专题04 探究与表达规律（八个考点） 专题讲练-备战2022-2023学年七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）

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1、知识储备
考点1. 数列的规律
考点2. 数表的规律
考点3..算式的规律
考点4. 图形的规律（一次类）
考点5 图形的规律（二次类）
考点6. 图形的规律（指数类）
考点7. 程序框图
考点8. 新定义运算
2、经典基础题
3、优选提升题
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
考点1. 数列的规律
【解题技巧】
= 1 \* GB3 ①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或；
= 2 \* GB3 ②数字规律：数字规律需要视题目而确定；
eq \\ac(○,3)字母规律：通常字母规律是呈指数变换，常表示为：等形式。
例1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依次出现的规律，则第个数是_____________．
【答案】
【分析】所给的数可转化为：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…据此即可得第n个数，从而可求解．
【详解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，
∴第奇数个数为：1-2n；第偶数个数为：1+2n；∴第n个数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．
变式1．（2022·云南红河·八年级期末）一组按规律排列的单项式3a、5a2、7a3、9a4……，依这个规律用含字母n（n为正整数，且n≥1）的式子表示第n个单项式为_______
【答案】
【分析】找出前3项的规律，然后通过后面几项验证，找出规律得到答案．
【详解】解：3a＝（2×1+1）a1，5a2＝（2×2+1）a2，7a3＝（2×3+1）a3，…
第n个单项式是：（2n+1）an．故答案为：（2n+1）an．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是找出前几项的规律，然后验证，最后得到规律．
变式2．（2022·山东烟台·七年级期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．
【详解】解：∵，，，，，……，
∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,指数的规律为2n+1，
∴第n个单项式为，故选：B．
【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
考点2. 数表的规律
【解题技巧】
例1. （2022•绵阳市七年级期中）将正奇数按下表排成5列：
若2021在第m行第n列，则m+n＝（ ）
A．256B．257C．510D．511
【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n．
【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，
其次，奇数可以用2x﹣1表示，当x＝1011时，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．
在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252•••••••3，因此2021应该在第253行，第4列，
即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故选：B．
变式1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）
A．115B．114C．113D．112
【答案】A
【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．
【详解】解：因为（1，1）表示的数是：1，（2，1）表示的数是：1+1=2，（3，1）表示的数是：1+1+2=4，
（4，1）表示的数是：1+1+2+3=7，（5，1）表示的数是：1+1+2+3+4=11，……
所以（a，1）表示的数是：，
所以（15，1）表示的数是：，
所以（15，10）表示的数是：106+10-1=115，故选A．
【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1是本题的关键．
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（ ）
A．9，10B．9，91C．10，91D．10，110
【答案】C
【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c
【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，
故选：C
【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出给定的数之间的关系时解题关键．
考点3..算式的规律
【解题技巧】
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
例1．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式：
；
；
；
；
；
根据以上等式总结规律并计算，则______．
【答案】255
【分析】根据所给出的等式找到规律，再利用式子的规律进行逆用即可求解．
【详解】解：由给出等式可知，，
∴ 故答案为：255．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据题中所给式子探索出式子的规律是解题的关键．
变式1．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知：；；；…，若符合前面式子的规律，则的值是（ ）
A．90B．89C．100D．109
【答案】A
【分析】根据已知中的规律可得，分数的分子与整数相同，分母是整数的平方减1，然后求出a、b，再相加即可．
【详解】解：∵，，，，
∴中，b=9，a=92-1=80，∴a+b+1=80+9+1=90．故选：A．
【点睛】对数字变化规律的考查，比较简单，观察出加数的分子、分母与整数加数的关系是解题的关键．
变式2．（2022·四川凉山·七年级期末）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：
第2个数：
第3个数：
……
第个数：
那么，在第 9个数、第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数中，最大的数是（ ）
