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十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题02函数选择题（文科）（Word版附解析）
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这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题02函数选择题（文科）（Word版附解析），共51页。试卷主要包含了已知函数，若，则，设实数，，满足，已知函数，且，则，设，则，设函数，若，则，设,若,则，函数的定义域为，故选D等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142237840" 题型一： 函数及其表示 PAGEREF _Tc142237840 \h 1
\l "_Tc142237841" 题型二： 函数的基本性质 PAGEREF _Tc142237841 \h 8
\l "_Tc142237849" 题型三： 基本初等函数 PAGEREF _Tc142237849 \h 25
\l "_Tc142237850" 题型四： 函数的图像 PAGEREF _Tc142237850 \h 27
\l "_Tc142237851" 题型五： 函数与方程 PAGEREF _Tc142237851 \h 27
\l "_Tc142237852" 题型六： 函数模型及其应用 PAGEREF _Tc142237852 \h 44
\l "_Tc142237853" 题型七：函数的综合问题 PAGEREF _Tc142237853 \h 49
题型一： 函数及其表示
1．(2023年天津卷·第5题)已知函数一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B．
2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第12题)设函数则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：【基本解法1】(分类讨论法)由于当时，单调递减；而当时，(为常数)，故分以下两种情况：或解这两个不等式组得，故选D．
【基本解法2】(数形结合法)作出的图象，如图：
结合图象可知或，解得，故选D．
3．(2014高考数学陕西文科·第10题)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )
A．B．
C．D．
湖面
O
x（千米）
y（千米）
2
【答案】A
解析：由已知设所求三次函数为所以，由给出图像可知所求三次函数过点且在这两点处的切线分别为，所以有即解得
所以；
也可根据题意设再根据求出
，．
4．(2014高考数学江西文科·第4题)已知函数，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】 A
分析:因为所以
5．(2015高考数学浙江文科·第8题)设实数，，满足( )
A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定
【答案】B
解析：因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定．故选B．
6．(2015高考数学新课标1文科·第10题)已知函数，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
分析：∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，
当时，，解得，
∴=，故选A．
7．(2015高考数学陕西文科·第4题)设，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因为，所以，
故答案选
8．(2015高考数学山东文科·第10题)设函数，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：
由题意，由得，或，解得，故选．
9．(2017年高考数学山东文科·第9题)设,若,则( )
A．2B．4C．6D．8
【答案】 C
【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C．
10．(2014高考数学山东文科·第3题)函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：由已知,即，解得，故选．
11．(2015高考数学重庆文科·第3题)函数的定义域是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由解得或，故选D．
12．(2015高考数学湖北文科·第6题)函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】C．
解析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．
13．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第10题)下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )．
A．B．C．D．
【答案】D．
【解析1】，定义域与值域均为，函数的定义域和值域均为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；
【解析2】利用选项中A、C的定义域与题干对数函数定义域不同，排除；指数函数的值域是，对数的值域是，排除C，从而选D．
【解析3】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
14．(2021年全国高考乙卷文科·第8题)下列函数中最小值为4的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
15．(2014高考数学安徽文科·第9题)若函数的最小值为3，则实数的值为( )
A．5或8B．－1或5C．－1或－4D．－4或8
【答案】D
解析：若，则，由图象知，当时，
取最小值，所以，解得或(舍)；同理，若，可求得；
综上或，故选D．
16．(2017年高考数学天津文科·第8题)已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【基本解法1】由不等式得，，
只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可，
当时，
又(当时取等号)，
(当时取等号)，
所以，
当时，
又=(当时取等号)，
(当时取等号)，
所以，
综上．故选A．
【特殊解法2】(特值排除法)满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C，D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
故选择A．
17．(2016高考数学浙江文科·第7题)已知函数满足：且．( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
解析：由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．
18．(2014高考数学大纲文科·第5题)函数=ln()()的反函数是( )
A．B．
C．D．．
【答案】D
分析：，故排除A，C，
因为，原函数的值域就是反函数的定义域，故选D
19．(2017年高考数学浙江文理科·第5题)若函数在区间上的最大值是,最小值是,则( )
A．与有关,且与有关B．与有关,但与无关
C．与无关,且与无关D．与无关,但与有关
【答案】 B
【解析】(特值法)取得;取得;取得,故与有关,与无关．故选B．
(特例法)当对称轴小于0时,;当对称轴大于1时,; 故与有关,与无关．故选B．
题型二： 函数的基本性质
1．(2023年全国甲卷文科·第11题)已知函数．记，则 ( )
A B． C． D．
【答案】A
解析：令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即．
故选：A．
2．(2023年北京卷·第4题)下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析：对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误．
故选：C．
3．(2023年天津卷·第3题)若，则的大小关系为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由在R上递增，则，
由在上递增，则．
所以．
故选：D
4．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第4题)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是．
故选：D
5．(2021年高考全国甲卷文科·第4题)下列函数中是增函数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：对于A，为上的减函数，不合题意，舍．
对于B，为上的减函数，不合题意，舍．
对于C，在为减函数，不合题意，舍．
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D
6．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第12题)已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A．
7．(2022新高考全国I卷·第7题)设，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析: 设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又， 所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C．
8．(2014高考数学陕西文科·第7题)下列函数中，满足“”的单调递增函数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由可知指数函数满足此关系，又要求函数单调递增，所以．
考点：(1)2．2．1函数单调性的判断；(2)2．7．1抽象函数的性质及应用．
难度：B
9．(2014高考数学山东文科·第5题)已知实数满足，则下列关系式恒成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】
解析：由知,所以,选
10．(2014高考数学北京文科·第2题)下列函数中，定义域是且为增函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：函数的定义域为，但函数为减函数，不满足条件．
B．函数的定义域为，函数增函数，满足条件．
C．函数的定义域为，函数为增函数，不满足条件．
D．函数的定义域为，在上函数是增函数，在上是减函数，不满足条件．
故选A．
11．(2015高考数学新课标2文科·第12题)设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以．故选A．
12．(2015高考数学湖南文科·第8题)设函数，则是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
【答案】A
解析：
函数，函数的定义域为(-1，1)，函数所以函数是奇函数．
，在(0,1)上 ，所以在(0,1)上单调递增，故选A．
13．(2017年高考数学天津文科·第6题)已知奇函数在上增函数．若，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【基本解法】 因为奇函数在上增函数，所以，又因为，所以，即，故选C．
14．(2016高考数学天津文科·第6题)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由是偶函数得，再由偶函数在对称区间上单调性相反，
得在上单调递减所以由，得，即．
15．(2016高考数学北京文科·第4题)下列函数中，在区间上为减函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由 在上单调递减,故选D．
16．(2023年全国乙卷文科·第5题)已知是偶函数，则( )
AB．C．1D．2
【答案】D
解析：因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得．
故选：D．
17．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第4题)若为偶函数，则( )．
A．B．0C．D．1
【答案】B
解析：因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称．
，
故此时为偶函数．
故选：B．
18．(2021年高考全国甲卷文科·第12题)设是定义域为R奇函数，且．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意可得：，
而，
故．
故选：C．
19．(2021年全国高考乙卷文科·第9题)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
20．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D．
21．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D．
22．(2022高考北京卷·第4题)己知函数，则对任意实数x，有( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析:，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选,C．
23．(2019·上海·文理·第15题)已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一(推荐)：依次代入选项的值，检验的奇偶性，选C；
法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数(偶函数×偶函数=偶函数)，∴ ，当时，，选C.
