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十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题20三角函数及解三角形解答题（文科）（Word版附解析）
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这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题20三角函数及解三角形解答题（文科）（Word版附解析），共62页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc143155678" 题型一： 三角恒等变换 PAGEREF _Tc143155678 \h 1
\l "_Tc143155679" 题型二： 三角函数与向量综合 PAGEREF _Tc143155679 \h 9
\l "_Tc143155681" 题型三： 三角函数的图像与性质 PAGEREF _Tc143155681 \h 11
\l "_Tc143155682" 题型四： 正余弦定理的应用 PAGEREF _Tc143155682 \h 25
\l "_Tc143155685" 题型五： 与三角形周长、面积有关问题 PAGEREF _Tc143155685 \h 38
\l "_Tc143155688" 题型六： 三角函数的建模应用 PAGEREF _Tc143155688 \h 51
\l "_Tc143155689" 题型七：结构不良型试题 PAGEREF _Tc143155689 \h 56
题型一： 三角恒等变换
一、解答题
1．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第18题)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
(1)若a=c，b=2，求的面积；
(2)若sinA+sinC=，求C．
【答案】(1)；(2)．
解析】(1)由余弦定理可得，
的面积；
(2)，
，
，
．
2．(2020天津高考·第16题)在中，角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得
，又因为，所以；
(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；
(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以．
3．(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)在边上取一点，使得，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由余弦定理得，所以．
由正弦定理得．
(2)由于，，所以．
由于，所以，所以
所以
．
由于，所以．
所以．
4．(2019·天津·文·第16题)在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)在三角形中，由正弦定理，得，
又由，得，即．
又因为，得，，由余弦定理可得．
(2)由(1)得，从而，
，
故．
5．(2014高考数学重庆文科·第18题)(本小题满分12分)在中，内角所对的边分别为，且．
(1)若，求的值;
(2)若，且的面积，求和的值．
【答案】解析：(Ⅰ)由题意可知：，
由余弦定理得：．
(Ⅱ)由可得：
，
化简得．
因为，所以．
由正弦定理可知：．又因，故．
由于，所以，从而，解得．
6．(2014高考数学大纲文科·第18题)△的内角的对边分别为．已知，，求．
【答案】
解析: 由题设和正弦定理得：，故，
因为，所以，，
所以
即．
7．(2015高考数学四川文科·第19题)已知为的内角，是关于的方程的两个实根．
(Ⅰ)求的大小；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】解析：(1)．
(2)由得．
由(1)，有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以，
则，
于是．
连结AC，同理可得，
于是．
所以
8．(2015高考数学山东文科·第17题)(本小题满分12分)中，角所对的边分别为．已知 ，求 和 的值．
【答案】
解析：在中，由，得．
因为，所以，
因为，所以，为锐角，，
因此．
由可得，又，所以．
9．(2017年高考数学天津文科·第15题)在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
(I)求的值；
(II)求的值．
【答案】(I)解：由，及，得，由，及余弦定理，得．
(II)解：由(I)，可得，代入，得．由(I)知，为钝角，所以．所以,，故
．
【基本解法】(I)， 由正弦定理得
又
由余弦定理得
(II)
由正弦定理得
又
【第(II)问另解】
由正弦定理得
10．(2016高考数学浙江文科·第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)证明：A=2B；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)
解析：(1)由正弦定理得，
故，
于是，，
又，故，所以或，
因此，(舍去)或，
所以，．
(2)由，得，
故，
．
11．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．
(1)求的值； (2)求的值．
【答案】解析：(1)因为，，所以．
因为，，
因此．
(2)因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此，．
因为，所以，
因此，．
12．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值;
(2)若角满足，求 值．
【答案】(1) ；(2)或．
【解析】(1)由角终边过点得所以．
(2)由角终边过点得，
由得．
由得
当时，；
当时，
所以或．
13．(2014高考数学江苏·第15题)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)； (2)
解析：(1)因为α∈，sinα＝，所以csα＝．
故sin＝sincsα＋cssinα＝．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcsα＝，
cs2α＝1－2sin2α＝1－，
所以cs＝．
14．(2015高考数学广东文科·第16题)(本小题满分12分)已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】解析：(1)
(2)
题型二： 三角函数与向量综合
一、解答题
1．(2014高考数学辽宁文科·第17题)在中，内角，，的对边分别为，，，且，已知，
，． 求：
(Ⅰ)和的值；
(Ⅱ)的值
【答案】解析：(Ⅰ)
由余弦定理，，得，
整理得
由
(Ⅱ)
由正弦定理，
2．(2015高考数学陕西文科·第17题)的内角所对的边分别为，向量与平行．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若求的面积．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)因为，所以
由正弦定理，得，又，从而，由于
所以
(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得
，而，，得，即
因为，所以，故面积为．
解法二：由正弦定理，得从而
又由知，所以 故
，所以面积为．
3．(2017年高考数学山东文科·第17题)在中,角的对边分别为,已知,,,求和．
【答案】
【解析】因为所以即(1)．
由得,所以(2)．
由得,解得．
又因为,所以解得．
由余弦定理得
．
4．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量
(1)若,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3;时,取得最小值,为．
解析:解:(1)因为,,,
所以．
若,则,与矛盾,故．
于是．又,所以．
(2)．
因为,所以,
从而．
于是,当,即时,取到最大值3;
当,即时,取到最小值．
题型三： 三角函数的图像与性质
一、解答题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(I)求角B；
(II)求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】(I)；(II)
解析：(I)由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故．
(II)结合(1)的结论有：
．
由可得：，，
则，．
即的取值范围是
2．(2017年高考数学上海(文理科)·第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数,．
(1)求的单调递增区间;
(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．
【答案】【解析】(1),,单调递增区间为;
(2),∴或,
根据锐角三角形,,∴,．
3．(2019·浙江·文理·第18题)设函数，．
(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；
(Ⅱ)求函数的值域．
【答案】【解析】(Ⅰ)解法一：因为是偶函数，所以，对任意实数都有，
即，故，所以，又，
因此，或．
解法二：根据诱导公式，，，因为是偶函数，，
所以
(Ⅱ)
．因此，函数的值域是．
4．(2018年高考数学上海·第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设常数，函数．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若，求方程在区间上的解．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)显然定义域为．
由题意得，即．
化简得：，对于任意成立，则．
(2)由条件得，解得．
所以，化简得．
因为，所以．
所以，，，．解得，，，．
另解：或．
解得或．因为，所以对赋值．
当时，，；当时，，．
5．(2018年高考数学北京(文)·第16题)已知函数．
(I)求的最小正周期；
(II)若在区间上的最大值为，求的最小值．
【答案】(I)；(II)．
解析：(Ⅰ)，
所以的最小正周期为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知．
因为，所以．
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．
所以，即．
所以的最小值为．
6．(2014高考数学四川文科·第17题)已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)若是第二象限角，，求的值．
【答案】(1)；(2),．
解析：(1)因为函数的单调递增区间为，
由,得
所以函数f(x)的单调递增区间为．
(2)由已知，得
所以＝，
即．
当时，由在第二象限内，得
此时，＝．
当时，．
由是第二象限角，得，此时．
综上所述，＝或．
7．(2014高考数学湖北文科·第18题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系：
．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