A．第 9 个数B．第 10 个数C．第 11 个数D．第 12 个数
【答案】A
【分析】先分别计算出前3个数，由此得到一般性的规律，再分别求出第9个，第10个，第11个，第12个数，比较大小即可．
【详解】解：第1个数：，
第2个数：，
第3个数： ，……
第个数： ，
所以第9个，第10个，第11个，第12个数分别为，，，，
所以较大的数为第9个数，故选：A．
【点睛】本题考查数字类规律题，有理数的混合运算，解题关键是由特殊得一般性的规律．
考点4. 图形的规律（一次类）
【解题技巧】通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
图形的规律（一次类）
例1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个B．6066个C．6072个D．6063个
【答案】A
【分析】根据前4个图形的棋子个数，可以得到规律第n个图形有个棋子，据此求解即可．
【详解】解：第1个图形有个棋子，第2个图形有个棋子，
第3个图形有个棋子，第4个图形有个棋子，
∴可知第n个图形有个棋子，
∴第2022个图形有个棋子，故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
变式1．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（ ）
A．49B．50C．55D．56
【答案】B
【分析】根据每增加一个图形，就增加根小木棒，可得图案需小木棒的根数为，就可以求得图案⑦需小木棒的根数．
【详解】解：图案需根小木棒，图案需根小木棒，图案需根小木棒，
可得图案需小木棒的根数为，图案⑦需小木棒的根数是：，故B正确．故选：B．
【点睛】此题考查了利用图形进行规律归纳的能力，关键是能通过观察、猜想、验证，归纳总结出其中的规律．
变式2．（2022·四川广安·七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（ ）个
A．3031B．3032C．3033D．3034
【答案】B
【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可．
【详解】解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，
第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，
第4个图形中黑色正方形的数量为6，……
当n为奇数时，黑色正方形的个数为，
当n为偶数时，黑色正方形的个数为，
∴第2021个图形中黑色正方形的数量是．故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键．
考点5 图形的规律（二次类）
【解题技巧】通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
例1．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面．观察下列图形，探究并解答问题．
(1)在第5个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块．
(2)在第5个图中，共有瓷砖 块；在第n个图中，共有瓷砖 块．
(3)如果每块黑瓷砖30元，每块白瓷砖40元，当n＝10时，铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖？
【答案】(1)35，(2)63，(3)6240
【分析】（1）通过观察发现规律，在第5个图中，共有白色瓷砖的数量为7×5块，将上面的规律写出来即可；（2）通过观察发现规律，在第5个图中，共有瓷砖的数量为7×9，将上面的规律写出来即可；
（3）求出当n=10时，黑色和白色瓷砖的个数，然后计算总费用即可．
（1）解：根据题意得：在第1个图中，共有白色瓷砖的数量为3=3×1；在第2个图中，共有白色瓷砖的数量为8=4×2；在第3个图中，共有白色瓷砖的数量为15=5×3；在第4个图中，共有白色瓷砖的数量为24=6×4；在第5个图中，共有白色瓷砖的数量为35=7×5；……在第n个图中，共有白色瓷砖的数量为． 故答案为：35，
（2）解：根据题意得：在第1个图中，共有瓷砖的数量为5=3×5；在第2个图中，共有瓷砖的数量为24=4×6；在第3个图中，共有瓷砖的数量为35=5×7；在第4个图中，共有瓷砖的数量为48=6×8；在第5个图中，共有瓷砖的数量为63=7×9；……在第n个图中，共有瓷砖的数量为；故答案为：63，
（3）解：根据题意得：当n＝10时，共有白色瓷砖的数量为10×12=120，共有瓷砖的数量为（10+4）×（10+2）=168，∴共有黑色瓷砖的数量为168-120=48，∴铺设长方形地面共需的费用为答：当n＝10时，铺设长方形地面共需花6240元钱购买瓷砖．
【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，此题有一定拔高难度，属于难题，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律．
变式1．（2022·重庆七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（ ）
A．63B．64C．80D．81
【答案】A
【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．
【详解】解：第①个图形中一共有1+2＝3个小圆圈，
第②个图形中一共有2+3×2＝8个小圆圈，
第③个图形中一共有3+4×3＝15个小圆圈，…，
按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数是7+8×7＝63，故选：A．
【点睛】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．
变式2．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）
【答案】2047276
【分析】根据规律可知结点个数为1+2+3+4+……+n个，为三角形边长数加1，据此即可求解．
【详解】解：将一个正三角形的三条边平分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3==6个结点，
将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4==10个结点，
……
将一个正三角形的三条边等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有个结点，：
将一个正三角形的三条边2022等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有：1+2+3+…+2023==2047276个结点，故答案为：2047276．
【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键．