24．(2019·全国Ⅱ·文·第6题)设为奇函数，且当时，，则当时，( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】是奇函数，．当时，，，得．故选D．
25．(2014高考数学重庆文科·第4题)下列函数为偶函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：利用奇偶性的判断法则：为奇函数；为偶函数即可得到答案为D．
26．(2014高考数学辽宁文科·第10题)已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：当时，即；
当时，即，
综上当时，的t的取值范围为，
又因为为偶函数，由对称性知所以的解集为,
所以求不等式的解集，只需令，
解得，所以不等式的解集为，故选A
27．(2014高考数学课标1文科·第5题)设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
解析：设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C．
28．(2014高考数学湖南文科·第4题)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：根据“偶函数”条件排除C、D，“又在区间上单调递增”，所以又排除B，
29．(2014高考数学广东文科·第5题)下列函数为奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：对于A选项中的函数，其定义域为，，故A选项中的函数为奇函数；对于B选项中的函数，其定义域为，由于函数与函数均为奇函数，则函数为偶函数；对于C选项中的函数，其定义域为，，故函数为偶函数；对于D选项中的函数，，，则，因此函数为非奇非偶函数，故选A．
30．(2014高考数学大纲文科·第12题)奇函数的定义域为R．若为偶函数，且，则＝( )
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
解析: 因为函数是奇函数，所以，又因为是偶函数，所以，所以，而，，同理，所以，故选D．
31．(2015高考数学山东文科·第8题)若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )
A．( QUOTE )B．( QUOTE )C．D．
【答案】C
解析：
由题意，即所以，，由得，故选．
32．(2015高考数学广东文科·第3题)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选D．
33．(2015高考数学福建文科·第3题)下列函数为奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D．
34．(2015高考数学安徽文科·第4题)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：选项A：的定义域为(0,+∞)，故不具备奇偶性，故A错误；
选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；
选项C：是奇函数，故C错；
选项D：是偶函数，
且，，故D项正确．
35．(2017年高考数学北京文科·第5题)已知函数,则( )
A．是偶函数,且在上是增函数B．是奇函数,且在上是增函数
C．是偶函数,且在上是减函数D．是奇函数,且在上是减函数
【答案】 B
【解析】解法一:的定义域为,为奇函数．在上为减函数,在上为增函数．又在上为增函数,在上为增函数．
解法二:令且,则
,又
在上为增函数,在上为奇函数在上为增函数．
36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第7题)下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：关于对称，则，故选B．
另解：因为过点，点关于直线对称的点必在所求函数的图像上，只有B选项满足．故选B．
37．(2015高考数学新课标1文科·第12题)设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为()，由已知知()在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．
38．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第12题)已知函数有唯一零点，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：
设，
当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C．
解法二：由条件，，得：
所以，即为的对称轴
由题意，有唯一零点，∴的零点只能为即
解得．
39．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第9题)已知函数,则( )
A．在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
【答案】 C
【解析】(法一)函数的定义域为,,
设, 为增函数,当时,为增函数,
为增函数,当时,为减函数,为减函数．排除A,B,
因为是二次函数,图像关于直线对称,故,
所以,的图像关于直线对称,故选 C;
(法二),当时,,为增函数．
当时,,为减函数,故排除A,B． 故选 C;
40．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知,故选B．
41．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第10题)设函数,则( )
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
42．(2019·全国Ⅲ·文·第11题)设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，
，，
在上单调递减，，故选：C．
全国卷设置
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知，，，则下列判断正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析:，即,故选C．
2．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第8题)设，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，所以，
所以有，
故选：B．
3．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第12题)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第10题)设，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以．
故选：A．
5．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第7题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以，故选：D
6．(2022年浙江省高考数学试题·第7题)已知，则( )
A．25B．5C．D．
【答案】C
解析:因为，，即，所以．
故选,C．
7．(2021高考天津·第5题)设，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，， ，，
，， ． 故选：D．
8．(2014高考数学四川文科·第7题)已知，，，，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝acB．C．D．
【答案】B
解析:相除得，又，所以．选B．
9．(2014高考数学辽宁文科·第3题)已知，，则( )
A．B．(C)D．
【答案】C
解析: , , ，
，故选C
10．(2014高考数学安徽文科·第5题)设，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因为，，，所以，故选B．
11．(2015高考数学天津文科·第7题)已知定义在上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：
由 为偶函数得,所以, ,所以,故选B．
12．(2015高考数学陕西文科·第10题)设，若，，，则下列关系式中正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：；；
因为，由是个递增函数，
所以，故答案选
13．(2015高考数学山东文科·第3题)设则的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：
由在区间是单调减函数可知，，又，故选．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第8题)函数的单调递增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】本题由题知的定义域为．
令,则,且递增．
当时,关于递减,关于递减;
当时,关于递增,关于递增;
故的递增区间为．故选D．
15．(2016高考数学浙江文科·第5题)已知，且，若，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：，
当时，，
当时，，
故选D．
16．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第7题)已知则( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A【解析】因为，，又函数在上是增函数，所以，即，故选A．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第8题)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B【解析】对于选项A：，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定; 对于选项B：,而，两边同乘以一个负数改变不等号方向所以选项B正确;对于选项C：利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D：利用在上为减函数易得为错误．所以本题选B．