【答案】(1)这一天上午8时的温度为10℃；(2)这一天最大温差为4℃．
解析：(1)f(8)＝10－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×8))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×8))＝10－eq \r(3)cseq \f(2π,3)－sineq \f(2π,3)＝10－eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－eq \f(\r(3),2)＝10．
故实验室上午8时的温度为10℃．
(2)因为f(t)＝10－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
又0≤t<24，
所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)当t＝2时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；
当t＝14时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1．
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8．
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．
8．(2014高考数学福建文科·第18题)(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解析：(Ⅰ)
(Ⅱ)因为,
所以,由,得,
所以的单调递增区间为
9．(2014高考数学北京文科·第16题)(本小题满分13分)函数的部分图象如图所示．
(1)写出的最小正周期及图中、的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)，，；(2)，．
解：(I)的最小正周期为，，．
(II)因为，所以，于是
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
10．(2015高考数学重庆文科·第18题)已知函数，．
(Ⅰ)求的最小周期和最小值；
(Ⅱ)将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像．当时，求的值域．
【答案】(Ⅰ)的最小正周期为，最小值为，(Ⅱ)．
解析： (1)
,
因此的最小正周期为，最小值为．
(2)由条件可知：．
当时，有，
从而的值域为，
那么的值域为．
故在区间上的值域是．
11．(2015高考数学湖北文科·第18题)(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心．
【答案】解析：(Ⅰ)根据表中已知数据可得：，，，解得． 数据补全如下表：
且函数表达式为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，因此 ．因为的对称中心为，． 令，解得，．即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为．
12．(2015高考数学福建文科·第21题)(本题满分12分)已知函数．
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移()个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．
(ⅰ)求函数的解析式；
(ⅱ)证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(ⅰ)；(ⅱ)详见解析．
解析：(Ⅰ)因为
．
所以函数的最小正周期．
(Ⅱ)(Ⅰ)将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移()个单位长度后得到的图象．
又已知函数的最大值为，所以，解得．
所以．
(Ⅱ)要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．
由知，存在，使得．
由正弦函数的性质可知，当时，均有．
因为的周期为，
所以当()时，均有．
因为对任意的整数，，
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
13．(2015高考数学北京文科·第15题)(本小题满分13分)已知函数．
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最小值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)∵，
∴的最小正周期为．
(Ⅱ)∵，∴．
当，即时，取得最小值．
∴在区间上的最小值为．
14．(2015高考数学安徽文科·第16题)已知函数
(Ⅰ)求最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)最大值为，最小值为0
解析：
(Ⅰ)因为
所以函数的最小正周期为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果，
当 时，
由正弦函数在上的图象知，
当，即时，取最大值；
当，即时，取最小值．
综上，在上的最大值为，最小值为．
15．(2017年高考数学浙江文理科·第18题)已知函数．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】 (1)2;(2)
【解析】(1)
所以
(2)设的最小正周期为,则;
的单调减区间为,
所以由,得,
得
所以的单调递增区间为
16．(2017年高考数学北京文科·第16题)已知函数．
(1)的最小正周期; (2)求证:当时,．
【答案】(1);(2)详见解析．
【解析】解法一:
．
(2)当时,,令,则,
因为在单调递增,单调递减,,
故．
解法二:
(1)展开同解法一
,．
(2)当时,,令,则,
因为在单调递增,单调递减,,故．
17．(2016高考数学山东文科·第17题)(本小题满分12分)设．
( = 1 \* ROMAN I)求得单调递增区间；
( = 2 \* ROMAN II)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．
【答案】解析：()由
由得
所以，的单调递增区间是，
或
(Ⅱ)由()知
把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到
的图像，
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
即
所以
18．(2016高考数学北京文科·第16题)已知函数的最小正周期为．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求 的单调递增区间．
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)()．
解析：(Ⅰ)因为
，
所以的最小正周期．
依题意，，解得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知．
函数的单调递增区间为()．
由，
得．
所以的单调递增区间为()．
19．(2014高考数学江西文科·第16题)已知函数为奇函数,且,其中．
(1)求的值;
(2)若,求的值．
【答案】(1),(2)
解析:(1)因为函数为奇函数,所以即,因为
所以又
所以因为,所以(2)由(1)得:
所以由,得又,
所以因此
20．(2014高考数学广东文科·第16题)已知函数
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)，(2)
解析：(1)∵，且，
∴，
∴
(2)∵，且，
∴
，
∴，且，
∴，
∴．
21．(2021年高考浙江卷·第18题)设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最大值．
【答案】(1)；(2)．
解析:(1)由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
(2)由题意，
，
由可得，所以当即时，函数取最大值．
22．(2014高考数学江苏·第26题)已知函数＝()，记为的导数，n∈N*．
(1)求的值；
(2)证明：对任意n∈N*，等式都成立．
【答案】解析： (1)解：由已知，
故，
所以，即＋．
(2)证明一(官方解法)：由已知得：，等式两边分别对求导：，
即，类似可得：
，
，
．
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立．
(ⅰ)当时，由上可知等式成立；
(ⅱ)假设当时等式成立，即．
因为，
，
所以．
因此当时，等式成立．
综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式对所有的都成立．
令，可得．
所以．
解法二：令
所以，
又
故
所以，即，命题得证．
题型四： 正余弦定理的应用
一、解答题
1．(2023年全国甲卷文科·第17题)记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1) (2)
解析：【小问1详解】
因为，所以，解得：．
【小问2详解】
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
2．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1) (2) (3)
解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；
(2)由余弦定理可得，，即，
解得：或(舍去)．
(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1) (2)6
解析：(1)，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
．
(2)由(1)知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】(1)因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
(2)因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
5．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)； (2)．
解析：(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而， 所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第17题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)； (2)证明见解析
解析：【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】解析：
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证．
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，．
8．(2019·江苏·文理·第15题)在中，角的对边分别为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理，得，即.