考点6. 图形的规律（指数类）
【解题技巧】通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
例1.（2022·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…
∴C3﹣C2= ，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…
则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案为：．
【点睛】此题考查图形变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中运算规律，应用规律解决问题．
变式1.（2022·日照九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S1=，第二次：余下面积S2=，第三次：余下面积S3=，
当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为S2021=，故选：C．
【点睛】本题考查剪纸问题，图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
变式2.（2022·常州市七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+•••+20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分，•••，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：．∴原式．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
考点7. 程序框图
例1．（2022·河南信阳·七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是32，则满足条件的x值为（ ）
A．11B．4C．11或4D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意列出等式，进而可以求解．
【详解】解：由题意可得，当输入x时，3x-1=32，解得：x=11，
即输入x=11，输出结果为32；当输入x满足3x-1=11时，解得x=4，
即输入x=4，结果为11，再输入11可得结果为32，故选：C．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据题意列出等式是解决本题的关键．
变式1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此作答即可．
【解答】解：第1次输出的数为： QUOTE 12×24=12 12×24=12；第2次输出的数为： QUOTE 12×12=6 12×12=6；
第3次输出的数为： QUOTE 12×6=3 12×6=3；第4次输出的数为：3+3＝6；第5次输出的数为： QUOTE 12×6=3 12×6=3；…
由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，∴第2021次输出的数为3．故选：B．
变式2．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，则输出的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把x=代入程序中计算，判断结果比0小，以此类推，得到结果大于0，输出即可．
【详解】解：把x=代入运算程序得：（-1）×（-3）-8=3-8=-5<0，
把x=-5代入运算程序得：（-5）×（-3）-8=15-8=7>0，输出的结果y为7．故选B．
【点睛】本题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
考点8. 新定义运算
例1．（2022·九龙坡·九年级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2＋5）．（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【答案】（1）72，见解析；（2）210
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【详解】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4＋4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2＋7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b＋a＝7（a＋b），化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，∴它们的和＝21＋42＋63＋84＝210．
【点睛】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键．
变式1.（2022·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：
1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
（1）请你想想：a*b＝ ；（2）若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2
【答案】（1）3a+b；（2）≠；（3）4a﹣b，14
【分析】（1）根据所给算式归纳即可；（2）根据（1）中总结的规律计算；
（3）先根据（1）中总结的规律化简，再把a＝1代入计算．
【详解】解：（1）根据题意得：a*b＝3a+b．故答案为：3a+b
（2）∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a．∴a*b≠b*a．故答案为：≠．
（3）(a﹣b)*(a+2b)＝3(a﹣b)+a+2b＝4a﹣b．当a＝3，b＝﹣2时，原式=12+2=14．
【点睛】本题考查了新定义，数字类规律探究，以及整式的加减，根据题干中的算式得出规律是解答本题的关键．
变式2．（2022·重庆梁平·七年级期中）阅读材料，解决下列问题
如果一个正整数十位上的数字为，个位上的数字为，则这个数表示为．
有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为“反序数”．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504，根据以上阅读材料，回答下列问题：(1)已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198．你知道为什么吗？请说明理由．
(2)若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数．
