浙江省七彩阳光高考联盟2023-2024学年高二数学上学期开学联考试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前

高二数学学科  试题

考生须知：

1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．已知集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分又不必要条件

3．如图是H城市某路段监测到的上午7：00至8：00通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图，若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（    ）辆

A．10 B．20 C．30 D．40

4．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1，0同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（    ）

A．1 B． C． D．

5．已知，是实数，且满足，则（    ）

A．  B．

C．  D．

6．若对任意实数，规定，则函数的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

8．已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．设、、是三条不同的直线，、、是三个不同平面，则下列命题不正确的有（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

10．某体育老师对甲乙两名队员进行了5次射击测试，统计了甲和乙的射击成绩，甲的成绩分别为环；乙的成绩分别为环，则下列说法正确的是（    ）

A．平均来说甲乙射击技术差不多 B．甲的射击技术比乙更稳定

C．甲成绩的中位数比乙高 D．甲的40百分位数比乙的高

11．设，，则（    ）

A．的值域与的值有关 B．当时，在上单调递增

C．若是它的一条对称轴，则 D．若，则为偶函数

12．函数，（，，是实数且，，），则的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

非选择题部分

三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知复数满足，则复数的虚部为________；

14．若从集合中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2个连续整数的概率等于________；

15．已知实数，且，则的取值范围为________。

16．为的外心，且，则的内角的余弦值为________。

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80  85  90  75  88  92  78  82  85  90。

（I）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少?

（II）这组学生中，得分超过80分的概率是多少?

（III）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）?

18．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态。已知，，与的夹角为。

（I）求的大小；

（II）求在上的投影向量（用表示）。

19．在正三棱台中，已知，。

（I）若三棱台的高，求棱台的体积；

（II）若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积。

20．在中，角，，的对边分别为，，，且，。

（I）求角；

（II）求边上中线长的取值范围。

21．如图，三棱锥中，平面，。

（I）求证：；

（II）若点在棱上，满足，且有，求二面角的正弦值。

22．已知函数，，，且函数有三个零点。

（I）求的取值范围；

（II）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。

高二数学学科参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．B

2．D

3．B解析：由直方图的数据可知，总车辆数为100，故违章汽车为20辆。

4．A

5．C

6．B解析：因为由函数图像可得，当时，有最大值2。

7．D解析：对任意的，，总有且；

，又函数为单调函数，

，

设（其中为常数），

，

，，，，选D。

8．C解析：如图，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小，而当分别为异面直线和；和；和的公垂线时，最小．分别求得距离为，，，故，故，又由特殊截面，，，比较所得。

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．BCD

10．AC

11．BD

解析：因为，所以的值域，与的值无关，A错误；

当时，因为，，，故B正确；因为，由题意，，当时，，C错误；因为，由题意，，D正确。故选B，D

12．BCD

解析：由，，，当时，函数值恒小于零，无负零点，故排除A。

当，如，时，，故D有可能。

当，如，，时可以是B；当时，如，，时可以是C

非选择题部分

三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13．

14．解析：从中任取3个元素形成的子集共有10个。其中6个子集中恰好含有两个连续整数．故概率为。

15．解析：，，

，，

原式，结合对勾函数图像得：

16．解析为的外心，又由，

平方可得：不妨设，则

由，或，又由：

可得点在的内部，即为锐角三角形

故，故。

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解：（1）得到85分的学生有2人，所以概率为：，即概率为； 3分

（2）得分超过80分的学生有7人，所以概率为；  6分

（3）分数都在80分以上的学生有7人（得分为85、90、88、92、82、85、90），

所以概率为  10分

18．解：（1）因为，，与的夹角为，

所以， 2分

又，所以； 6分

（2）因为在上的投影向量是， 8分

又， 10分

所以 11分

 12分

19．解：（1）因为 2分

 6分

（2）把棱台补成正棱柱，设球的半径为r， 8分

通过计算可得球O的半径， 10分

（因为是正三棱台的内切球，上下底面的切点为正三角形的中心，所以，得球O的半径） 10分

所以． 12分

20．解：（1）由，可得： 2分

所以，从而 4分

（2）解法1：如图所示，

 6分

所以

 8分

，又因为 10分

所以，即 12分

解法2：由向量平行四边形法则 6分

所以

因为 8分

又因为 10分

所以，即 12分

解法3：

因为，

所以 6分

又因为，所以， 8分

所以，即 11分

当且仅当时取到最大值 12分

解法4：

如图所示，，，故有外接圆  6分

 10分

所以 12分

21．解：（1）因为平面，所以 2分

又，

所以平面

所以 4分

（2）解法1：作交于点，则平面，作，垂足为，连结，则，

所以就是二面角的平面角， 6分

显然二面角与二面角互余 8分

因为，，

所以点是的中点．

因为，．所以点是的中点．

又，所以点是的中点．

在中，， 10分

所以，即二面角的正弦值也是 12分

解法2：作，面，

，作，垂足为，，

为中点，为中点，为中点 6分

所以就是二面角的平面角， 8分

，，

二面角的正弦值也是 12分

解法3：以，为，轴，过点平行于的直线为轴建系，

设，，，，，，， 6分

，，在直线上，

，， 8分

平面的法向量为平面的法向量为 10分

二面角的正弦值也是 12分

22．解：（1）设 2分

有三个零点，即有三个不同的交点，如图所示 3分

则，即 4分

（2）对任意的，总存在，使得

成立

 6分

函数有三个零点，由，，

在上递增， 8分

 8分

①若，即，则

，，故 9分

②若，即，则

恒成立，

 10分

③若，即，则，

，， 11分