2022-2023学年河南开封市五县高二下学期第二次月考联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南开封市五县高二下学期第二次月考联考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南开封市五县高二下学期第二次月考联考数学试题
一、单选题
1．设集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合，进而可求交集.
【详解】由题意可得：，
则.
故选：C.
2．已知命题：，，则为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题：，的否定是：，．
故选：D．
3．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值
【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故
因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为
故选：D
4．第19届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用条件概率的公式直接求解即可.
【详解】记“甲被安排到游泳项目”为事件A，记“乙也被安排到游泳项目”为事件B，
甲被安排到游泳项目分为两类，甲一人被安排到游泳项目的种数为，
两人被安排到游泳项目的种数为，
故种数为，
甲乙被同时安排到游泳项目的种数为，
所求概率为.
故选：B.
5．设， 若，则实数可能是（    ）
A．3 B． C．10 D．11
【答案】D
【分析】首先运用赋值法令、，联立方程求出，然后将已知条件转化成，即等号左边应为的倍数，进一步用二项式定理进行转化，即是24的倍数，进而判断出的可能取值.
【详解】令，则                  ①
令，则     ②
①+②得，，
∵，∴


且是24的倍数，
的值可能是11.
故选：D.
6．为研究变量的相关关系，收集得到下列五个样本点：












若由最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则据此计算残差为的样本点是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由表格数据计算可得样本中心点，由此可计算求得，从而得到回归直线方程；将选项中的点代入回归直线，满足回归直线方程的即为残差为的样本点.
【详解】由样本数据可得：，，
，则回归直线方程为：；
对于A，，则残差不为，A错误；
对于B，，残差为，B正确；
对于C，，则残差不为，C错误；
对于D，，则残差不为，D错误.
故选：B.
7．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
【答案】A
【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.
【详解】如下表
顶点
V
A
B
C
D
种数
4
3
2
C与A同色1
2
C与A不同色1
1
总计

故选：A．
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数满足，构造函数，得出的单调性，解不等式即可.
【详解】令，则，所以在R上单调递增，
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A.

二、多选题
9．下列结论正确的有（    ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
【答案】BCD
【分析】对A，根据方差的性质判断即可；
对B，根据正态分布的对称性判断即可；
对C，根据回归直线的性质判断即可；
对D，根据独立性检验的性质判断即可
【详解】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；
对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；
对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确
故选：BCD
10．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（    ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】CD
【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B选项；利用分类加法与以及部分平均分组原理可判断C选项；利用分类计数原理和分步计数原理可判断D选项.
【详解】对于A选项，每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错；
对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有人参加一份工作，
其余人都参加一份工作，
可先将人分为组，有一组为人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排方法，B错；
对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：
①有人选同一种工作，其余人只安排一种工作；
②有种工作只有人，其余种工作都只有人.
所以，不同的安排方法种数为，C对；
对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论：
①开车这份工作有人参与，其余工作各分配人，共有种安排方法；
②开车这份工作只有人参与，有人参与同一份工作，其余人各参与一份工作，共有.
综上所述，共有不同安排方案的种数是，D对.
故选：CD.
11．下列说法中正确的是（    ）
A．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是
B．若，则
C．设正实数满足，则的最小值为2
D．若一个袋内装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中任取3个球，记为取出的3个球中白球的个数，则
【答案】ABD
【分析】由全称量词命题为真，根据不等式恒成立对参数分类讨论即可得的取值范围是，所以A正确；利用赋值法可分别令和即可解得，即B正确；根据提供等式信息，利用基本不等式即可得的最大值为2，即C错误；写出随机变量对应的概率即可求得，可知D正确.
【详解】对于A，若“”为真命题，
等价于不等式对于恒成立，
显然当时，符合题意；
当时，则等价于函数的图象与轴有一个或者没有交点，
显然，且，解得;
所以实数的取值范围是，即A正确；
对于B，根据题意可得当时，可得，
要计算的值，
可令，即可得，即可得，即B正确；
对于C，由基本不等式可得，
又，即，所以的最大值为2，即C错误；
对于D，根据题意可得，，，，
所以，即D正确；
故选：ABD
12．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
【答案】ABC
【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.
【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确；
对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，，
故B选项正确；
对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，
记第二次抽到3号球的事件为，,
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，


即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；
故选：ABC.