【答案】(1)见解析
(2)29，38，47，56，65，74，83，92
【分析】（1）设连续自然数中间的一个数为x，则其他的两个数为x−1，x＋1，表示出原三位数与反序数，进行验证即可；
（2）设两位数十位数字为a，个位数字为b，表示出两位数与反序数，根据题意确定出即可．
(1)
解：设连续自然数中间的一个数为x，则其他的两个数为x−1，x＋1，
根据题意可得：[100（x＋1）＋10x＋x−1]−[100（x−1）＋10x＋x＋1]
＝100x＋100＋11x−1−100x＋100−11x−1
＝198，
∴原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198．
(2)设两位数十位数字为a，个位数字为b，
根据题意得：
10a＋b＋10b＋a＝11（a＋b），
∵该两位数与其反序数之和是一个整数的平方，
∴a＋b＝11，
∴a＝2，b＝9；
a＝3，b＝8；
a＝4，b＝7；
a＝5，b＝6；
a＝7，b＝4；
a＝8，b＝3；
a＝9，b＝2；
则满足条件的数为：29，38，47，56，65，74，83，92．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，绝对值，解决本题的关键是理解阅读材料，找出式子存在的规律．
1.（2022•晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为（ ）
A．1B．5C．25D．625
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：当x＝625时， QUOTE 15 15x＝125，当x＝125时， QUOTE 15 15x＝25，当x＝25时， QUOTE 15 15x＝5，
当x＝5时， QUOTE 15 15x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时， QUOTE 15 15x＝1，…
依此类推，以5，1循环，（2020﹣2）÷2＝1009，能够整除，所以输出的结果是1，故选：A．
2．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（ ）
A．35B．40C．45D．50
【答案】B
【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和．
【详解】第1个“三角形数”：1，第2个“三角形数”：1+2=3，第3个“三角形数”：1+2+3=6，
第4个“三角形数”：1+2+3+3=10，第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15，
第1个“正方形数”：1，第2个“正方形数”：22=4，第3个“正方形数”：32=9，
第4个“正方形数”：42=16，第5个“正方形数”：52=25，∴15+25=40．故选：B．
【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．
3．（2022·河北保定·七年级期末）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有______个五角星（ ）
A．6068B．6067C．6066D．6065
【答案】B
【分析】第一个图形五角星数目：1+3＝1+3×1，第二个图形五角星数目：1+3+3＝1+3×2，第三个图形五角星数目：1+3+3+3＝1+3×3，第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3＝1+3×4，……，得出第n个图形五角星数目：1+3+3+⋯+3＝1+3×n，即可得出第2022个图形中五角星数目．
【详解】解：∵第一个图形五角星数目：1+3＝1+3×1，
第二个图形五角星数目：1+3+3＝1+3×2，
第三个图形五角星数目：1+3+3+3＝1+3×3，
第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3＝1+3×4，
……
第n个图形五角星数目：1+3+3+⋯+3＝1+3×n＝1＋3n，
∴第2022个图形中五角星数目为：1+3×2022＝6067．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形个数的规律，解题关键是根据已知图形的变化规律找到第n个图形个数表达式．
4．（2022·辽宁本溪·七年级期末）如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖的块数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面砖就要增加四个白色地面砖．
【详解】解：∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．
∴第个图案中白色六边形个数为：6＋4（n−1）＝（4n＋2）个，故选：C．
【点睛】本题考查利用平移设计图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．
5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律：
则第n行各数之和是（ ）
A．2n2＋1B．n2-n＋1C．(2n-1)(n2-n＋1)D．(2n＋1)(n2-n＋1)
【答案】C
【分析】根据题意可得每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为，最后一个数为，每行数的个数为，从而得到中间的数为，即可求解．
【详解】解：第1行的和为1；有1个数；
第2行的和为：；有3=（2×2-1）个数；
第3行的和为：，有5=（2×2-1）个数；
第4行的和为：，有7=（4×2-1）个数；
第5行的和为：，有9=（5×2-1）个数；
……，
由此发现，每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为，最后一个数为，每行数的个数为，
∴中间的数为，
∴第n行各数之和是．故选：C
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
6．（2022·山西九年级模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣，图3阴影部分面积＝，
图4阴影部分面积＝，图5阴影部分面积＝．故选：B．
7.（2022·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
8．（2022·山东烟台·期中）如图，第个图形需要的棋子数量是_________．（用含有的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意可得：第1个图形需要的棋子数量是3=；第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3= ；第3个图形需要的棋子数量是10=1+2+3+4=；第4个图形需要的棋子数量是15=1+2+3+4+5=；……；由此发现规律，即可求解．
