分析】求出导函数，直接计算，由导数确定函数的单调性后可得极值，从而判断ABC选项，利用单调性确定函数值的变化趋势后，结合数形结合思想判断D．

【详解】由，得，当时，，B正确；

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

因此函数在处取得极小值，递减区间为，A正确，C错误；

函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，

而函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，

在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，

所以函数有两个不同的零点时，，D正确，

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：由函数零点（或方程根）的个数判断参数范围问题的解题方法，一般是把问题进行转化，转化为一条直线与一个函数图象的交点个数，然后确定函数的性质，如奇偶性、单调性（可以利用导数确定单调性，较难题一般也只能用导数确定单调性），得出函数的变化趋势，作出函数图象，再作出直线，最后由它们的交点个数情况得出参数范围．

三、填空题

13．古希腊毕达哥拉斯学派在公元前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，则          .

【答案】/0.5

【分析】将的值代入结合二倍角公式即可得结果.

【详解】由于，所以，

故答案为：.

14．已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为           .

【答案】15

【分析】令，代入已知关系式即可求出的值，然后再求出的展开式的通项公式，分别求出含，项的系数，由此即可求解．

【详解】解：令得，，解得，

则的展开式的通项为，

分别取与，得，，

所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，

所以展开式中项的系数为，

故答案为：15．

15．已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线过和，且与圆交于两点，若，则椭圆的离心率为          .

【答案】/0.5

【分析】分别求出，，利用可得，然后可解.

【详解】作，垂足为D，

因为，

所以，，

易知，

又，所以，即

所以，

所以

故答案为：

四、双空题

16．已知等边的边长为2，将其绕着边旋转角度，使点旋转到位置.记四面体的内切球半径和外接球半径依次为，当四面体的表面积最大时，          ；          .

【答案】          /

【分析】第一空：通过图形关系得到的面积为定值，当时，面积最大，进而得到；

第二空：通过设的中点为，得到，即为四面体的外接球球心；通过线面垂直的判定定理得到平面，进而计算四面体体积，结合等体积法求得内切球半径，即可得到答案.

【详解】易得的面积为定值，

又因为，

显然当时，面积最大，即四面体的表面积最大，

此时；

当四面体的表面积最大时，易知四面体的表面积最大值为，

如图，设的中点为，易知，所以，

即为四面体的外接球球心，四面体的外接球半径，

因为，且，所以，即，

因为，平面，，

所以平面，

四面体的体积为，

又因为，

所以，解得，所以.

故答案为：；

【点睛】思路点睛：本题考查棱锥表面积求法与球的内切、外接问题.通过图形关系的转化，结合相关的公式进而求解表面积；外接球常找出球心即可解得外接球半径，而内切球半径往往通过等体积法进行转化求解.

五、解答题

17．已知在锐角中，角所对应的边分别为.在下列三个条件：

①，且；

②；

③中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

(1)求角；

(2)若，求内切圆的半径.

【答案】(1)选择见解析，

(2)

【分析】（1）选择条件①，根据向量平行的坐标公式结合三角恒等变换化简即可；选择条件②③，根据正余弦定理结合三角恒等变换化简求解即可；

（2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，进而根据等面积法可求内切圆半径.

【详解】（1）选择条件①，

因为，且，

所以，即，

所以，

由为锐角三角形可知，则，

故，可得.

选择条件②，

因为，

由余弦定理可得，

由正弦定理可得，

在三角形中，可知，

则，即，

因为三角形中，可知，故.

选择条件③，

因为，

所以，

即，

由正弦定理可得，

根据余弦定理可得，

由中，，故.

（2）因为，

所以，

由余弦定理可得

，

解得，

设内切圆的半径为，

因为，

所以，即内切圆的半径为.

18．设数列的前项和为，已知.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若数列满足求数列的前20项的和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）直接利用递推关系和构造新数列的方法，求出数列是等比数列；

（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．

【详解】（1）数列的前项和为，已知，①，

当时，，解得，

故，②，

②-①得：，

即，

故，

故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）得：，

整理得.

数列满足

故且，

当为偶数时，，

整理得，

故

19．在如图所示的圆锥中，为顶点，在底面圆周上取三点，使得，在母线上取一点，过作一个平行于底面的平面，分别交于点，且.

(1)求证：平面平面；

(2)已知三棱锥的体积为2，求平面与平面所夹锐角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面平行得线线平行，然后由得，取的中点，证明平面后可得证面面垂直；

（2）由已知三棱锥体积得出三棱锥体积后可得出高，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）由题意可知为一个三棱锥，且，

∵平面平面，平面平面，平面平面，

∴，同理，，

，

分别为的中点，所以是中点，且.

取的中点，连接，则.

，

.

，则，

故，

即.

平面，

平面.

又平面，故平面平面.

（2），

.

而，

，

解得.

以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

设平面的一个法向量为，

不妨设，则.

同理设平面的一个法向量为，

不妨设，则.

，

平面与平面夹角的余弦值为.

20．某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：.

(1)根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；

(2)现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费30元，每个小白兔价值60元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？

附：相关系数.

【答案】(1)相关系数;可用线性回归模型拟合

(2)家庭损失较大

【分析】（1）由相关系数的公式可直接代入求解，再通过相关系数即可判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；

（2）由于家庭套小白兔这个试验是独立重复则家庭套住小白兔的人数为且，可求，由家庭的盈利，利用期望的性质可得；由于家庭套小白兔这个试验是独立不重复，所以可用独立事件的概率公式求家庭套住小白兔的人数为得分布列，进而求出，由于家庭的盈利为，同样利用期望的性质可得，所以比较两者即可得出一轮结束后哪个家庭损失较大.

【详解】（1），

,

则根据相关系数，可用线性回归模型拟合与的关系.

（2）设家庭套住小白兔的人数为，

因为事件本身独立重复，则，

，

设家庭的盈利为，

则，

设家庭套住小白兔的人数为，

的可能取值分别为，

则，

，

，

，

设家庭的盈利为，

，

家庭损失较大.

21．设双曲线的焦距为6，点在双曲线上.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意列式运算求解，即可得结果；

（2）根据题意求直线的交点结合韦达定理分析证明.

【详解】（1）因为焦距为6，所以，

将点代入的方程，得，

又因为，解得，

所以双曲线方程为.

（2）如图所示：

是直线上一点

的横坐标为，

设直线的方程为，则，

联立方程组得，

设，

则，且，

则，

直线的方程为，①

又直线的方程为，②，

由①②消去得，

在中，

两式相除，得，则，

则，

，

故为线段的中点.

【点睛】方法点睛：对双曲线定值定点类问题的常见设线法分为以下几步：

（1）画出双曲线；

（2）设相应的直线方程；

（3）联立方程组；

（4）韦达定理；

（5）化简分析.

22．设函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)若且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，分、判断单调性结合最值分析，即可求解；

（2）所证不等式等价于，通过放缩后，只需证，设，二次求导后可得在上单调递增，再构造，证得，从而得证.

【详解】（1）因为，则，

当，则在上单调递增，

而，所以；

当，则当，

即在上单调递减，

，不符合题意，

综上可得的取值范围为.

（2）因为，

所以要证明，只需证明，

只需证，即证，

设，所以，

令，因为，

所以在上单调递增，，

所以，

所以在上单调递增，

令，

所以在上单调递增，

所以，

即成立，

所以，即，

所以成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：

（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；

（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.