2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果.

【详解】由得：，，解得：，；

由得：；

“”是“”的充分不必要条件，，

当时，，不满足；当时，，不满足；

当时，，若，则需；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：A.

2．某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（　）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，分别求出概率，再由期望公式即可求出．

【详解】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则

，，

，，

所以．

【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望的求法．

3．若函数有两个零点，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再画出的图像，根据图像求参数范围即可.

【详解】

函数的定义域为，由，得，

设，则，由得，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，当时，∴函数有两个零点，即方程有两个不同的根，即函数和有两个不同的交点，则，

故选：C.

4．设、分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（    ）

A．当时，取最大值 B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】C

【解析】首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】∵，∴，解得，

对选项A，∵无法确定和的正负性，∴无法确定是否有最大值，故A错误，

对选项B，，故B错误，

对选项C，，故C正确，

对选项D，，，

∵，∴、，，故D错误，

故选：C.

5．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为（    ）

A．30 B．60 C．70 D．140

【答案】B

【分析】根据题意，结合正态分布的特征，求出免疫反应蛋白的数值不低于20的人数占总人数的比例，即可得到正确选项.

【详解】因为，且在区间内的人数占总人数的，

故，

所以，

所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为.

故选：B.

6．设，，，则下列说法错误的是（    ）

A．ab的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为9 D．的最小值为

【答案】D

【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确.

【详解】因为，，，

则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；

因为，

故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；

，

当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；

，

故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．

故选：D．

7．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，．若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（    ）

A．12010 B．12100

C．11200 D．11202

【答案】D

【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前100项的和.

【详解】因为，所以，又因为，所以，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，

所以，，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，可得，

，，，

，，，

，，不合题意，

所以

.

故选：D.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出、、，比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】构造函数，其中，则，

当时，；当时，.

所以，函数的增区间为，减区间为.

因为，，

，

因为，则，则，

故.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（   ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B． 图象关于点成中心对称

C． 的最大值为

D．幂函数在上为减函数，则的值为

【答案】BD

【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.

【详解】对于A，函数的定义域为，由得，

则函数的定义域为，A错误；

对于B，函数的图象的对称中心为，

将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，

则函数的图象的对称中心为，B正确；

对于C，函数在R上单调递减，且，

则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；

对于D，因为函数为幂函数，

所以，

解得，D正确.

故选：BD.

10．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件 “零件为次品”，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式依次求解即可.

【详解】事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，

则，，，

，，，故A正确，B错误；

，故C正确；

，故D正确．

故选：ACD．

11．在数列中，，且对任意不小于2的正整数n，恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．成等比数列

D．

【答案】BCD

【分析】先求出，然后当时，由，得，两式相减化简可得，从而可求得，然后逐个分析判断即可.

【详解】当时，，

当时，，则，

所以，所以，

所以，所以，

所以

因为不满足上式，所以，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，则，所以成等比数列，所以C正确，

对于D，因为，所以当时，

，

当时，满足上式，所以，所以D正确，

故选：BCD

12．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）

A． B．函数关于对称

C．函数是周期函数 D．

【答案】ACD

【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断C，D.

【详解】因为为奇函数，所以，

取可得，A对，

因为，所以

所以，又，即，

，故，

所以函数的图象关于点对称，B错，

因为，所以

所以，为常数，

因为，所以，

所以，取可得，

所以，又，即，

所以，所以，

所以，故函数为周期为4的函数，

因为，所以，，

所以，

所以

，

所以，

故的值为0，D正确；

因为，即

故函数也为周期为4的函数，C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.

三、填空题

13．函数f（x）＝－的值域为        ．

【答案】[－，]

【解析】根据解析式判断出单调性，根据单调性可求出最值，得到值域.

【详解】因为，所以－2≤x≤4，

所以函数f（x）的定义域为[－2，4]．

又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，

所以f（x）＝－在[－2，4]上为减函数，

所以f（4）≤f（x）≤f(－2)．

即－≤f（x）≤．

故答案为：[－，].

【点睛】本题考查了利用函数单调性求值域，属于基础题.

14．已知函数满足，且当时，.若，恰有6个解，则t的取值范围为           .

【答案】

【分析】依题意画出函数图象，将方程的解得个数转化为与在恰有6个交点，结合函数图象即可得解；

【详解】解：因为且当时，，即自变量增加两个单位，函数值扩大两倍，由此，可得函数图像，如图所示：

当时，；

当时，；

因为，恰有6个解，即与在恰有6个交点，结合函数图象可得或，即

故答案为：.

四、双空题

15．设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是      （填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为      ．

【答案】     增     /

【分析】由题意可知，令，求导利用导函数的正负即可判断单调性，由可求得，再根据可知，进而得出，利用的单调性解不等式即可.