【详解】解：第1个图形需要的棋子数量是3=；
第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3= ；
第3个图形需要的棋子数量是10=1+2+3+4=；
第4个图形需要的棋子数量是15=1+2+3+4+5=；
……
由此发现，第个图形需要的棋子数量是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
9．（2022·河北石家庄·八年级期中）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
【答案】 64
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，由此得到规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：，
第2个图形中黑色棋子的个数为：，
第3个图形中黑色棋子的个数为：，
∴第5个图形中黑色棋子的个数为：；
∴第n个图形中黑色棋子的个数为：，
故答案为：64；．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
10．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．
【答案】
【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据句各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得：……；
∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；故答案为，．
【点睛】本题主要考查图形规律及有理数的运算，关键在于观察各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下部分的面积．
11．（2022·山东青岛·七年级期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
第三步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
……
依此类推，则_______．
【答案】123
【分析】根据游戏的规则进行运算，求出a1、a2、a3、a4、a5，再分析其规律，从而可求解．
【详解】解：∵a1＝n12+2＝32+2＝11，
∴n2＝1+1＝2，a2＝n22+2＝22+2＝6，
n3＝6，a3＝n32+2＝62+2＝38，
n4＝3+8＝11，a4＝n42+2＝112+2＝123，
n5＝1+2+3＝6，a5＝n52+2＝62+2＝38，
……
∴从第3个数开始，以38，123不断循环出现，
∵（2020﹣2）÷2＝1009，
∴a2020＝a4＝123．
故答案为：123．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的规则得到存在的规律．
12．（2022·河南郑州·七年级期末）观察按下列顺序排列的等式：…，猜想第个等式为________．
【答案】
【分析】根据已知等式，分析等式两边数的变化规律，利用归纳推理得出结论，再代入2021计算即可．
【详解】解：由…，得
第n个等式应为
当n=2021时， 10n+1=20210+1=20211
故答案为：．
【点睛】本题考查数的规律、归纳推理的应用，掌握规律是解题关键．
13．（2022·广东湛江·七年级期末）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第9个图形中有______个圆．
【答案】82
【分析】观察图形，得到规律：每幅图可看作一个由圆圈组成的正方形再加一个圆圈，可利用正方形的面积公式解答．
【详解】解：观察图形可得，第1个图形中，圆的个数为1+1=2（个）；
第2个图形中，圆的个数为+1=5（个）；
第3个图形中，圆的个数为+1=10（个）；
第4个图形中，圆的个数为+1=17（个）；
第个图形中，圆的个数为个；
当n=9时，（个）
故答案为：82．
【点睛】本题考查用代数式表示图形的变化规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
14．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个数字分别为多少？
【答案】(1)16，22
(2)a2-a+1
(3)764，803和804
【分析】（1）观察数据得到每排数的个数等于排数，则先计算出第六排和第七排前面共有的数字，然后得到答案；
（2）先计算出第a排前面共有a（a-1）个数，然后可得答案；
（3）根据“天府三角形”的定义得出n=39，再列方程可得答案．
(1)
解：∵第六排前面共有1+2+3+4+5=15个数，第七排前面共有1+2+3+4+5+6=21个数，
∴第六排从左往右第1个数为16；第七排从左往右第1个数为22；
故答案为：16，22；
(2)
∵第a排前面共有1+2+3+…+（a-1）=a（a-1），
∴第a排的第一个数字为a（a-1）+1=a2-a+1，
故答案为：a2-a+1；
(3)
根据“天府三角形”的定义可得，
第n排和第（n+1）排中总共有n个“天府三角形”，
所以n=39，
设第n排的数是x，第（n+1）排的两个数分别是x+39，x+40，
由题意得，x+（x+39）+（x+40）=2371，
解得x=764，
所以三个数分别是764，803和804．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
15.（2022·浙江丽水·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
(2)按以上规律列出第2015个等式：a2015= = ；
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2016的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）根据所得规律求出第n个等式，从而得到第2015个等式；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
（1）解：由题意得：第5个等式为：，
故答案为：，；
（2）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
∴第n个等式：，
∴第2015个等式：；
（3）
=
=
=
=
=．
【点睛】本题考查数字的规律，能够通过所给式子，找到数字的变化规律，归纳出一般结论是解题的关键．
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
3
5
7
第2行
15
13
11
9
第3行
17
19
21
23
…
…
…
27
25
0
3
2
5
4
7
6
4
13
6
31
8
57