山西省运城市2023-2024学年高三上学期1月期末调研测试数学试题

这是一份山西省运城市2023-2024学年高三上学期1月期末调研测试数学试题，共12页。试卷主要包含了答题时使用0，设，，则，，的大小关系为，已知双曲线，关于下列命题中，说法正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
2024.1
本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数，则等于（ ）
A.1B.C.2D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知是奇函数，则（ ）
A.B.C.2D.1
4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地，，分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A.150种B.300种C.720种D.1008种
5.设，，则，，的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，为的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.3
7.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ）
A.B.C.D.0
8.已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A.若事件、相互独立，则
B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78
C.已知，，则
D.已知，若，则
10.已知函数，则（ ）
A.的一个周期为2B.的定义域是
C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增
11.如图，正方体的棱长为2，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的最小值为
B.的最小值为
C.三棱锥的体积为
D.以点为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
12.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，与其准线交于点，为的中点，且，点是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与轴交于点，抛物线在，两点处的切线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.抛物线焦点的坐标为
B.过点作抛物线的切线，则切点坐标为
C.在中，若，，则的最大值为
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若，则__________.
14.在的展开式中，的系数为__________.
15.过原点的动直线与圆交于不同的两点，.记线段的中点为，则当直线绕原点转动时，动点的轨迹长度为__________.
16.设，是函数的两个极值点，若，则的范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且__________，求的面积.
①是的平分线；②为线段的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
18.（本小题12分）已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
19.（本小题12分）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，为圆的直径.
（1）在弧上是否存在点（，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
20.（本小题12分）某学校进行趣味投篮比赛，设置了，两种投篮方案.方案：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案投中的概率都为，选择方案投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.
（1）若甲选择方案投篮，乙选择方案投篮，记他们的得分之和为，，求的分布列；
（2）若甲、乙两位员工都选择方案或都选择方案投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？
21.（本小题12分）已知椭圆：的焦距为，左、右顶点分别为，，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且，求的值.
22.（本小题12分）已知函数，函数的图象在处的切线方程为.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）若，且在上的最小值为，证明：当时，.
高三期末数学答案
一、DBCAD CCB
二、9.AC 10.ACD 11.ABD 12.CD
三、7
四、解答题：
17.（12分）
（1）由正弦定理知，，
，
代入上式得，
，，，
，.
（2）若选①：由平分得：，
，即.
在中，由余弦定理得，
，
联立，得，解得，
若选②：得，，得，
在中，由余弦定理得，
，
联立得，
18.解：（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，，
，，成等差数列，，即
化简整理得：，解得或，
，数列单调递增，，
首项，
，.
（2）由（1）知，可得，则数列的前20项和为：
.
19.（1）存在，当为圆柱的母线时，.
证明如下：
连接，，，因为为圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以.
因为为圆的直径，所以.
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）以为原点，，分别为，轴，垂直于，轴的直线为轴建立空间直角坐标系.如图所示，
则，，，
因为劣弧的长为，所以，，
则，.
设平面的法向量，
则，
令，解得，，所以.
因为轴垂直平面，所以平面的一个法向量.
所以，
又二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
20.解：（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，于是得，解得，
的所有可能值为0，2，3，5，
，，，，
所以的分布列为：
（3）设甲、乙都选择方案投篮，投中次数为，都选择方案投篮，投中次数为，则，，
则两人都选择方案投篮得分和的均值为，都选择方案投篮得分和的均值为，
则，，
若，即，解得
若，即，解得；
若，即，解得.
所以当时，甲、乙两位同学都选择方案投篮，得分之和的均值较大；
当时，甲、乙两位同学都选择方案或都选择方案投篮，得分之和的均值相等；
当时，甲、乙两位同学都选择方案投篮，得分之和的均值较大.
21、解：（1）由题意得，解得，
又，，故，即，
又，解得，，
故椭圆方程为；
（2）直线的方程为，，与联立得：
，
设，则，解得，
因为点在第一象限，所以，解得，
直线方程为，与联立得，故，
中，令得，故，
因为，所以，
整理得，
即，化简得，
解得或，其中不满足，舍去，满足要求，故.
22.（1）由题意得，的定义域为，.
显然当时，恒成立，无零点.
当时，取.
则，即单调递增，
又，，
所以导函数存在唯一零点，
故当时，存在唯一零点，当时，无零点.
（2）由（1）知，当时，单调递增，所以，所以，
因为，函数的图像在点处的切线方程为.
所以，所以，
又，所以，所以，
根据题意，要证，即证，只需证，
令，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增.
又，，所以有唯一零点.
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增；
所以，
又因为，所以，
所以，故.
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