18．(2015高考数学北京文科·第3题)下列函数中为偶函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B．
题型三： 基本初等函数
1．(2019·北京·文·第3题)下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上单调递增，和在上都是减函数．故选A．
2．(2018年高考数学天津(文)·第5题)已知，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，，，
， ，故．
3．(2021高考天津·第7题)若，则 ( )
A．B．C．1D．
【答案】C
解析：，， ．
故选：C．
4．(2014高考数学天津文科·第4题)设a=，，c=，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题可知，所以，故选C．
5．(2014高考数学浙江文科·第7题)已知函数，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析:由题意知化简得解得所以
，所以，解得．故选C．
题型四： 函数的图像
1．(2014高考数学浙江文科·第8题)在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
【答案】D
解析:根据对数函数性质知，，所以幂函数是增函数，排除A(利用点也可以排除)；选项B从对数函数图象看，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看，与幂函数图象矛盾．故选D．
2．(2023年天津卷·第4题)函数图象如下图所示，则的解析式可能为( )
( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
3．(2021年高考浙江卷·第7题)已知函数，则图象为如图的函数可能是( )
( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析:对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C．
故选D．
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第4题)函数y=xcsx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：，则，
为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误． 故选：A．
5．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第7题)函数在区间的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C．
故选：A．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第8题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是( )
( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D． 故选：A．
7．(2021高考天津·第3题)函数的图像大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D．
故选：B．
8．(2020天津高考·第3题)函数的图象大致为( )
AB．( )
C．D．
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误．故选：A．
9．(2020北京高考·第6题)已知函数，则不等式的解集是( )．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或．
所以不等式的解集为：．故选：D．
10．(2019·浙江·文理·第6题)在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
【答案】D
【解析】当时，函数的图象恒过点，且在上单调递增；的图象恒过点，在上单调递减，故选项D满足条件．当时，函数的图象恒过，在上单调递减；的图象恒过点，在上单调递增，各选项均不符合．
11．(2019·全国Ⅰ·文·第5题)函数的图象在，的大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，
∴为奇函数，排除A.
又，排除C，
，排除B，故选D.
12．(2018年高考数学浙江卷·第5题)函数的图像可能是( )
【答案】B
解析：设，则，所以该函数是一个奇函数，其图像关于原点对称，排除A，B，又，排除C，故选D．
13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第9题)函数的图像大致为( )
【答案】D
解析：易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减．故选D．
14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第3题)函数的图像大致为( )
【答案】B
解析：函数，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当时，，排除D．当时，，排除C，故选B．
15．(2014高考数学山东文科·第6题)已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是
( )
A．B．
C．D．
【答案】
解析：由图可知， 函数的图象是由函数的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选．
16．(2014高考数学江西文科·第9题)在同意直角坐标系中,函数的图像不可能的是( )
【答案】 B
分析:当时,两函数图像为D所示,当时,由得:或,的对称轴为．当时,由知B不对． 当时,由知A,C正确．
17．(2015高考数学浙江文科·第5题)函数(且)的图象可能为( )
【答案】D
解析：
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D．
18．(2015高考数学新课标2文科·第11题)．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为( )
( )
【答案】B
分析：由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，，，所以 ,可知时图像不是线段,可排除A,故选B．
19．(2014高考数学福建文科·第8题)若函数,且的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
【答案】B
解析：由对数函数的图象知,此函数图象过点,故有,解得．
对于A,由于是一个减函数,与函数图象不对应,A错．
对于B,由于幂函数是个一增函数,且是奇函数,图象过原点且关于原点对称,图象与函数
的性质对应,所以B对．
对于C,由于,所以是一个减函数,与函数图象不对应,C错．
对于D,由于和的图象关于轴对称,所给的图象不满足这一特征,D错．
20．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第3题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】
【解析】由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:
月接待游客量逐月有增有减,故A错误;
年接待游客量逐年增加,故B正确;
各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故正确;
故选:
21．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第8题)函数的部分图像大致为( )
【答案】 C
【解析】由题意知,函数为奇函数,故排除B;当时,,排除D;当时,,排除A．故选C．
22．(2016高考数学浙江文科·第3题)函数的图象是( )
( )
ABCD
【答案】D
解析：因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D．
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第9题)函数在[–2,2]的图像大致为( )
y
x
y
2
O
-2
1
C
x
2
O
-2
1
B
y
x
2
O
-2
1
A
x
2
O
-2
1
D
y
【答案】D【解析】函数在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D
题型五： 函数与方程
全国卷设置
1．(2019·天津·文·第8题)已知函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】分别作出和的图象，考虑直线经过点和时，有两个交点，直线与在相切，求得的值，结合图象可得所求范围．
【解析】作出函数的图象，以及直线的图象
关于的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在相切，可得，由，解得舍去)，
综上可得的范围是，．故选D．
法二：因为关于的方程恰有两个互异的实数解，
即方程恰有两个互异的实数解；则；
①当时，令，则；
当，此时为增函数；
②当时，，在(1,2)单调递减，在(2，+∞)上单调递增；
则 时，取得最小值为，根据图像可得，当时，有有两个互异的实数解；当时，有有两个互异的实数解；故选D.
