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浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附答案）
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这是一份浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，下列各数中最大的数是等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.下列函数在上单调递增的是（ ）
A.B.C.D.
4.如图是用斜二测画法得到的直观图，，，其中是的中点，则在原图中最长的是（ ）
A.B.C.D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，且的最短边与最长边的长度和为6，则的面积为（ ）
A.B.2C.D.
6.已知向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A.B.C.D.
7.下列各数中最大的数是（ ）
A.B.C.D.
8.已知实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，角，，的对边分别为，，，则（ ）
A.若，则
B.若，，则外接圆的半径为2
C.若，则为钝角三角形
D.若，则点O是的重心
10.已知函数的定义域为，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.若对任意的，都有，则的取值范围是
D.若，则有3个互不相等的实数根
11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.如图在一个棱长为4的正方体中，，，…，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于所形成的半正多面体，下列说法正确的是（ ）
A.当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2
B.当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是
C.当此几何体为半正多面体时，或
D.当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成
非选择题部分
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为复数，且，则的最大值为______.
13.化简______.
14.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，，则______.
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知、为单位向量，且夹角为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的最小值.
16.（15分）
在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，且，求边上中线的长.
17.（15分）
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，向量，，且与共线.
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围.
18.（17分）
已知函数在上有定义，且关于中心对称，若
（1）求实数的值；
（2）若存在，使的值域为，求实数的取值范围.
19.（17分）
祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。
如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.
（1）若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，求圆锥DB的表面积和体积；
（2）如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积.
2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
命题：东阳二中 程柳莎、吴旭妹
审稿：长兴华盛高中 章勤康 海宁宏达高中 冯晓华
一.选择题：
二.选择题：
11.
三.填空题：
12.213.114.
四.解答题：
15.（13分）
解：（1）由、为单位向量，且夹角为，则
由已知，得
所以
（2）已知，
所以
的最小值为.
16.（15分）
解：（1）已知，得，
由余弦定理得，则
由，得，即
又，则，，则
（2）由可得
则，由，所以，，为直角三角形
因为，所以，，则边上的中线为
17.（15分）
解：（1）由于与共线.
（法一），，，
，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，
，又为锐角三角形，故.
（2），
，
由于为锐角三角形，则，且，
解得，
，
而，即，
的取值范围为
18.（17分）
解：（1）关于中心对称，
关于中心对称，即
（2）令，，则此函数在单调递增
①当时，，，，
则，均为的实根，即有两个不相等的正根有两个不相等的正根
②当时，，，，
此方程能成立，.
③不合题意.
19.（17分）
解：（1）设，则，
，
则侧面展开图扇形的圆心角
，
满足，，，
（2）如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥。取同一高度的截面。令球冠截面半径为，面积为圆锥截面半径为，面积为。，
，
所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
B
D
A
A
D
9
10
11
BCD
AC
BD
，，若此几何体为半正多面体，则，，
若，此几何体也为半正多面体，所以
当时，此几何体在每一个正方体表面为正方形，其边长与相等。内部的截面为六边形，三条与正方形等长，另三条，若，即，此几何体也为半正多面体
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.下列函数在上单调递增的是（ ）
A.B.C.D.
4.如图是用斜二测画法得到的直观图，，，其中是的中点，则在原图中最长的是（ ）
A.B.C.D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，且的最短边与最长边的长度和为6，则的面积为（ ）
A.B.2C.D.
6.已知向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A.B.C.D.
7.下列各数中最大的数是（ ）
A.B.C.D.
8.已知实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，角，，的对边分别为，，，则（ ）
A.若，则
B.若，，则外接圆的半径为2
C.若，则为钝角三角形
D.若，则点O是的重心
10.已知函数的定义域为，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.若对任意的，都有，则的取值范围是
D.若，则有3个互不相等的实数根
11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.如图在一个棱长为4的正方体中，，，…，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于所形成的半正多面体，下列说法正确的是（ ）
A.当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2
B.当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是
C.当此几何体为半正多面体时，或
D.当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成
非选择题部分
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为复数，且，则的最大值为______.
13.化简______.
14.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，，则______.
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知、为单位向量，且夹角为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的最小值.
16.（15分）
在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，且，求边上中线的长.
17.（15分）
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，向量，，且与共线.
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围.
18.（17分）
已知函数在上有定义，且关于中心对称，若
（1）求实数的值；
（2）若存在，使的值域为，求实数的取值范围.
19.（17分）
祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。
如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.
（1）若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，求圆锥DB的表面积和体积；
（2）如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积.
2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
命题：东阳二中 程柳莎、吴旭妹
审稿：长兴华盛高中 章勤康 海宁宏达高中 冯晓华
一.选择题：
二.选择题：
11.
三.填空题：
12.213.114.
四.解答题：
15.（13分）
解：（1）由、为单位向量，且夹角为，则
由已知，得
所以
（2）已知，
所以
的最小值为.
16.（15分）
解：（1）已知，得，
由余弦定理得，则
由，得，即
又，则，，则
（2）由可得
则，由，所以，，为直角三角形
因为，所以，，则边上的中线为
17.（15分）
解：（1）由于与共线.
（法一），，，
，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，
，又为锐角三角形，故.
（2），
，
由于为锐角三角形，则，且，
解得，
，
而，即，
的取值范围为
18.（17分）
解：（1）关于中心对称，
关于中心对称，即
（2）令，，则此函数在单调递增
①当时，，，，
则，均为的实根，即有两个不相等的正根有两个不相等的正根
②当时，，，，
此方程能成立，.
③不合题意.
19.（17分）
解：（1）设，则，
，
则侧面展开图扇形的圆心角
，
满足，，，
（2）如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥。取同一高度的截面。令球冠截面半径为，面积为圆锥截面半径为，面积为。，
，
所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等。
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，，若此几何体为半正多面体，则，，
若，此几何体也为半正多面体，所以
当时，此几何体在每一个正方体表面为正方形，其边长与相等。内部的截面为六边形，三条与正方形等长，另三条，若，即，此几何体也为半正多面体
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