所以.
(2)因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
9．(2019·北京·文·第15题)在中，，，．
(Ⅰ)求，的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】(1)由余弦定理，得
因为，所以，解得，所以
(2)在中，，，所以
由正弦定理有：，所以
在中，
所以．
10．(2018年高考数学天津(文)·第16题)(本小题满分13分)在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，求和的值．
【答案】(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．
(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故b=．
由，可得．因为，故．因此，
所以，
11．(2014高考数学天津文科·第16题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
(I)求的值；
(II)求的值．
【答案】解析：(I)在△ABC中，由，及，可得．
又由，有a=2c．所以．
(II)在△ABC中，由，可得，
于是，，，
所以．
12．(2014高考数学陕西文科·第18题)的内角所对的边分别为．
(1)若成等差数列，证明：；
(2)若成等比数列，且，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
解析：(1)因为成等差数列，所以，由正弦定理得
因为，所以；
(2)由成等比数列有，又，，
由余弦定理有．
13．(2014高考数学湖南文科·第19题)如图，在平面四边形中，， ．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1) (2)
解析：(1)设，在中，
由余弦定理得，,
即
舍去．
在三角形CDE中，由正弦定理得，
于是即
(2)由题设知，，于是由(1)知，
而
所以
=
在中，,故
14．(2014高考数学安徽文科·第16题)(本小题满分12分)
设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值．
【答案】解析：由三角形面积公式，得，故．
因为． 所以．
①当时，由余弦定理得，
所以．
②当时，由余弦定理得
，
所以．
15．(2015高考数学新课标2文科·第17题)(本小题满分12分)中,是上的点, 平分, ．
( = 1 \* ROMAN I)求；
( = 2 \* ROMAN II)若,求．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以．
(Ⅱ)因为
所以 由( = 1 \* ROMAN I)知,
所以
16．(2015高考数学天津文科·第16题)(本小题满分13分)△ABC中, 内角所对的边分别为,已知△ABC的面积为,
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求 的值．
【答案】(Ⅰ)a=8,;(Ⅱ)．
解析:(Ⅰ)△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8．由 ,得．
(Ⅱ),
17．(2015高考数学湖南文科·第17题)(本小题满分12分)设的内角的对边分别为．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，且为钝角，求．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，所以。
(Ⅱ)因为
有(Ⅰ)知，因此，又Ｂ为钝角，所以，
故，由知，从而，
综上所述，
18．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
解析：(1)由余弦定理知，，
所以．
(2)由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
19．(2016高考数学天津文科·第15题)(本小题满分13分)在中，内角所对应的边分别为，已知．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】(1)；(2)．
解析：(Ⅰ)在中，由，可得
又由，得
所以，得
(Ⅱ)由，得则
．
20．(2016高考数学四川文科·第18题)在中，角所对的边分别是，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】【官方解答】(1)根据正弦定理，可设
则代入中，有
，，可变形得:
即，在△ABC中，由，有
所以：
(2)由已知，，根据余弦定理，有．
又，
所以sin A=．
由(1)，，
故
【民间解析】(1)由正弦定理知
(2)
由余弦定理，所以
由(1)．
21．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)．
【官方解答】(1)因为， ，所以
由正弦定理知，所以．
(2)在中，，所以，
于是，
又，，故．
因为，所以．
因此，．
民间解答：(1)，为三角形的内角
，即：；
(2)，
又为三角形的内角
．
题型五： 与三角形周长、面积有关问题
一、解答题
1．(2023年全国甲卷文科·第17题)记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1) (2)
解析：【小问1详解】
因为，所以，解得：．
【小问2详解】
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
2．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1) (2) (3)
解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；
(2)由余弦定理可得，，即，
解得：或(舍去)．
(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1) (2)6
解析：(1)，，即，
又，
，
，
，
即，所以，
．
(2)由(1)知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】(1)因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
(2)因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
5．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)； (2)．
解析：(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而， 所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第17题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)； (2)证明见解析
解析：【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】解析：
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证．
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，．
8．(2019·江苏·文理·第15题)在中，角的对边分别为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理，得，即.
所以.