2．(2020天津高考·第9题)已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，令，即与的图象有个不同交点．
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得(负值舍去)，所以．
综上，的取值范围为．故选：D．
3．(2019·浙江·文理·第9题)设，，函数若函数恰有个零点，则( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】解法一：设．
当时，，此时最多一个零点；
当时，，，
若，即，，在，上递增，此时最多一个零点．不合题意；
若，即时，又知在上函数递增，在上函数递减．此时函数最多有2个零点；
要使恰有3个零点，则函数必满足在上有1个零点，
在，上有2个零点．
如图，可知且，解得，，，
即，．故选C．
解法二：当时，，最多一个零点．(取决于与0的大小),所以关键研究当时，方程的解的个数，即,利用奇穿偶回画右边的三次函数的图象，分类讨论如下．
= 1 \* GB3 ①当，即时，处为偶重零点反弹，为奇重零点穿过，又在单调递增，故与最多只能有一个交点，不符合题意．
= 2 \* GB3 ②当，即时，处为3重零点穿过，也不符合题意．
= 3 \* GB3 ③当，即时，处为偶重零点反弹，为奇重零点穿过，若，则与可以有两个交点，且同时需，故，．故选C．
4．(2019·全国Ⅲ·文·第23题)函数在的零点个数( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】函数在，的零点个数，
即：在区间，的根个数，
即，令左右为新函数和，和，
作图求两函数在区间，的图象可知：
和，在区间，的图象的交点个数为3个．故选：B．
5．(2014高考数学重庆文科·第10题)已知函数且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A．
解析:函数的图像如图所示．
在内有且仅有两个不同的零点，可看成函数与直线的交点，又知道该直线过定点．要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间．计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是．
6．(2014高考数学湖北文科·第9题)已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x．
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－eq \r(7)．故选D．
7．(2014高考数学北京文科·第6题)已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：方法一：∵，∴，，
满足，∴在区间内必有零点，故选：C
方法二：在同一坐标系中作出函数与 的大致图像，如图所示，可得的零点所在的区间为．
8．(2015高考数学天津文科·第8题)已知函数,函数,则函数的零点的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
解析：当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2．故选A．
题型六： 函数模型及其应用
1．(2022高考北京卷·第7题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是( )
( )
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
解析:当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误．
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误．
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误．
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确．
故选,D
2．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第4题)Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ( )(ln19≈3)
A60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得．
故选：C．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0．69)( )
A．1．2天B．1．8天
C．2．5天D．3．5天
【答案】B
解析：因，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天． 故选：B．
4．(2019·北京·文·第7题)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设太阳的星等是，天狼星的星等是，由题意可得：，所以，则，故选A．
5．(2016高考数学四川文科·第7题)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是( )
(参考数据：，，)
(A)年(B)年(C)年(D)年
【答案】B
解析：设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得
，故选B．
6．(2017年高考数学北京文科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】法一:因为,因此选项D符合题意．
法二:设 ,两边取对数,,所以,即最接近,故选D．
7．(2017年高考数学北京文科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】法一:因为,因此选项D符合题意．
法二:设 ,两边取对数,,所以,即最接近,故选D．
8．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第4题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是( )
( )
A．各月的平均最低气温都在以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于的月份有5个
【答案】D
【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确．故选D．
9．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．
故选：D．
10．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第4题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者( )
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名．
故选：B
11．(2014高考数学北京文科·第8题)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率
与加工时间(单位：分钟)满足的函数关系(、、是常数)，下图
记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
0.8
0.7
0.5
p
O
5
4
3
t
【答案】B
解析：将，，(5,0．5)分别代入，可得，
解得，，，
∴，对称轴为．
故选：B．
12．(2015高考数学四川文科·第8题)某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数)．若该食品在的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是( )
(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)28小时
【答案】C
解析：由题意：得
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)
题型七：函数的综合问题
1．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)已知函数满足，若函数与图象的交点为，则( )
(A)0(B)(C)(D)
【答案】B【解析1】由得的图象关于直线对称，又的图象也关于直线对称．所以它们交点也关于直线对称，所以对于每一组对称点都有，因此，．故选B．
【解析2】由得的图象关于直线对称，取一个关于直线对称的函数，可知两个图象有3个交点，于是，故选B．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R，且，则( )
A．B．C．0D．1
【答案】A
解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以． 故选：A．
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第12题)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A．B．0C．2D．50
【答案】C
解析：是奇函数，且，故关于对称，，又，且，，则，则，故选C．
4．(2016高考数学上海文科·第18题)设、、是定义域为的三个函数，对于命题：= 1 \* GB3①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；= 2 \* GB3②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是( )
A．= 1 \* GB3①和= 2 \* GB3②均为真命题B．= 1 \* GB3①和= 2 \* GB3②均为假命题
D．= 1 \* GB3①为真命题，= 2 \* GB3②为假命题C．= 1 \* GB3①为假命题，= 2 \* GB3②为真命题
【答案】D
【解析】因为必为周期为的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定．选D．
5．(2016高考数学山东文科·第9题)已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则( )
A．B．C．0D．2
【答案】D
解析：当时，，所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D．
6．(2021年高考全国甲卷文科·第6题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为( )()
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
【答案】C
解析：由，当时，，
则．
故选：C．
7．(2014高考数学山东文科·第9题)对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】
解析：由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数．在中，函数的图．象关于对称，故选．
8．(2015高考数学湖北文科·第7题)设，定义符号函数则( )
A．B．C．D．
【答案】D．
解析：对于选项，右边，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然正确；故应选．
9．(2017年高考数学山东文科·第10题)若函数(e=2．71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是
A．B．C．D．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142237840" 题型一： 函数及其表示 PAGEREF _Tc142237840 \h 1
\l "_Tc142237841" 题型二： 函数的基本性质 PAGEREF _Tc142237841 \h 8
\l "_Tc142237849" 题型三： 基本初等函数 PAGEREF _Tc142237849 \h 25
\l "_Tc142237850" 题型四： 函数的图像 PAGEREF _Tc142237850 \h 27
\l "_Tc142237851" 题型五： 函数与方程 PAGEREF _Tc142237851 \h 27
\l "_Tc142237852" 题型六： 函数模型及其应用 PAGEREF _Tc142237852 \h 44
\l "_Tc142237853" 题型七：函数的综合问题 PAGEREF _Tc142237853 \h 49