【详解】解：已知，则，

令，，则，

所以在为增函数，即函数在定义域内是增函数；

，，

又，，

可得，由于在为增函数，

所以，解得，即的最小值为，

故答案为：增；

五、填空题

16．已知数列满足，是数列的前n项和且，则      ．

【答案】

【分析】变形得到，确定是首项为，公差为的等差数列，根据得到，得到通项公式.

【详解】由，得，即，

数列是首项为，公差为的等差数列，所以，

即．

当n为偶数时，，

所以，

所以，故．

故答案为：

六、解答题

17．已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.

（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；

（2）求使得成立的最小正整数的值.

【答案】（1）等比数列，理由见解析；（2）12.

【分析】（1）先利用条件求出的通项公式，代入得到的递推关系，再利用定义法证明是等比数列；

（2）先根据（1）的结果求的通项公式，采用分组求和的方法求解出的结果，再根据其单调性得到满足条件的最小正整数值即可.

【详解】解：（1）依题意，，

当时，，即，故，

则，故，

故，

而，故是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，，故，记，

故，易见是递增数列，又，，

故满足的最小正整数的值为12.

【点睛】本题考查了等差、等比数列的综合应用，涉及到定义法证明等比数列以及与数列有关的不等式问题，属于中档题.

18．某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完4道题后的总得分为．

(1)试建立关于的函数关系式，并求；

(2)求的分布列及 ．

【答案】(1)，

(2)分布列见解析，

【分析】（1）答对的题数和得分列很容易列出一次函数关系，在利用二项分布的概率公式求；

（2）根据（1）中的关系，及二项分布的概率公式来写出分布列，然后先求，利用数学期望运算性质求出.

【详解】（1）由题意，

由，得．所以，而，  

所以．

（2）由题意，知．

的对应值表为：

于是，；

；

；

；

．

19．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在处的导数值即为切线斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得切线方程；

（2）根据题意属于不等式恒成立求参数取值范围问题，可以把不等式分离参数，然后构造新函数，转化为利用导数求新函数的最值问题；也可以利用切线不等式得到即，再对分和讨论即得的取值范围.

【详解】（1），，

，

的图像在处的切线方程为，即.

（2）解法一：由题意得，因为函数，

故有，等价转化为，

即在时恒成立，所以，

令，则，

令，则，所以函数在时单调递增，

，，

，使得，

当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，

故，

由，得

在中，，当时，，

函数在上单调递增，，即与，

，

，即实数的取值范围为.

解法二：因为函数，

故有，等价转化为：，

构造，

，所以可知在上单调递减，在上单调递增，

，即成立，令，

令， 在单调递增，

又，所以存在，使得，即，

可知，

当时，可知恒成立，即此时不等式成立；

当时，又因为，

所以，与不等式矛盾；

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

20．区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．

(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？

(2)学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望．

下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

【答案】(1)表格见解析，了解安全知识的程度与性别有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据条件概率的有关公式计算出列联表中男女人数，再根据卡方公式计算；

（2）根据超几何分布的思想计算分布列和数学期望.

【详解】（1）由，超过85分的人数为（人），不超过85分的人数为（人），

因为，，，，

所以，即，，，

故200人中男性人数为（人），女性人数为（人），

又，即不超过85分的人中，男性为（人），女性为（人），

故在超过85分的人中，男性=（人），女性（人），

列联表如下：

零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联．

经计算得到

根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；

（2）X可能取0，1，2，3，4．

；

；

；

；

所以X的分布列为

所以．

综上，在犯错误的概率不大于0.001的前提下认为了解安全知识的程度与性别有关，数学期望为.

21．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．

（1）求数列、的通项公式；

（2）设的前项和为，求

（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．

【答案】（1）；；（2）；（3）．

【分析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.

(2)由错位相减法即可求出前项和.

(3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值.

【详解】解：(1)设等差数列的公差为，

，，.

设等比数列公比为（其中），因为，

由，可得，解得或（舍去）；

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得，

则①．

②

由①减去②得，

则，所以的前n项和.

（3）由(1)可知，，

则

恒成立，恒成立，

单调递增，时，，

最大值为.

【点睛】方法点睛:

常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.

22．已知函数.

（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【分析】（1）由得，根据有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根，转化为直线与的图象有两个不同的交点求解.

（2）由（1）知，设，则，由得，，要证，将 代入整理为，再令，转化为，再构造函数，研究其最大值即可.

【详解】（1）由得，

有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，

即方程有两个不同的实根，

即直线与的图象有两个不同的交点，

设，则，

时，单调递增，且的取值范围是；

时，单调递减，且的取值范围是，

所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，

有两个不同的极值点，，

故实数的取值范围是.

（2）由（1）知，设，则，

由得，

所以要证，只需证，

即证，即证，

设，即证，即证，

设，则，

所以在是增函数，，

所以，从而有.

【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.