(2)因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
9．(2019·北京·文·第15题)在中，，，．
(Ⅰ)求，的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】(1)由余弦定理，得
因为，所以，解得，所以
(2)在中，，，所以
由正弦定理有：，所以
在中，
所以．
10．(2018年高考数学天津(文)·第16题)(本小题满分13分)在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，求和的值．
【答案】（1） （2）
解析：(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．
(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故b=．
由，可得．因为，故．因此，
所以，
11．(2014高考数学天津文科·第16题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
(I)求的值；
(II)求的值．
【答案】（1) (2)
解析：(I)在△ABC中，由，及，可得．
又由，有a=2c．所以．
(II)在△ABC中，由，可得，
于是，，，
所以．
12．(2014高考数学陕西文科·第18题)的内角所对的边分别为．
(1)若成等差数列，证明：；
(2)若成等比数列，且，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
解析：(1)因为成等差数列，所以，由正弦定理得
因为，所以；
(2)由成等比数列有，又，，
由余弦定理有．
13．(2014高考数学湖南文科·第19题)如图，在平面四边形中，， ．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1) (2)
解析：(1)设，在中，
由余弦定理得，,
即
舍去．
在三角形CDE中，由正弦定理得，
于是即
(2)由题设知，，于是由(1)知，
而
所以
=
在中，,故
14．(2014高考数学安徽文科·第16题)(本小题满分12分)
设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值．
【答案】见解析
解析：由三角形面积公式，得，故．
因为． 所以．
①当时，由余弦定理得，
所以．
②当时，由余弦定理得
，
所以．
15．(2015高考数学新课标2文科·第17题)(本小题满分12分)中,是上的点, 平分, ．
( = 1 \* ROMAN I)求；
( = 2 \* ROMAN II)若,求．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以．
(Ⅱ)因为
所以 由( = 1 \* ROMAN I)知,
所以
16．(2015高考数学天津文科·第16题)(本小题满分13分)△ABC中, 内角所对的边分别为,已知△ABC的面积为,
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求 的值．
【答案】(Ⅰ)a=8,;(Ⅱ)．
解析:(Ⅰ)△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8．由 ,得．
(Ⅱ),
17．(2015高考数学湖南文科·第17题)(本小题满分12分)设的内角的对边分别为．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，且为钝角，求．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，所以。
(Ⅱ)因为
有(Ⅰ)知，因此，又Ｂ为钝角，所以，
故，由知，从而，
综上所述，
18．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
解析：(1)由余弦定理知，，
所以．
(2)由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
19．(2016高考数学天津文科·第15题)(本小题满分13分)在中，内角所对应的边分别为，已知．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】(1)；(2)．
解析：(Ⅰ)在中，由，可得
又由，得
所以，得
(Ⅱ)由，得则
．
20．(2016高考数学四川文科·第18题)在中，角所对的边分别是，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】(1)见解析（2）4
【官方解答】(1)根据正弦定理，可设
则代入中，有
，，可变形得:
即，在△ABC中，由，有
所以：
(2)由已知，，根据余弦定理，有．
又，
所以sin A=．
由(1)，，
故
【民间解析】(1)由正弦定理知
(2)
由余弦定理，所以
由(1)．
21．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为， ，所以
由正弦定理知，所以．
(2)在中，，所以，
于是，
又，，故．
因为，所以．
因此，．
民间解答：(1)，为三角形的内角
，即：；
(2)，
又为三角形的内角
．
题型六： 三角函数的建模应用
一、解答题
1．(2019·上海·文理·第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.
(1)求弧BC长度；
(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)
【答案】(1)km；(2)35.752km
【解析】(1)依题意：，弧BC所在圆的半径
弧BC长度为：
km
(2)根据正弦定理：，求得：，
∴
km∴ D到海岸线最短距离为35.752km.
2．(2014高考数学上海文科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米． 设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．
(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？
(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．
【答案】(1)见解析(2)26．93米解析：
(1)记．根据已知得，
，，所以，……4分
解得．因此，的长之多约为28．28米．……6分
(2)在△中，由已知，，，
由正弦定理得，解得．……10分
在△中，由余弦定理得，
解得．所以，CD的长约为26．93米．……14分
3．(2019·江苏·文理·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；
(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．
【答案】见解析
【解析】解法一：(1)过作，垂足为.
由已知条件得，四边形为矩形，.'
因为，
所以.
所以.
因此道路的长为15(百米).
(2)①若在处，由(1)可得在圆上，则线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.
②若在处，连结，由(1)知，
从而，所以为锐角.
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.
因此，选在处也不满足规划要求.
综上，和均不能选在处.
(3)先讨论点的位置.
当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；
当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.
设为上一点，且，由(1)知，=15，
此时；
当时，在中，.
由上可知，.
再讨论点的位置.
由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.
综上，当PB⊥AB，点位于点右侧，且时，d最小，此时两点间的距离.
因此，最小时，两点间的距离为(百米).
解法二：(1)如图，过作，垂足为.
以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为，，所以，直线l的方程为，点的纵坐标分别为3，−3.
因为为圆的直径，，所以圆的方程为.
从而，，直线的斜率为
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.
所以，.
因此道路的长为15(百米).
(2)①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求.
②若在处，连结，由(1)知，又，
所以线段：.
在线段上取点，因为，
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.
因此选在处也不满足规划要求.
综上，和均不能选在处.
(3)先讨论点的位置.
当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；
当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.
设为上一点，且，由(1)知，，此时；
当时，在中，.
由上可知，.
再讨论点的位置.
由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，设，由，得，所以，此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.
综上，当，时，最小，此时两点间的距离
.
因此，最小时，两点间的距离为(百米).