三、填空题
13．在一组样本数据、、、（，、、、不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为__________．
【答案】
【分析】根据相关系数的定义可求得结果.
【详解】因为在直线方程中，斜率，
因为所有样本点都在直线上，
所以，这组样本数据的样本相关系数为.
故答案为：.
14．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为_______.
【答案】0.68/
【分析】利用条件概率和全概率公式求解.
【详解】解：设A表示“乙球员担当前锋”，设B表示“乙球员担当中锋”，设C表示“乙球员担当后卫”，设D表示“乙球员担当守门员”，设E表示“乙球员参加时，球队输球”，
所以，
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为，
故答案为：0.68
15．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是___________.

① ；
② ；
③ ；
④ .
【答案】② ③
【分析】根据题意可知小球每次碰到小木钉后落下都是独立重复实验，根据独立重复实验概率计算规则计算即可.
【详解】由题意可知，的所有取值为，
则，由对称性可知，
,
，
所以.
故答案为：② ③
16．已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.
【详解】∵对于任意，，不等式恒成立
∴对于任意，，即恒成立
当时，；
当，，
设，则，所以在上单调递增，
由，知，即，即
设，，求导
令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴在处取得极大值，且为最大值，
所以时，不等式恒成立
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.

四、解答题
17．已知集合，.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或

【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解;
(2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围.
【详解】（1）由题意， ，即，解得，
所以.
由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，
则，且等号不能同时取到，解得.，
故的取值范围为
（2）当时，得，即，符合题意.
当时，得，即.
由，得或，解得或，
所以或.
综上所述，的取值范围为或.
18．在二项式的展开式中，___________，给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有偶数项的二项式系数的和为256；③若展开式中第7项为常数项.
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选择①：，利用组合数公式，计算可得；
选择②：转化为，计算可得；
选择③：，则有得，展开式中第7项为常数项，即计算可得；由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算可得展开式中系数最大的项；
（2）写出展开式的通项，令，即得解.
【详解】（1）选择①：
，即，
即，即，解得或（舍去）.
选择②：
，即，解得.
选择③：
，则有，所以.
因为展开式中第7项为常数项，即，所以.
展开式中系数最大的项为第5项，
；
（2）展开式的通项为，
令，
∴，
∴展开式中常数项为第7项，常数项为.
19．党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
人均可支配收入（单位：万元）





(1)根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到）；
(2)求出与的回归方程.
参考公式和依据，相关系数：,.
【答案】(1)，具有较高的线性相关程度
(2)

【分析】（1）根据已知求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论；
（2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程.
【详解】（1）由表知的平均数为,
,
,
与具有较高的线性相关程度.
（2）,
,
,
,
所以年份代码x和人均可支配收入的回归直线方程为.
20．地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：
实验鼠编号
1
2
3
4
5
6
7
8
Sd指标
9.95
9.99
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
实验鼠编号
9
10
11
12
13
14
15
16
Sd指标
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，
(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；
(2)若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
附：（其中）．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关

【分析】（1）先求出X的可能取值，逐个求解概率可得分布列，利用期望公式可求期望；
（2）根据提供的数据列出2×2列联表，计算卡方，根据临界值进行判断.
【详解】（1）由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重.
X的可能取值有0，1，2，3，

.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以X的数学期望．
（2）由题意得，根据所给数据，得到列联表：

GRPE蛋白干预
非GRPE蛋白干预
合计
体征状况严重
2
5
7
体征状况不严重
6
3
9
合计
8
8
16
零假设：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系．
利用列联表中的数据得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关．
21．某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
附：若随机变昰服从正态分布，则，
【答案】(1)62
(2)182
(3)

【分析】（1）由频率直方图平均数的计算公式求解即可；
（2）由分析知，则，由原则求解即可；
（3）由题意可得出，对求导，得到函数的单调性和最值，即可求出答案.
【详解】（1）设样本平均数的估计值为
则．
解得．所以样本平均数的估计值为62．
（2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中．
所以．所以．
所以估计能参加复试的人数为．
（3）由该学生获一等奖的概率为可知：．
则．
令．．
当时，;当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以．所以的最小值为．
22．已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：）
【答案】(1)答案见解析；
(2)0.

【分析】（1）求出函数的导数，分，，三种情况讨论的符号求解作答.
（2）构造函数，求出的最小值取值范围，再由不等式成立求整数k的最小值作答.
【详解】（1）函数的定义域R，求导得：，
若，由，得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
若，则对任意都有，则在R上单调递增，
若，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当a=0时，令，则，令，
则，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因，，则存在，使得，即，
则当时，，当时，，
又当时，，所以当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，
于是，，
．
若存在使得关于x的不等式成立，且k为整数，得，
所以k的最小整数值为0.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则.