十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题14立体几何填空题（文科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题14立体几何填空题（文科）（Word版附解析），共30页。试卷主要包含了多选题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142996833" 题型一： 立体几何的结构特征及其直观图 PAGEREF _Tc142996833 \h 1
\l "_Tc142996834" 题型二： 简单几何体的表面积和体积 PAGEREF _Tc142996834 \h 7
\l "_Tc142996835" 题型三： 球的有关问题 PAGEREF _Tc142996835 \h 19
\l "_Tc142996836" 题型四： 线面之间的位置关系与垂直与平行 PAGEREF _Tc142996836 \h 23
\l "_Tc142996837" 题型五： 空间角与空间距离 PAGEREF _Tc142996837 \h 28
题型一： 立体几何的结构特征及其直观图
一、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第12题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
【答案】ABD
解析：对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD
二､填空题：
1．(2021年全国高考乙卷文科·第16题)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．
【答案】③④
解析：选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥．
故答案为：③④．
2．(2019·全国Ⅱ·文·第16题)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．(本题第一空2分，第二空3分．)
【答案】26，
【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
解法一：如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，，即该半正多面体棱长为．
解法二：设棱长为，如图做出该几何体的截面，，又为等腰直角三角形，则，解得，则棱长为.
3．(2014高考数学北京文科·第11题)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 ．
【答案】．
解析： 由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则，且；
由左视图知，，在中，，在中，，
在中，．则三棱锥中最长棱的长为．故答案为：．
4．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第15题)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
解析：设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为．
故答案为：．
题型二： 简单几何体的表面积和体积
一、多选题
1．(2022新高考全国II卷·第11题)如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
解析：
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确． 故选：CD．
二､填空题：
1．(2019·北京·文·第12题)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】法一：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积．
法二：在正方体中还原该几何体，如图所示，几何体的体积．
2．(2015高考数学江苏文理·第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_______．
【答案】
解析：由体积相等得：
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第14题)在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
【答案】
解析：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为．
故答案：．
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第14题)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】
解析：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为．
方法二：棱台的体积为．
故答案为：．

5．(2021年高考全国甲卷文科·第14题)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
解析：∵
∴
∴
∴．
故答案为：．
6．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第13题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
【答案】
解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点
所以
故答案为：
7．(2020江苏高考·第9题)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0．5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm．
【答案】
【解析】正六棱柱体积为,圆柱体积为
所求几何体体积为,故答案为：
8．(2019·天津·文·第12题)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______．
【答案】
【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；
由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，
则该圆柱的体积为：；故答案为
9．(2019·全国Ⅲ·文·第15题)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，cm，cm．3D打印所用的原料密度为g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．
【答案】118.8
【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，
该模型体积为：，
打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为：．故答案为：118.8．
10．(2019·江苏·文理·第9题)如图，长方体的体积是，是的中点，则三棱椎的体积是______.
【答案】10
【解析】因为
所以.
11．(2018年高考数学江苏卷·第10题)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
【答案】
解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为．
12．(2018年高考数学天津(文)·第11题)如图，已知正方体的棱长为，则四棱锥的体积为 ．
【答案】
解析：．
13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第16题)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】
解析：圆锥的顶点为，母线互相垂直，△的面积为8，可得：，解得,与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为：，圆锥的高为，则该圆锥的体积为：．故答案为：．
14．(2014高考数学天津文科·第10题)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_______m3．

【答案】
解析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为．
15．(2014高考数学上海文科·第8题)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 。
【答案】24
解析:
16．(2014高考数学山东文科·第13题)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．
【答案】12
解析：设六棱锥的高为,则,所以,解得．设斜高为,则,所以,所以该六棱锥的侧面积为．
17．(2014高考数学江苏·第8题) 设甲、乙两个圆柱的底面分别为,，体积分别为,，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ．
【答案】
解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为、，、，则，，
又，所以，则．
18．(2015高考数学天津文科·第10题)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 ．
【答案】
解析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为．
19．(2015高考数学四川文科·第14题)三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点分别是，，的中点，则三棱锥的体积是_______．
【答案】
解析：由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为，如图,三棱锥底面积是三棱锥底面积的，高为1，故三棱锥的体积为