4．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】解析：(1)连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40csθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40csθ(40sinθ+10)=800(4sinθcsθ+csθ)，
△CDP的面积为．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则，．
当时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以的取值范围是．
答：矩形ABCD的面积为800(4sinθcsθ+csθ)平方米，△CDP的面积为1600(csθ–sinθcsθ)，
sinθ的取值范围是．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，
则年总产值为
4k×800(4sinθcsθ+csθ)+3k×1600(csθ–sinθcsθ)=8000k(sinθcsθ+csθ)，．
设f(θ)= sinθcsθ+csθ，．
则＝＝．
令，得．
当时，，所以为增函数；
当时，，所以为减函数；
因此，当时，取到最大值．
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七：结构不良型试题
一、解答题
1．(2020北京高考·第17题)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
(Ⅰ)的值：
(Ⅱ)和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【解析】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得：
(Ⅱ)
2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析．
解析：解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾．
4．(2021高考北京·第16题)在中，，．
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；
条件③：的面积为；
【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．
解析：(1)，则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由(1)可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由(1)可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
．
5．(2023年北京卷·第17题)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)．
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，．
解析：(1)因为
所以，
因为，所以．
(2)因为，
所以，所以的最大值为，最小值为．
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以．
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即．
以下与条件②相同．
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目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc143155678" 题型一： 三角恒等变换 PAGEREF _Tc143155678 \h 1
\l "_Tc143155679" 题型二： 三角函数与向量综合 PAGEREF _Tc143155679 \h 9
\l "_Tc143155681" 题型三： 三角函数的图像与性质 PAGEREF _Tc143155681 \h 11
\l "_Tc143155682" 题型四： 正余弦定理的应用 PAGEREF _Tc143155682 \h 25
\l "_Tc143155685" 题型五： 与三角形周长、面积有关问题 PAGEREF _Tc143155685 \h 38
\l "_Tc143155688" 题型六： 三角函数的建模应用 PAGEREF _Tc143155688 \h 51
\l "_Tc143155689" 题型七：结构不良型试题 PAGEREF _Tc143155689 \h 56
题型一： 三角恒等变换
一、解答题
1．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第18题)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
(1)若a=c，b=2，求的面积；
(2)若sinA+sinC=，求C．
【答案】(1)；(2)．
解析】(1)由余弦定理可得，
的面积；
(2)，
，
，
．
2．(2020天津高考·第16题)在中，角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得
，又因为，所以；
(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；
(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以．
3．(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)在边上取一点，使得，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由余弦定理得，所以．
由正弦定理得．
(2)由于，，所以．
由于，所以，所以
所以
．
由于，所以．
所以．
4．(2019·天津·文·第16题)在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)在三角形中，由正弦定理，得，
又由，得，即．
又因为，得，，由余弦定理可得．
(2)由(1)得，从而，
，
故．
5．(2014高考数学重庆文科·第18题)(本小题满分12分)在中，内角所对的边分别为，且．
(1)若，求的值;
(2)若，且的面积，求和的值．
【答案】解析：(Ⅰ)由题意可知：，
由余弦定理得：．
(Ⅱ)由可得：
，
化简得．
因为，所以．
由正弦定理可知：．又因，故．
由于，所以，从而，解得．
6．(2014高考数学大纲文科·第18题)△的内角的对边分别为．已知，，求．
【答案】
解析: 由题设和正弦定理得：，故，
因为，所以，，
所以
即．
7．(2015高考数学四川文科·第19题)已知为的内角，是关于的方程的两个实根．
(Ⅰ)求的大小；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】解析：(1)．
(2)由得．
由(1)，有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以，
则，
于是．
连结AC，同理可得，
于是．
所以
8．(2015高考数学山东文科·第17题)(本小题满分12分)中，角所对的边分别为．已知 ，求 和 的值．
【答案】
解析：在中，由，得．
因为，所以，
因为，所以，为锐角，，
因此．
由可得，又，所以．
9．(2017年高考数学天津文科·第15题)在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
(I)求的值；
(II)求的值．
【答案】(I)解：由，及，得，由，及余弦定理，得．
(II)解：由(I)，可得，代入，得．由(I)知，为钝角，所以．所以,，故
．
【基本解法】(I)， 由正弦定理得
又
由余弦定理得
(II)
由正弦定理得
又
【第(II)问另解】
由正弦定理得
10．(2016高考数学浙江文科·第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)证明：A=2B；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)
解析：(1)由正弦定理得，
故，
于是，，
又，故，所以或，
因此，(舍去)或，
所以，．
(2)由，得，
故，
．
11．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．
(1)求的值； (2)求的值．
【答案】解析：(1)因为，，所以．
因为，，
因此．
(2)因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此，．
因为，所以，
因此，．
12．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值;
(2)若角满足，求 值．
【答案】(1) ；(2)或．
【解析】(1)由角终边过点得所以．
(2)由角终边过点得，
由得．
由得
当时，；
当时，
所以或．
13．(2014高考数学江苏·第15题)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)； (2)
解析：(1)因为α∈，sinα＝，所以csα＝．
故sin＝sincsα＋cssinα＝．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcsα＝，
cs2α＝1－2sin2α＝1－，
所以cs＝．
14．(2015高考数学广东文科·第16题)(本小题满分12分)已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】解析：(1)
(2)
题型二： 三角函数与向量综合
一、解答题
1．(2014高考数学辽宁文科·第17题)在中，内角，，的对边分别为，，，且，已知，
，． 求：
(Ⅰ)和的值；
(Ⅱ)的值
【答案】解析：(Ⅰ)
由余弦定理，，得，
整理得
由
(Ⅱ)
由正弦定理，
2．(2015高考数学陕西文科·第17题)的内角所对的边分别为，向量与平行．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若求的面积．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)因为，所以
由正弦定理，得，又，从而，由于
所以
(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得
，而，，得，即
因为，所以，故面积为．
解法二：由正弦定理，得从而
又由知，所以 故
，所以面积为．
3．(2017年高考数学山东文科·第17题)在中,角的对边分别为,已知,,,求和．
【答案】
【解析】因为所以即(1)．
由得,所以(2)．
由得,解得．
又因为,所以解得．
由余弦定理得
．
4．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量
(1)若,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3;时,取得最小值,为．
解析:解:(1)因为,,,
所以．
若,则,与矛盾,故．
于是．又,所以．
(2)．
因为,所以,
从而．
于是,当,即时,取到最大值3;
当,即时,取到最小值．
题型三： 三角函数的图像与性质
一、解答题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(I)求角B；
(II)求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】(I)；(II)
解析：(I)由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故．
(II)结合(1)的结论有：
．
由可得：，，
则，．
即的取值范围是
2．(2017年高考数学上海(文理科)·第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数,．
(1)求的单调递增区间;
(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．
【答案】【解析】(1),,单调递增区间为;
(2),∴或,
根据锐角三角形,,∴,．
3．(2019·浙江·文理·第18题)设函数，．
(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；
(Ⅱ)求函数的值域．
【答案】【解析】(Ⅰ)解法一：因为是偶函数，所以，对任意实数都有，
即，故，所以，又，
因此，或．
解法二：根据诱导公式，，，因为是偶函数，，
所以
(Ⅱ)
．因此，函数的值域是．
4．(2018年高考数学上海·第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设常数，函数．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若，求方程在区间上的解．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)显然定义域为．