题型一： 函数及其表示
1．(2023年天津卷·第5题)已知函数一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B．
2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第12题)设函数则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：【基本解法1】(分类讨论法)由于当时，单调递减；而当时，(为常数)，故分以下两种情况：或解这两个不等式组得，故选D．
【基本解法2】(数形结合法)作出的图象，如图：
结合图象可知或，解得，故选D．
3．(2014高考数学陕西文科·第10题)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )
A．B．
C．D．
湖面
O
x（千米）
y（千米）
2
【答案】A
解析：由已知设所求三次函数为所以，由给出图像可知所求三次函数过点且在这两点处的切线分别为，所以有即解得
所以；
也可根据题意设再根据求出
，．
4．(2014高考数学江西文科·第4题)已知函数，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】 A
分析:因为所以
5．(2015高考数学浙江文科·第8题)设实数，，满足( )
A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定
【答案】B
解析：因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定．故选B．
6．(2015高考数学新课标1文科·第10题)已知函数，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
分析：∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，
当时，，解得，
∴=，故选A．
7．(2015高考数学陕西文科·第4题)设，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因为，所以，
故答案选
8．(2015高考数学山东文科·第10题)设函数，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：
由题意，由得，或，解得，故选．
9．(2017年高考数学山东文科·第9题)设,若,则( )
A．2B．4C．6D．8
【答案】 C
【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C．
10．(2014高考数学山东文科·第3题)函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：由已知,即，解得，故选．
11．(2015高考数学重庆文科·第3题)函数的定义域是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由解得或，故选D．
12．(2015高考数学湖北文科·第6题)函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】C．
解析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．
13．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第10题)下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )．
A．B．C．D．
【答案】D．
【解析1】，定义域与值域均为，函数的定义域和值域均为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；
【解析2】利用选项中A、C的定义域与题干对数函数定义域不同，排除；指数函数的值域是，对数的值域是，排除C，从而选D．
【解析3】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
14．(2021年全国高考乙卷文科·第8题)下列函数中最小值为4的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
15．(2014高考数学安徽文科·第9题)若函数的最小值为3，则实数的值为( )
A．5或8B．－1或5C．－1或－4D．－4或8
【答案】D
解析：若，则，由图象知，当时，
取最小值，所以，解得或(舍)；同理，若，可求得；
综上或，故选D．
16．(2017年高考数学天津文科·第8题)已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【基本解法1】由不等式得，，
只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可，
当时，
又(当时取等号)，
(当时取等号)，
所以，
当时，
又=(当时取等号)，
(当时取等号)，
所以，
综上．故选A．
【特殊解法2】(特值排除法)满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C，D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
故选择A．
17．(2016高考数学浙江文科·第7题)已知函数满足：且．( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
解析：由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．
18．(2014高考数学大纲文科·第5题)函数=ln()()的反函数是( )
A．B．
C．D．．
【答案】D
分析：，故排除A，C，
因为，原函数的值域就是反函数的定义域，故选D
19．(2017年高考数学浙江文理科·第5题)若函数在区间上的最大值是,最小值是,则( )
A．与有关,且与有关B．与有关,但与无关
C．与无关,且与无关D．与无关,但与有关
【答案】 B
【解析】(特值法)取得;取得;取得,故与有关,与无关．故选B．
(特例法)当对称轴小于0时,;当对称轴大于1时,; 故与有关,与无关．故选B．
题型二： 函数的基本性质
1．(2023年全国甲卷文科·第11题)已知函数．记，则 ( )
A B． C． D．
【答案】A
解析：令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即．
故选：A．
2．(2023年北京卷·第4题)下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析：对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误．
故选：C．
3．(2023年天津卷·第3题)若，则的大小关系为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由在R上递增，则，
由在上递增，则．
所以．
故选：D
4．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第4题)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是．
故选：D
5．(2021年高考全国甲卷文科·第4题)下列函数中是增函数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：对于A，为上的减函数，不合题意，舍．
对于B，为上的减函数，不合题意，舍．
对于C，在为减函数，不合题意，舍．
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D
6．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第12题)已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A．
7．(2022新高考全国I卷·第7题)设，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析: 设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又， 所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C．
8．(2014高考数学陕西文科·第7题)下列函数中，满足“”的单调递增函数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由可知指数函数满足此关系，又要求函数单调递增，所以．
考点：(1)2．2．1函数单调性的判断；(2)2．7．1抽象函数的性质及应用．
难度：B
9．(2014高考数学山东文科·第5题)已知实数满足，则下列关系式恒成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】
解析：由知,所以,选
10．(2014高考数学北京文科·第2题)下列函数中，定义域是且为增函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：函数的定义域为，但函数为减函数，不满足条件．
B．函数的定义域为，函数增函数，满足条件．
C．函数的定义域为，函数为增函数，不满足条件．
D．函数的定义域为，在上函数是增函数，在上是减函数，不满足条件．
故选A．
11．(2015高考数学新课标2文科·第12题)设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以．故选A．
12．(2015高考数学湖南文科·第8题)设函数，则是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
【答案】A
解析：
函数，函数的定义域为(-1，1)，函数所以函数是奇函数．
，在(0,1)上 ，所以在(0,1)上单调递增，故选A．
13．(2017年高考数学天津文科·第6题)已知奇函数在上增函数．若，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【基本解法】 因为奇函数在上增函数，所以，又因为，所以，即，故选C．
14．(2016高考数学天津文科·第6题)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由是偶函数得，再由偶函数在对称区间上单调性相反，
得在上单调递减所以由，得，即．
15．(2016高考数学北京文科·第4题)下列函数中，在区间上为减函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由 在上单调递减,故选D．
16．(2023年全国乙卷文科·第5题)已知是偶函数，则( )
AB．C．1D．2
【答案】D
解析：因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得．
故选：D．
17．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第4题)若为偶函数，则( )．
A．B．0C．D．1
【答案】B
解析：因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称．
，
故此时为偶函数．
故选：B．
18．(2021年高考全国甲卷文科·第12题)设是定义域为R奇函数，且．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意可得：，
而，
故．
故选：C．
19．(2021年全国高考乙卷文科·第9题)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
20．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D．
21．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D．
22．(2022高考北京卷·第4题)己知函数，则对任意实数x，有( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析:，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选,C．
23．(2019·上海·文理·第15题)已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一(推荐)：依次代入选项的值，检验的奇偶性，选C；
法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数(偶函数×偶函数=偶函数)，∴ ，当时，，选C.
