十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题19函数解答题（文科）（Word版附解析）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc143154304" 题型一： 函数概念及其性质 PAGEREF _Tc143154304 \h 1
\l "_Tc143154305" 题型二： 函数的零点问题 PAGEREF _Tc143154305 \h 6
\l "_Tc143154306" 题型三： 函数的应用 PAGEREF _Tc143154306 \h 13
题型一： 函数概念及其性质
一、解答题
1．(2020江苏高考·第19题)已知关于的函数与在区间上恒有．
(1)若，求的表达式；
(2)若，求的取值范围；
(3)若
求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明详见解析
【解析】(1)由题设有对任意的恒成立．
令，则，所以．因此即对任意的恒成立，
所以，因此．故．
(2)令，．又．
若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意．当时，，符合题意．
当时， 在上递减，在上递增，则，
即，符合题意．综上所述，．
由
当，即时，在为增函数，
因为，故存在，使，不符合题意．
当，即时，，符合题意．
当，即时，则需，解得．
综上所述，的取值范围是．
(3)因为对任意恒成立，
对任意恒成立，
等价于对任意恒成立．
故对任意恒成立
令，当，，
此时，当，，
但对任意的恒成立．
等价于对任意的恒成立．
的两根为，则，
所以．
令，则．
构造函数，，
所以时，，递减，．
所以，即．
2．(2014高考数学上海文科·第20题)设常数，函数．
(1)若，求函数的反函数；
(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1），或． （2）见解析
解析：(1)因为，所以，……3分
得或，且．
因此，所求反函数为，或．……6分
(2)当时，，定义域为R，故函数是偶函数；……8分
当时，，定义域为，
，
故函数是奇函数；……11分
当且时，定义域关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．……14分
3．(2015高考数学上海文科·第20题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，其中为常数．
(1)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，判断函数在上的单调性，并说明理由．
【答案】(1)当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数． (2)增函数．
解析：(1)由题意可知，关于原点对称．
①为偶函数对任意恒成立，显然，∴不可能为偶函数；
②为奇函数对任意恒成立，
显然有时，对任意恒成立，∴当时，为奇函数；
综上可知，当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数．
(2)在上为增函数，理由如下：
任取，
则，
由和，
∴，又，
∴，
故在上为增函数．
4．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
设定义在上的函数满足:对于任意的、,当时,都有．
(1)若,求的取值范围;
(2)若为周期函数,证明:是常值函数;
(3)设恒大于零,是定义在上、恒大于零的周期函数,是的最大值．函数．证明:“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】(1)记,若,,
则,∵,,∴;
(2)若是周期函数,记其周期为,任取,则有,
又由题意,对任意,,
∴,
又∵,,并且
所以对任意,为常数,证毕．
(3)充分性:
若为常值函数,记,设的一个周期为,
则,则对任意,,
故是周期函数成立．
必要性:
若是周期函数,记其一个周期为．
首先证明符号不变．
(i)设集合,若存在使得,则,且对任意均有,因为,∴,
∴对任意,,恒成立,所以是常数函数．
(ii)若存在,使得,且,则由题可知,,
那么必然存在正整数使得,,∴,且,又,而,矛盾．
综上,恒成立或恒成立或恒成立．
其次证明是常数函数．
(i)若恒成立．
任取,则必存在,使得,即,
∵∴
,
,
因为,,
因此若,必有,
且,
而由第(2)问证明可知对任意,为常数．
(ii)若恒成立．
任取,则必存在,使得,即,
∵∴
,
,
因为,,
因此若,必有,
且,
而由第(2)问证明可知对任意,为常数．
综上所述,必要性证毕．
5．(2016高考数学上海文科·第23题)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知R，函数．
(1)当时，解不等式>1；
(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；
(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范围．
【答案】(1)．(2)或．(3)．
【解析】(1)由，得，解得．
(2)有且仅有一解，
等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．
当时，，符合题意；
当时，，．
综上，或．
(3)当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，
即，对任意成立，因为
所以函数在区间上单调递增
所以时，有最小值，由，得，故的取值范围为．
题型二： 函数的零点问题
一、解答题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数在上有唯一零点；
(Ⅱ)记x0为函数在上的零点，证明：
(ⅰ)；
(ⅱ)．
【答案】(I)证明见解析，(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析．
解析：(I)在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
(II)(i)，
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，．
(ii)，
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此．
2．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第20题)已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)
解析：【小问1详解】
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
【小问2详解】
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由(1)得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由(1)得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为．
3．(2019·上海·文理·第18题)已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，有零点，求的范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当时，；
代入原不等式：；即：
移项通分：，得：；
依题意：在上有解
参编分离：，即求在值域，
在单调递增，；
，故：.
4．(2015高考数学浙江文科·第20题)(本题满分15分)设函数．
(1)当时，求函数在上的最小值的表达式；
(2)已知函数在上存在零点，，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)当时，，故其对称轴为．
当时，．
当时，．
当时，．
综上，
(2)设为方程的解，且，则．
由于，因此．
当时，，
由于和，
所以．
当时，，
由于和，所以．
综上可知，的取值范围是．
5．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数．
(1)设，．
① 求方程的根；
② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
(2)若，，函数有且只有1个零点，求的值．
【答案】(1)①；②；(2)；
【解析】(1)因为，所以．
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得．
② 由条件知．
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立．
而，且，
所以，故实数的最大值为4．
(2)因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点．
因为，又由，，知，
所以有唯一解．
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数．
于是当时，；当时，．
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数．
下证．
若，则，于是．
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为．
因为，所以．又，所以，与“0是函数的唯一零点”矛盾．
因此，．
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾．
因此，．
于是，故，所以．
民间解答：(1)① ，由可得，
则，即，则，；
② 由题意得恒成立，
令，则由可得，
此时恒成立，即恒成立，
∵时，当且仅当时等号成立，
因此实数的最大值为．
(2)，
由，可得，令，则递增，
而，因此时，
因此时，，，则；
时，，，则；
则在递减，递增，因此最小值为，
① 若，时，，，则；
lgb2时，，，则；
因此且时，，因此在有零点，
且时，，因此在有零点，
则至少有两个零点，与条件矛盾；
② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，
可得，
由，因此
因此，即，即，
因此，则．
题型三： 函数的应用
一、解答题
1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上)．经测量，左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为米．
(1)求桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中在上(不包括端点)．桥墩每米造价(万元)、桥墩每米造价(万元)()．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?
【答案】(1)米(2)米
【解析】(1)由题意得
米
(2)设总造价为万元，，设，
(0舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩与的总造价最低．
2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：
，
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【答案】(1)；(2)，在时单调递减，在时单调递增．实际意义为：当中的成员自驾时，该地上班族的人均通勤时间达到最小值36．875分钟．
解析：(1)由题意得且．
化简得，即．所以或．
综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2)①若，则．
②若，则．
所以．
当时，递减；
当时，的对称轴为，所以递减，递增．
综上所述，递减，递增．
即：当中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当中的成员自驾时，该地上班族的人均通勤时间达到最小值36．875分钟．
实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．
3．(2015高考数学上海文科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，三地有直道相通，千米，千米，千米． 现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为(单位：千米)，甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达地后在原地等待． 设时，乙到达地；时，乙到达地．
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是千米，当时，
求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，；最大值没有超过3．
解析：(1)，此时，设甲所在位置为，则，如图所示
∴；
(2)在上的最大值不超过，理由如下：
设甲、乙所在位置分别为、． 易知，．
如图所示：，，
当即时，
，
即，
而函数的对称轴，且，
∴当时有，
∴所以在上的最大值没有超过3．