由题意得，即．
化简得：，对于任意成立，则．
(2)由条件得，解得．
所以，化简得．
因为，所以．
所以，，，．解得，，，．
另解：或．
解得或．因为，所以对赋值．
当时，，；当时，，．
5．(2018年高考数学北京(文)·第16题)已知函数．
(I)求的最小正周期；
(II)若在区间上的最大值为，求的最小值．
【答案】(I)；(II)．
解析：(Ⅰ)，
所以的最小正周期为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知．
因为，所以．
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．
所以，即．
所以的最小值为．
6．(2014高考数学四川文科·第17题)已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)若是第二象限角，，求的值．
【答案】(1)；(2),．
解析：(1)因为函数的单调递增区间为，
由,得
所以函数f(x)的单调递增区间为．
(2)由已知，得
所以＝，
即．
当时，由在第二象限内，得
此时，＝．
当时，．
由是第二象限角，得，此时．
综上所述，＝或．
7．(2014高考数学湖北文科·第18题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系：
．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
【答案】(1)这一天上午8时的温度为10℃；(2)这一天最大温差为4℃．
解析：(1)f(8)＝10－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×8))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×8))＝10－eq \r(3)cseq \f(2π,3)－sineq \f(2π,3)＝10－eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－eq \f(\r(3),2)＝10．
故实验室上午8时的温度为10℃．
(2)因为f(t)＝10－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
又0≤t<24，
所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)
当t＝14时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1．
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8．
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．
8．(2014高考数学福建文科·第18题)(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解析：(Ⅰ)
(Ⅱ)因为,
所以,由,得,
所以的单调递增区间为
9．(2014高考数学北京文科·第16题)(本小题满分13分)函数的部分图象如图所示．
(1)写出的最小正周期及图中、的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)，，；(2)，．
解：(I)的最小正周期为，，．
(II)因为，所以，于是
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
10．(2015高考数学重庆文科·第18题)已知函数，．
(Ⅰ)求的最小周期和最小值；
(Ⅱ)将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像．当时，求的值域．
【答案】(Ⅰ)的最小正周期为，最小值为，(Ⅱ)．
解析： (1)
,
因此的最小正周期为，最小值为．
(2)由条件可知：．
当时，有，
从而的值域为，
那么的值域为．
故在区间上的值域是．
11．(2015高考数学湖北文科·第18题)(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心．
【答案】解析：(Ⅰ)根据表中已知数据可得：，，，解得． 数据补全如下表：
且函数表达式为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，因此 ．因为的对称中心为，． 令，解得，．即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为．
12．(2015高考数学福建文科·第21题)(本题满分12分)已知函数．
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移()个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．
(ⅰ)求函数的解析式；
(ⅱ)证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(ⅰ)；(ⅱ)详见解析．
解析：(Ⅰ)因为
．
所以函数的最小正周期．
(Ⅱ)(Ⅰ)将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移()个单位长度后得到的图象．
又已知函数的最大值为，所以，解得．
所以．
(Ⅱ)要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．
由知，存在，使得．
由正弦函数的性质可知，当时，均有．
因为的周期为，
所以当()时，均有．
因为对任意的整数，，
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
13．(2015高考数学北京文科·第15题)(本小题满分13分)已知函数．
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最小值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)∵，
∴的最小正周期为．
(Ⅱ)∵，∴．
当，即时，取得最小值．
∴在区间上的最小值为．
14．(2015高考数学安徽文科·第16题)已知函数
(Ⅰ)求最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)最大值为，最小值为0
解析：
(Ⅰ)因为
所以函数的最小正周期为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果，
当 时，
由正弦函数在上的图象知，
当，即时，取最大值；
当，即时，取最小值．
综上，在上的最大值为，最小值为．
15．(2017年高考数学浙江文理科·第18题)已知函数．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】 (1)2;(2)
【解析】(1)
所以
(2)设的最小正周期为,则;
的单调减区间为,
所以由,得,
得
所以的单调递增区间为
16．(2017年高考数学北京文科·第16题)已知函数．
(1)的最小正周期; (2)求证:当时,．
【答案】(1);(2)详见解析．
【解析】解法一:
．
(2)当时,,令,则,
因为在单调递增,单调递减,,
故．
解法二:
(1)展开同解法一
,．
(2)当时,,令,则,
因为在单调递增,单调递减,,故．
17．(2016高考数学山东文科·第17题)(本小题满分12分)设．
( = 1 \* ROMAN I)求得单调递增区间；
( = 2 \* ROMAN II)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．
【答案】解析：()由
由得
所以，的单调递增区间是，
或
(Ⅱ)由()知
把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到
的图像，
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
即
所以
18．(2016高考数学北京文科·第16题)已知函数的最小正周期为．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求 的单调递增区间．
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)()．
解析：(Ⅰ)因为
，
所以的最小正周期．
依题意，，解得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知．
函数的单调递增区间为()．
由，
得．
所以的单调递增区间为()．
19．(2014高考数学江西文科·第16题)已知函数为奇函数,且,其中．
(1)求的值;
(2)若,求的值．
【答案】(1),(2)
解析:(1)因为函数为奇函数,所以即,因为
所以又
所以因为,所以(2)由(1)得:
所以由,得又,
所以因此
20．(2014高考数学广东文科·第16题)已知函数
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)，(2)
解析：(1)∵，且，
∴，
∴
(2)∵，且，
∴
，
∴，且，
∴，
∴．
21．(2021年高考浙江卷·第18题)设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最大值．
【答案】(1)；(2)．
解析:(1)由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
(2)由题意，
，
由可得，所以当即时，函数取最大值．
22．(2014高考数学江苏·第26题)已知函数＝()，记为的导数，n∈N*．
(1)求的值；
(2)证明：对任意n∈N*，等式都成立．
【答案】解析： (1)解：由已知，
故，
所以，即＋．
(2)证明一(官方解法)：由已知得：，等式两边分别对求导：，
即，类似可得：
，
，
．
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立．
(ⅰ)当时，由上可知等式成立；
(ⅱ)假设当时等式成立，即．
因为，
，
所以．
因此当时，等式成立．
综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式对所有的都成立．
令，可得．
所以．
解法二：令
所以，
又
故
所以，即，命题得证．
题型四： 正余弦定理的应用
一、解答题
1．(2023年全国甲卷文科·第17题)记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1) (2)
解析：【小问1详解】
因为，所以，解得：．
【小问2详解】
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
2．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1) (2) (3)
解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；
(2)由余弦定理可得，，即，
解得：或(舍去)．
(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1) (2)6
解析：(1)，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
．
(2)由(1)知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】(1)因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
(2)因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
5．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)； (2)．
解析：(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而， 所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第17题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)； (2)证明见解析
解析：【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】解析：
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证．
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，．
8．(2019·江苏·文理·第15题)在中，角的对边分别为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理，得，即.
