江苏省南京民办求真中学2023-2024学年九年级上学期期初测试数学试卷

这是一份江苏省南京民办求真中学2023-2024学年九年级上学期期初测试数学试卷，共17页。试卷主要包含了下列说法，关于x的方程，化简等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年南京求真中学初三上期初试卷
一．选择题（共6小题，18分）
1．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用配方法将方程2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果正确的是（　　）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣＝0
C．2（x﹣1）2﹣＝0 D．（x﹣1）2﹣5＝0
4．如图，在⊙O中，若＝2，则AB与2CD的大小关系为（　　）

A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
5．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
二．填空题（共10小题，30分）
7．化简：（a﹣b）＝　 　．
8．若一个一元二次方程的两个根分别是1、﹣2，请写出一个符合题意的一元二次方程　 　．
9．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　 　度．
10．若关于x的方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
11．若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是 　 　．
12．一个点到圆上的点的最小距离为6cm，最大距离为10cm，则圆的半径为 　 　cm．
13．已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝　 　．
14．如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝　 　．

15．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么_______先到达B地

16．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是直角三角形．
三．解答题（共5小题，52分）
17．解方程：
（1）x(x-4)=2(4-x)
（2）x2+3x＝4；
（3）3x2+5x+1＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？

19．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．

20．某景区在2021年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次．预计在2023年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，该景区一家冰淇淋店希望在“五一”小长假期间获得较好的收益，经测算可知，某种口味的冰淇淋成本价为每碗10元，借鉴以往经验．若每碗卖15元，平均每天将销售120碗．若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗该种口味的冰淇淋售价不得超过20元，当每碗售价定为多少元时．店家售卖该种口味的冰淇淋才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
21．在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，PG与PC的关系为　 　；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，判断PG、PC关系，并证明：
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一条直线上，连接DF．P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC＝∠BEF＝60°．求的值．

2023-2024学年南京求真中学初三上期初试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，18分）
1．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
正确的只有1个，
故选：A．
3．用配方法将方程2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果正确的是（　　）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣＝0
C．2（x﹣1）2﹣＝0 D．（x﹣1）2﹣5＝0
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣3＝0，
∴2x2﹣4x＝3，
则x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：B．
4．如图，在⊙O中，若＝2，则AB与2CD的大小关系为（　　）

A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
【解答】解：如图，取的中点E，连接AE，BE，

在⊙O中，＝2，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴AB＜2CD．
故选：B．
5．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝＝3，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP≤5，
则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共5个．
故选：C．

6．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【解答】解：设方程两根设为a，b，
方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，
则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．
故选：D．
二．填空题（共10小题，30分）
7．化简：（a﹣b）＝　﹣　．
【解答】解：∵有意义，
∴（a﹣b）＜0，
∴（a﹣b）＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
8．若一个一元二次方程的两个根分别是1、﹣2，请写出一个符合题意的一元二次方程　x2﹣x﹣2＝0　．
【解答】解：∵1+（﹣2）＝﹣1，
1•（﹣2）＝﹣2，
∴以1和﹣2为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣2＝0．
故答案为x2﹣x﹣2＝0．
9．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　60　度．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵AB＝OA＝OB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧的度数是60°．
故答案为60．

10．若关于x的方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，则实数k的取值范围是 　k≤1　．
【解答】解：∵关于x的方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，
∴当k≠0时，Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∴k≤1且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为3x+1＝0，满足题意，
故答案为：k≤1．
11．若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是 　y1＝2，y2＝﹣6　．
【解答】解：设t＝y+1，
则原方程可化为at2+bt+c＝0，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴t1＝3，t2＝﹣5，
∴y+1＝3或y+1＝﹣5，
解得y1＝2，y2＝﹣6．
故答案为：y1＝2，y2＝﹣6．
12．一个点到圆上的点的最小距离为6cm，最大距离为10cm，则圆的半径为 　8或2　cm．
【解答】解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离MB＝6cm，最大距离MA＝10cm，
∴直径AB＝6cm+10cm＝16cm，
∴半径r＝8cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离MB＝6cm，最大距离MA＝10cm，
∴直径AB＝10cm﹣6cm＝4cm，
∴半径r＝2cm，
综上所述，圆的半径为8cm或2cm，
故答案为：8或2．
13．已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝　﹣2　．
【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，
当k＝2，方程变为：x2+1＝0，Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；
当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，Δ＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
14．如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝　16°　．

【解答】解：如图，连接CE、DE，

∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，
∴AE＝CE＝DE＝DB，
∴∠A＝∠ACE，∠ECD＝∠CDE，∠DEB＝∠DBE，
∵∠A＝66°，
∴∠AEC＝180°﹣2×66°＝48°，
∵∠ECD＝∠CDE＝2∠DBE，
∴∠AEC＝∠ECD+∠DBE＝3∠DBE，即3∠DBE＝48°，
∴∠DBE＝16°，
即∠θ＝16°，
故答案为：16°．
15．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么_______先到达B地

【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．
则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．
故猫和老鼠行走的路径长相同．
16．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　2或11　时，△ABC是直角三角形．
【解答】解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2，
即AB、AC的长为k+1，k+2，
当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；
当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，解得k＝11；
综上所述，当k＝2或11时，△ABC是直角三角形．
故答案为2或11．
17．解方程：
（1）x(x-4)=2(4-x)
（2）x2+3x＝4；
（3）3x2+5x+1＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
【解答】解：（1）x(x-4)=2(4-x)
所以x1＝4，x2＝2；
（2）x2+3x＝4；
所以x1＝﹣4，x2＝1；
（3）（3）3x2+5x+1＝0；
a＝3，b＝5，c＝1，
Δ＝13＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（4））x（2x﹣4）＝5﹣8x．
所以x1＝1，x2＝．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？

【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；

（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．

19．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　（51﹣3x）　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．

【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
20．某景区在2021年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次．预计在2023年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，该景区一家冰淇淋店希望在“五一”小长假期间获得较好的收益，经测算可知，某种口味的冰淇淋成本价为每碗10元，借鉴以往经验．若每碗卖15元，平均每天将销售120碗．若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗该种口味的冰淇淋售价不得超过20元，当每碗售价定为多少元时．店家售卖该种口味的冰淇淋才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
21．在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，PG与PC的关系为　PG⊥PC，PG＝PC　；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，判断PG、PC关系，并证明：
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一条直线上，连接DF．P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC＝∠BEF＝60°．求的值．
【解答】解：（1）PG⊥PC且PG＝PC；
理由：如图1，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC＝BC，BG＝GF，∠FGB＝∠GCD＝∠DCB＝90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP，
∵在△DHP和△FGP中，
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴DH＝FG，PH＝PG，
∴HC＝GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH＝PG
∴PG⊥PC且PG＝PC．
故答案为：PG⊥PC，PG＝PC；

（2）如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴∠FGB＝∠GCD＝∠DCB＝90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP．，
∵在△DHP和△FGP中
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH＝PG＝HG，
∵∠DCB＝90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP＝HG，
∴PG＝PC；

（3）如图3，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP＝FP，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，
∵在△DHP和△FGP中
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP＝GP，DH＝FG，
∵CD＝CB，FG＝GB，
∴CD﹣DH＝CB﹣FG，
即：CH＝CG，
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG∠HCP＝∠GCP（等腰三角形三线合一）
∴∠CPG＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠GCP＝∠DCB＝60°，
∴Rt△CPG中，＝．