20．(2015高考数学上海文科·第6题)若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ．
【答案】4
解析：根据正三棱柱的体积计算公式．
21．(2017年高考数学山东文科·第13题)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为________．
【答案】
【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以
．
22．(2016高考数学浙江文科·第9题)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3．
【答案】80 ；40．
解析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，
，．
23．(2016高考数学四川文科·第12题)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积 ．
【答案】
解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为，高为1，所以该几何体的体积为．
24．(2016高考数学北京文科·第11题)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________．
【答案】
解析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为
25．(2020天津高考·第15题)如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】，，，
，解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,，的坐标为,
又,则，设，则(其中)，
，，
，
所以，当时，取得最小值．故答案为：；．
题型三： 球的有关问题
一、填空题：
1．(2023年全国甲卷文科·第16题)在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．
【答案】
解析：设球的半径为．
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；

分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，
连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为．
综上，．故答案：
2．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第16题)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：．故答案为：．
3．(2017年高考数学天津文科·第11题)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____________．
【答案】
【解析】设正方体的边长为，则，，，
4．(2017年高考数学上海(文理科)·第8题)已知球的体积为,则该球主视图的面积等于________．
【答案】
【解析】．
5．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第15题)长方体的长宽高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为_______
【答案】
【解析】由题知:长方体的体对角线为其外接球的直径,所以:所以球的表面积为:,
所以．
6．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第16题)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径．若平面,
,,三棱锥的体积为9,则球的表面积为_______．
【答案】
【解析】取的中点,连接,因为,所以,
因为平面平面,所以平面,设,
,所以,
所以球的表面积为．

7．(2017年高考数学江苏文理科·第6题)如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是_______．
O
O1
O2
(第6题)



【答案】
解析:设球半径为,则．故答案为．
O
O1
O2
(第6题)




8．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第16题)已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】．
解析：如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得
题型四： 线面之间的位置关系与垂直与平行
一、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是( )
A．B．
C．D．
【答案】BC
解析:设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接，则，
故(或其补角)为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误．
对于B，如图(2)所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确．
对于C，如图(3)，连接，则，由B的判断可得，故，故C正确．
对于D，如图(4)，取的中点，的中点，连接，则，
因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，故不垂直，故D错误．故选BC
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12题)在正三棱柱中，，点满足，其中，，则( )
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
解析:
易知，点在矩形内部(含边界)．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确,故选BD．
二､填空题：
1．(2023年全国乙卷文科·第16题)已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．
【答案】2
解析：如图，将三棱锥转化为直三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得．
故答案为：2．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第16题)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①②③④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题．
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题．
故答案为：①③④．
3．(2019·北京·文·第13题)已知，是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①；②；③．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
【答案】若，，则．
【解析】由，是平面外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得：若，，则．故答案为：若，，则．
题型五： 空间角与空间距离
一、填空题
1．(2017年高考数学上海(文理科)·第11题)如图,以长方体的顶点为坐标原点,过的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为,则的坐标为________．
【答案】
【解析】,,则．
2．(2014高考数学上海文科·第7题)若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示)．
【答案】
解析:设圆锥的底面半径为,母线长为,母线与底面所成角为．由已知得:,则,所以．
(2016高考数学浙江文科·第14题)如图，已知平面四边形
．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是______．
【答案】
解析：如图所示，取的中点，
在中，．作，垂足为，
，
．
过点作∥交于点，则．
连接，为直线与所成的角．则四边形为矩形，
．．
则为二面角的平面角，设为．
则
时取得等号．的最小值为．
直线与所成角的余弦的最大值为．
4．(2019·全国Ⅰ·文·第16题)已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，，.
5．(2021高考天津·第17题)如图，在棱长为2正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
(I)求证：平面；
(II)求直线与平面所成角的正弦值．
(III)求二面角的正弦值．
【答案】(I)证明见解析；(II)；(III)．
解析：(I)以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，因为平面，所以平面；
(II)由(1)得，， 设直线与平面所成角为，
则；
(III)由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为．