所以.
(2)因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
9．(2019·北京·文·第15题)在中，，，．
(Ⅰ)求，的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】(1)由余弦定理，得
因为，所以，解得，所以
(2)在中，，，所以
由正弦定理有：，所以
在中，
所以．
10．(2018年高考数学天津(文)·第16题)(本小题满分13分)在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，求和的值．
【答案】(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．
(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故b=．
由，可得．因为，故．因此，
所以，
11．(2014高考数学天津文科·第16题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
(I)求的值；
(II)求的值．
【答案】解析：(I)在△ABC中，由，及，可得．
又由，有a=2c．所以．
(II)在△ABC中，由，可得，
于是，，，
所以．
12．(2014高考数学陕西文科·第18题)的内角所对的边分别为．
(1)若成等差数列，证明：；
(2)若成等比数列，且，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
解析：(1)因为成等差数列，所以，由正弦定理得
因为，所以；
(2)由成等比数列有，又，，
由余弦定理有．
13．(2014高考数学湖南文科·第19题)如图，在平面四边形中，， ．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1) (2)
解析：(1)设，在中，
由余弦定理得，,
即
舍去．
在三角形CDE中，由正弦定理得，
于是即
(2)由题设知，，于是由(1)知，
而
所以
=
在中，,故
14．(2014高考数学安徽文科·第16题)(本小题满分12分)
设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值．
【答案】解析：由三角形面积公式，得，故．
因为． 所以．
①当时，由余弦定理得，
所以．
②当时，由余弦定理得
，
所以．
15．(2015高考数学新课标2文科·第17题)(本小题满分12分)中,是上的点, 平分, ．
( = 1 \* ROMAN I)求；
( = 2 \* ROMAN II)若,求．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以．
(Ⅱ)因为
所以 由( = 1 \* ROMAN I)知,
所以
16．(2015高考数学天津文科·第16题)(本小题满分13分)△ABC中, 内角所对的边分别为,已知△ABC的面积为,
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求 的值．
【答案】(Ⅰ)a=8,;(Ⅱ)．
解析:(Ⅰ)△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8．由 ,得．
(Ⅱ),
17．(2015高考数学湖南文科·第17题)(本小题满分12分)设的内角的对边分别为．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，且为钝角，求．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，所以。
(Ⅱ)因为
有(Ⅰ)知，因此，又Ｂ为钝角，所以，
故，由知，从而，
综上所述，
18．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
解析：(1)由余弦定理知，，
所以．
(2)由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
19．(2016高考数学天津文科·第15题)(本小题满分13分)在中，内角所对应的边分别为，已知．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】(1)；(2)．
解析：(Ⅰ)在中，由，可得
又由，得
所以，得
(Ⅱ)由，得则
．
20．(2016高考数学四川文科·第18题)在中，角所对的边分别是，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】【官方解答】(1)根据正弦定理，可设
则代入中，有
，，可变形得:
即，在△ABC中，由，有
所以：
(2)由已知，，根据余弦定理，有．
又，
所以sin A=．
由(1)，，
故
【民间解析】(1)由正弦定理知
(2)
由余弦定理，所以
由(1)．
21．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)．
【官方解答】(1)因为， ，所以
由正弦定理知，所以．
(2)在中，，所以，
于是，
又，，故．
因为，所以．
因此，．
民间解答：(1)，为三角形的内角
，即：；
(2)，
又为三角形的内角
．
题型五： 与三角形周长、面积有关问题
一、解答题
1．(2023年全国甲卷文科·第17题)记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1) (2)
解析：【小问1详解】
因为，所以，解得：．
【小问2详解】
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
2．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1) (2) (3)
解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；
(2)由余弦定理可得，，即，
解得：或(舍去)．
(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1) (2)6
解析：(1)，，即，
又，
，
，
，
即，所以，
．
(2)由(1)知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】(1)因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
(2)因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
5．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)； (2)．
解析：(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而， 所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第17题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)； (2)证明见解析
解析：【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】解析：
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证．
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，．
8．(2019·江苏·文理·第15题)在中，角的对边分别为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理，得，即.
所以.