24．(2019·全国Ⅱ·文·第6题)设为奇函数，且当时，，则当时，( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】是奇函数，．当时，，，得．故选D．
25．(2014高考数学重庆文科·第4题)下列函数为偶函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：利用奇偶性的判断法则：为奇函数；为偶函数即可得到答案为D．
26．(2014高考数学辽宁文科·第10题)已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：当时，即；
当时，即，
综上当时，的t的取值范围为，
又因为为偶函数，由对称性知所以的解集为,
所以求不等式的解集，只需令，
解得，所以不等式的解集为，故选A
27．(2014高考数学课标1文科·第5题)设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
解析：设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C．
28．(2014高考数学湖南文科·第4题)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：根据“偶函数”条件排除C、D，“又在区间上单调递增”，所以又排除B，
29．(2014高考数学广东文科·第5题)下列函数为奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：对于A选项中的函数，其定义域为，，故A选项中的函数为奇函数；对于B选项中的函数，其定义域为，由于函数与函数均为奇函数，则函数为偶函数；对于C选项中的函数，其定义域为，，故函数为偶函数；对于D选项中的函数，，，则，因此函数为非奇非偶函数，故选A．
30．(2014高考数学大纲文科·第12题)奇函数的定义域为R．若为偶函数，且，则＝( )
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
解析: 因为函数是奇函数，所以，又因为是偶函数，所以，所以，而，，同理，所以，故选D．
31．(2015高考数学山东文科·第8题)若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )
A．( QUOTE )B．( QUOTE )C．D．
【答案】C
解析：
由题意，即所以，，由得，故选．
32．(2015高考数学广东文科·第3题)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选D．
33．(2015高考数学福建文科·第3题)下列函数为奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D．
34．(2015高考数学安徽文科·第4题)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：选项A：的定义域为(0,+∞)，故不具备奇偶性，故A错误；
选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；
选项C：是奇函数，故C错；
选项D：是偶函数，
且，，故D项正确．
35．(2017年高考数学北京文科·第5题)已知函数,则( )
A．是偶函数,且在上是增函数B．是奇函数,且在上是增函数
C．是偶函数,且在上是减函数D．是奇函数,且在上是减函数
【答案】 B
【解析】解法一:的定义域为,为奇函数．在上为减函数,在上为增函数．又在上为增函数,在上为增函数．
解法二:令且,则
,又
在上为增函数,在上为奇函数在上为增函数．
36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第7题)下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：关于对称，则，故选B．
另解：因为过点，点关于直线对称的点必在所求函数的图像上，只有B选项满足．故选B．
37．(2015高考数学新课标1文科·第12题)设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为()，由已知知()在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．
38．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第12题)已知函数有唯一零点，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：
设，
当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C．
解法二：由条件，，得：
所以，即为的对称轴
由题意，有唯一零点，∴的零点只能为即
解得．
39．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第9题)已知函数,则( )
A．在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
【答案】 C
【解析】(法一)函数的定义域为,,
设, 为增函数,当时,为增函数,
为增函数,当时,为减函数,为减函数．排除A,B,
因为是二次函数,图像关于直线对称,故,
所以,的图像关于直线对称,故选 C;
(法二),当时,,为增函数．
当时,,为减函数,故排除A,B． 故选 C;
40．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知,故选B．
41．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第10题)设函数,则( )
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
42．(2019·全国Ⅲ·文·第11题)设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，
，，
在上单调递减，，故选：C．
全国卷设置
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知，，，则下列判断正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析:，即,故选C．
2．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第8题)设，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，所以，
所以有，
故选：B．
3．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第12题)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第10题)设，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以．
故选：A．
5．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第7题)已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以，故选：D
6．(2022年浙江省高考数学试题·第7题)已知，则( )
A．25B．5C．D．
【答案】C
解析:因为，，即，所以．
故选,C．
7．(2021高考天津·第5题)设，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，， ，，
，， ． 故选：D．
8．(2014高考数学四川文科·第7题)已知，，，，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝acB．C．D．
【答案】B
解析:相除得，又，所以．选B．
9．(2014高考数学辽宁文科·第3题)已知，，则( )
A．B．(C)D．
【答案】C
解析: , , ，
，故选C
10．(2014高考数学安徽文科·第5题)设，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因为，，，所以，故选B．
11．(2015高考数学天津文科·第7题)已知定义在上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：
由 为偶函数得,所以, ,所以,故选B．
12．(2015高考数学陕西文科·第10题)设，若，，，则下列关系式中正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：；；
因为，由是个递增函数，
所以，故答案选
13．(2015高考数学山东文科·第3题)设则的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：
由在区间是单调减函数可知，，又，故选．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第8题)函数的单调递增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】本题由题知的定义域为．
令,则,且递增．
当时,关于递减,关于递减;
当时,关于递增,关于递增;
故的递增区间为．故选D．
15．(2016高考数学浙江文科·第5题)已知，且，若，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：，
当时，，
当时，，
故选D．
16．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第7题)已知则( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A【解析】因为，，又函数在上是增函数，所以，即，故选A．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第8题)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B【解析】对于选项A：，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定; 对于选项B：,而，两边同乘以一个负数改变不等号方向所以选项B正确;对于选项C：利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D：利用在上为减函数易得为错误．所以本题选B．