(2)因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
9．(2019·北京·文·第15题)在中，，，．
(Ⅰ)求，的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】(1)由余弦定理，得
因为，所以，解得，所以
(2)在中，，，所以
由正弦定理有：，所以
在中，
所以．
10．(2018年高考数学天津(文)·第16题)(本小题满分13分)在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，求和的值．
【答案】（1） （2）
解析：(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．
(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故b=．
由，可得．因为，故．因此，
所以，
11．(2014高考数学天津文科·第16题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
(I)求的值；
(II)求的值．
【答案】（1) (2)
解析：(I)在△ABC中，由，及，可得．
又由，有a=2c．所以．
(II)在△ABC中，由，可得，
于是，，，
所以．
12．(2014高考数学陕西文科·第18题)的内角所对的边分别为．
(1)若成等差数列，证明：；
(2)若成等比数列，且，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
解析：(1)因为成等差数列，所以，由正弦定理得
因为，所以；
(2)由成等比数列有，又，，
由余弦定理有．
13．(2014高考数学湖南文科·第19题)如图，在平面四边形中，， ．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1) (2)
解析：(1)设，在中，
由余弦定理得，,
即
舍去．
在三角形CDE中，由正弦定理得，
于是即
(2)由题设知，，于是由(1)知，
而
所以
=
在中，,故
14．(2014高考数学安徽文科·第16题)(本小题满分12分)
设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值．
【答案】见解析
解析：由三角形面积公式，得，故．
因为． 所以．
①当时，由余弦定理得，
所以．
②当时，由余弦定理得
，
所以．
15．(2015高考数学新课标2文科·第17题)(本小题满分12分)中,是上的点, 平分, ．
( = 1 \* ROMAN I)求；
( = 2 \* ROMAN II)若,求．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以．
(Ⅱ)因为
所以 由( = 1 \* ROMAN I)知,
所以
16．(2015高考数学天津文科·第16题)(本小题满分13分)△ABC中, 内角所对的边分别为,已知△ABC的面积为,
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求 的值．
【答案】(Ⅰ)a=8,;(Ⅱ)．
解析:(Ⅰ)△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8．由 ,得．
(Ⅱ),
17．(2015高考数学湖南文科·第17题)(本小题满分12分)设的内角的对边分别为．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，且为钝角，求．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，所以。
(Ⅱ)因为
有(Ⅰ)知，因此，又Ｂ为钝角，所以，
故，由知，从而，
综上所述，
18．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
解析：(1)由余弦定理知，，
所以．
(2)由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
19．(2016高考数学天津文科·第15题)(本小题满分13分)在中，内角所对应的边分别为，已知．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值．
【答案】(1)；(2)．
解析：(Ⅰ)在中，由，可得
又由，得
所以，得
(Ⅱ)由，得则
．
20．(2016高考数学四川文科·第18题)在中，角所对的边分别是，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】(1)见解析（2）4
【官方解答】(1)根据正弦定理，可设
则代入中，有
，，可变形得:
即，在△ABC中，由，有
所以：
(2)由已知，，根据余弦定理，有．
又，
所以sin A=．
由(1)，，
故
【民间解析】(1)由正弦定理知
(2)
由余弦定理，所以
由(1)．
21．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为， ，所以
由正弦定理知，所以．
(2)在中，，所以，
于是，
又，，故．
因为，所以．
因此，．
民间解答：(1)，为三角形的内角
，即：；
(2)，
又为三角形的内角
．
题型六： 三角函数的建模应用
一、解答题
1．(2019·上海·文理·第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.
(1)求弧BC长度；
(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)
【答案】(1)km；(2)35.752km
【解析】(1)依题意：，弧BC所在圆的半径
弧BC长度为：
km
(2)根据正弦定理：，求得：，
∴
km
2．(2014高考数学上海文科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米． 设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．
(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？
(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．
【答案】(1)见解析(2)26．93米解析：
(1)记．根据已知得，
，，所以，……4分
解得．因此，的长之多约为28．28米．……6分
(2)在△中，由已知，，，
由正弦定理得，解得．……10分
在△中，由余弦定理得，
解得．所以，CD的长约为26．93米．……14分
3．(2019·江苏·文理·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；
(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．
【答案】见解析
【解析】解法一：(1)过作，垂足为.
由已知条件得，四边形为矩形，.'
因为，
所以.
所以.
因此道路的长为15(百米).
(2)①若在处，由(1)可得在圆上，则线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.
②若在处，连结，由(1)知，
从而，所以为锐角.
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.
因此，选在处也不满足规划要求.
综上，和均不能选在处.
(3)先讨论点的位置.
当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；
当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.
设为上一点，且，由(1)知，=15，
此时；
当时，在中，.
由上可知，.
再讨论点的位置.
由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.
综上，当PB⊥AB，点位于点右侧，且时，d最小，此时两点间的距离.
因此，最小时，两点间的距离为(百米).
解法二：(1)如图，过作，垂足为.
以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为，，所以，直线l的方程为，点的纵坐标分别为3，−3.
因为为圆的直径，，所以圆的方程为.
从而，，直线的斜率为
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.
所以，.
因此道路的长为15(百米).
(2)①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求.
②若在处，连结，由(1)知，又，
所以线段：.
在线段上取点，因为，
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.
因此选在处也不满足规划要求.
综上，和均不能选在处.
(3)先讨论点的位置.
当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；
当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.
设为上一点，且，由(1)知，，此时；
当时，在中，.
由上可知，.
再讨论点的位置.
由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，设，由，得，所以，此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.
综上，当，时，最小，此时两点间的距离
.
因此，最小时，两点间的距离为(百米).
4．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】解析：(1)连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40csθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40csθ(40sinθ+10)=800(4sinθcsθ+csθ)，
△CDP的面积为．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则，．
当时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以的取值范围是．
答：矩形ABCD的面积为800(4sinθcsθ+csθ)平方米，△CDP的面积为1600(csθ–sinθcsθ)，
sinθ的取值范围是．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，
则年总产值为
4k×800(4sinθcsθ+csθ)+3k×1600(csθ–sinθcsθ)=8000k(sinθcsθ+csθ)，．
设f(θ)= sinθcsθ+csθ，．
则＝＝．
令，得．
当时，，所以为增函数；
当时，，所以为减函数；
因此，当时，取到最大值．
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七：结构不良型试题
一、解答题
1．(2020北京高考·第17题)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
(Ⅰ)的值：
(Ⅱ)和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【解析】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得：
(Ⅱ)
2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析．
解析：解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾．
4．(2021高考北京·第16题)在中，，．
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；
条件③：的面积为；
【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．
解析：(1)，则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由(1)可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由(1)可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
．
5．(2023年北京卷·第17题)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)．
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，．
解析：(1)因为
所以，
因为，所以．
(2)因为，
所以，所以的最大值为，最小值为．
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以．
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即．
以下与条件②相同．
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