18．(2015高考数学北京文科·第3题)下列函数中为偶函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B．
题型三： 基本初等函数
1．(2019·北京·文·第3题)下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上单调递增，和在上都是减函数．故选A．
2．(2018年高考数学天津(文)·第5题)已知，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，，，
， ，故．
3．(2021高考天津·第7题)若，则 ( )
A．B．C．1D．
【答案】C
解析：，， ．
故选：C．
4．(2014高考数学天津文科·第4题)设a=，，c=，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题可知，所以，故选C．
5．(2014高考数学浙江文科·第7题)已知函数，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析:由题意知化简得解得所以
，所以，解得．故选C．
题型四： 函数的图像
1．(2014高考数学浙江文科·第8题)在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
【答案】D
解析:根据对数函数性质知，，所以幂函数是增函数，排除A(利用点也可以排除)；选项B从对数函数图象看，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看，与幂函数图象矛盾．故选D．
2．(2023年天津卷·第4题)函数图象如下图所示，则的解析式可能为( )
( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
3．(2021年高考浙江卷·第7题)已知函数，则图象为如图的函数可能是( )
( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析:对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C．
故选D．
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第4题)函数y=xcsx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：，则，
为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误． 故选：A．
5．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第7题)函数在区间的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C．
故选：A．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第8题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是( )
( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D． 故选：A．
7．(2021高考天津·第3题)函数的图像大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D．
故选：B．
8．(2020天津高考·第3题)函数的图象大致为( )
AB．( )
C．D．
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误．故选：A．
9．(2020北京高考·第6题)已知函数，则不等式的解集是( )．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或．
所以不等式的解集为：．故选：D．
10．(2019·浙江·文理·第6题)在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
【答案】D
【解析】当时，函数的图象恒过点，且在上单调递增；的图象恒过点，在上单调递减，故选项D满足条件．当时，函数的图象恒过，在上单调递减；的图象恒过点，在上单调递增，各选项均不符合．
11．(2019·全国Ⅰ·文·第5题)函数的图象在，的大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，
∴为奇函数，排除A.
又，排除C，
，排除B，故选D.
12．(2018年高考数学浙江卷·第5题)函数的图像可能是( )
【答案】B
解析：设，则，所以该函数是一个奇函数，其图像关于原点对称，排除A，B，又，排除C，故选D．
13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第9题)函数的图像大致为( )
【答案】D
解析：易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减．故选D．
14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第3题)函数的图像大致为( )
【答案】B
解析：函数，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当时，，排除D．当时，，排除C，故选B．
15．(2014高考数学山东文科·第6题)已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是
( )
A．B．
C．D．
【答案】
解析：由图可知， 函数的图象是由函数的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选．
16．(2014高考数学江西文科·第9题)在同意直角坐标系中,函数的图像不可能的是( )
【答案】 B
分析:当时,两函数图像为D所示,当时,由得:或,的对称轴为．当时,由知B不对． 当时,由知A,C正确．
17．(2015高考数学浙江文科·第5题)函数(且)的图象可能为( )
【答案】D
解析：
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D．
18．(2015高考数学新课标2文科·第11题)．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为( )
( )
【答案】B
分析：由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，，，所以 ,可知时图像不是线段,可排除A,故选B．
19．(2014高考数学福建文科·第8题)若函数,且的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
【答案】B
解析：由对数函数的图象知,此函数图象过点,故有,解得．
对于A,由于是一个减函数,与函数图象不对应,A错．
对于B,由于幂函数是个一增函数,且是奇函数,图象过原点且关于原点对称,图象与函数
的性质对应,所以B对．
对于C,由于,所以是一个减函数,与函数图象不对应,C错．
对于D,由于和的图象关于轴对称,所给的图象不满足这一特征,D错．
20．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第3题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】
【解析】由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:
月接待游客量逐月有增有减,故A错误;
年接待游客量逐年增加,故B正确;
各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故正确;
故选:
21．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第8题)函数的部分图像大致为( )
【答案】 C
【解析】由题意知,函数为奇函数,故排除B;当时,,排除D;当时,,排除A．故选C．
22．(2016高考数学浙江文科·第3题)函数的图象是( )
( )
ABCD
【答案】D
解析：因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D．
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第9题)函数在[–2,2]的图像大致为( )
y
x
y
2
O
-2
1
C
x
2
O
-2
1
B
y
x
2
O
-2
1
A
x
2
O
-2
1
D
y
【答案】D【解析】函数在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D
题型五： 函数与方程
全国卷设置
1．(2019·天津·文·第8题)已知函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】分别作出和的图象，考虑直线经过点和时，有两个交点，直线与在相切，求得的值，结合图象可得所求范围．
【解析】作出函数的图象，以及直线的图象
关于的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在相切，可得，由，解得舍去)，
综上可得的范围是，．故选D．
法二：因为关于的方程恰有两个互异的实数解，
即方程恰有两个互异的实数解；则；
①当时，令，则；
当，此时为增函数；
②当时，，在(1,2)单调递减，在(2，+∞)上单调递增；
则 时，取得最小值为，根据图像可得，当时，有有两个互异的实数解；当时，有有两个互异的实数解；故选D.
2．(2020天津高考·第9题)已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，令，即与的图象有个不同交点．
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得(负值舍去)，所以．
综上，的取值范围为．故选：D．
3．(2019·浙江·文理·第9题)设，，函数若函数恰有个零点，则( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】解法一：设．
当时，，此时最多一个零点；
当时，，，
若，即，，在，上递增，此时最多一个零点．不合题意；
若，即时，又知在上函数递增，在上函数递减．此时函数最多有2个零点；
要使恰有3个零点，则函数必满足在上有1个零点，
在，上有2个零点．
如图，可知且，解得，，，
即，．故选C．
解法二：当时，，最多一个零点．(取决于与0的大小),所以关键研究当时，方程的解的个数，即,利用奇穿偶回画右边的三次函数的图象，分类讨论如下．
= 1 \* GB3 ①当，即时，处为偶重零点反弹，为奇重零点穿过，又在单调递增，故与最多只能有一个交点，不符合题意．
= 2 \* GB3 ②当，即时，处为3重零点穿过，也不符合题意．
= 3 \* GB3 ③当，即时，处为偶重零点反弹，为奇重零点穿过，若，则与可以有两个交点，且同时需，故，．故选C．
4．(2019·全国Ⅲ·文·第23题)函数在的零点个数( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】函数在，的零点个数，
即：在区间，的根个数，
即，令左右为新函数和，和，
作图求两函数在区间，的图象可知：
和，在区间，的图象的交点个数为3个．故选：B．
5．(2014高考数学重庆文科·第10题)已知函数且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A．
解析:函数的图像如图所示．
在内有且仅有两个不同的零点，可看成函数与直线的交点，又知道该直线过定点．要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间．计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是．
6．(2014高考数学湖北文科·第9题)已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x．
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－eq \r(7)．故选D．
7．(2014高考数学北京文科·第6题)已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：方法一：∵，∴，，
满足，∴在区间内必有零点，故选：C
方法二：在同一坐标系中作出函数与 的大致图像，如图所示，可得的零点所在的区间为．
8．(2015高考数学天津文科·第8题)已知函数,函数,则函数的零点的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
解析：当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2．故选A．
题型六： 函数模型及其应用
1．(2022高考北京卷·第7题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是( )
( )
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
解析:当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误．
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误．
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误．
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确．
故选,D
2．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第4题)Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ( )(ln19≈3)
A60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得．
故选：C．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0．69)( )
A．1．2天B．1．8天
C．2．5天D．3．5天
【答案】B
解析：因，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天． 故选：B．
4．(2019·北京·文·第7题)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设太阳的星等是，天狼星的星等是，由题意可得：，所以，则，故选A．
5．(2016高考数学四川文科·第7题)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是( )
(参考数据：，，)
(A)年(B)年(C)年(D)年
【答案】B
解析：设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得
，故选B．
6．(2017年高考数学北京文科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】法一:因为,因此选项D符合题意．
法二:设 ,两边取对数,,所以,即最接近,故选D．
7．(2017年高考数学北京文科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】法一:因为,因此选项D符合题意．
法二:设 ,两边取对数,,所以,即最接近,故选D．
8．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第4题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是( )
( )
A．各月的平均最低气温都在以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于的月份有5个
【答案】D
【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确．故选D．
9．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．
故选：D．
10．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第4题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者( )
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名．
故选：B
11．(2014高考数学北京文科·第8题)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率
与加工时间(单位：分钟)满足的函数关系(、、是常数)，下图
记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
0.8
0.7
0.5
p
O
5
4
3
t
【答案】B
解析：将，，(5,0．5)分别代入，可得，
解得，，，
∴，对称轴为．
故选：B．
12．(2015高考数学四川文科·第8题)某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数)．若该食品在的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是( )
(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)28小时
【答案】C
解析：由题意：得
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)
题型七：函数的综合问题
1．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)已知函数满足，若函数与图象的交点为，则( )
(A)0(B)(C)(D)
【答案】B【解析1】由得的图象关于直线对称，又的图象也关于直线对称．所以它们交点也关于直线对称，所以对于每一组对称点都有，因此，．故选B．
【解析2】由得的图象关于直线对称，取一个关于直线对称的函数，可知两个图象有3个交点，于是，故选B．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R，且，则( )
A．B．C．0D．1
【答案】A
解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以． 故选：A．
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第12题)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A．B．0C．2D．50
【答案】C
解析：是奇函数，且，故关于对称，，又，且，，则，则，故选C．
4．(2016高考数学上海文科·第18题)设、、是定义域为的三个函数，对于命题：= 1 \* GB3①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；= 2 \* GB3②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是( )
A．= 1 \* GB3①和= 2 \* GB3②均为真命题B．= 1 \* GB3①和= 2 \* GB3②均为假命题
D．= 1 \* GB3①为真命题，= 2 \* GB3②为假命题C．= 1 \* GB3①为假命题，= 2 \* GB3②为真命题
【答案】D
【解析】因为必为周期为的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定．选D．
5．(2016高考数学山东文科·第9题)已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则( )
A．B．C．0D．2
【答案】D
解析：当时，，所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D．
6．(2021年高考全国甲卷文科·第6题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为( )()
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
【答案】C
解析：由，当时，，
则．
故选：C．
7．(2014高考数学山东文科·第9题)对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】
解析：由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数．在中，函数的图．象关于对称，故选．
8．(2015高考数学湖北文科·第7题)设，定义符号函数则( )
A．B．C．D．
【答案】D．
解析：对于选项，右边，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然正确；故应选．
9．(2017年高考数学山东文科·第10题)若函数(e=2．71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是
A．B．C．D．
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