2022-2023学年福建省厦门市五显中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省厦门市五显中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果.

【详解】∵，，

∴.

故选：D.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据存在量词命题的否定求解作答.

【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以命题“”的否定是：.

故选：D

3．已知正实数、满足，则的取值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.

【详解】解：因为正实数、满足，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：D

4．已知函数，则函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合图像即可得到结果.

【详解】由函数解析式可知，当时，为二次函数一部分，

当时，为反比例函数一部分，结合图像即可得到C正确

故选:C

5．设为定义上奇函数，当时，（b为常数），则（    ）

A．3 B． C．－1 D．－3

【答案】D

【分析】根据奇函数可得，进而根据奇函数的性质即可求解.

【详解】由于为定义上奇函数,所以,

所以当时，,

因此,

故选:D

6．在中，若，则这个三角形的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据三角形内角的范围，结合三角函数值在各象限的符号分析判断即可.

【详解】在中，则，故，

∵，则，

∴，故这个三角形是钝角三角形．

故选：B．

7．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ）

参考数据：，，．

A．455 B．2718 C．6346 D．9545

【答案】B

【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.

【详解】由题意可知，，

则数学成绩位于[80，88]的人数约为.

故选：B

8．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记函数的定义域为R为事件A，求得，记函数为偶函数为事件B，求得，再利用条件概率公式求解即可.

【详解】抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，共36种情况，如下

记函数的定义域为R为事件A，

即恒成立，需满足，即，

满足的有26种情况，故.

记函数为偶函数为事件B，

函数的定义域为，由偶函数的定义知，即或.

满足或的有6种情况，故,

故,

故选：B

二、多选题

9．下列叙述中不正确的是（    ）

A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；

B．若，则“”的充要条件是“”；

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；

D．“”是“”的充分不必要条件.

【答案】AB

【分析】利用特殊值可验证AB；由根的分布求出的范围可判断C；解出不等式可判断D.

【详解】当时，若，则恒成立，故A不正确；

当时，“”推不出 “” ，故B不正确；

当 “方程有一个正根和一个负根”时“”， “”推出“”成立，反之不成立，故C正确；

由 得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：AB.

10．给出下列四个命题，其中是真命题的为（    ）

A．如果θ是第一或第四象限角，那么

B．如果，那么θ是第一或第四象限角

C．终边在x轴上的角的集合为

D．已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2

【答案】AD

【分析】对于A，利用三角函数的定义即可判断；对于B，举反例即可；对于C，直接写出对应角的集合；对于D，利用扇形的面积和弧长公式即可

【详解】对于A，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确；

对于B，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误；

对于C，终边在x轴上的角的集合为，故错误；

对于D，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，

则，解得，故正确

故选：AD

11．下列说法正确的有（    ）

A．若事件与事件互斥，则事件与事件对立

B．若随机变量，则方差

C．若随机变量，，则

D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和

【答案】BCD

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A选项；由二项分布可直接得出方差的结果，

再利用可判断B选项；由正态分布图像及其对称性可判断C选项；

利用线性回归方程分析，先将转化为，对应解析式可判断D选项.

【详解】由对立事件和互斥事件定义可得，对立事件是互斥的，互斥事件不一定对立，所以A选项错误；

由二项分布可得，又由公式可得

，所以B选项正确；

正态分布，对称轴， ，

得，又因为与关于对称，所以，

所以C选项正确；

将两边同时取得，，与对应，

则，即，，所以D选项正确.

故选：BCD

12．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（    ）

A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3

C．函数在上单调递减 D．

【答案】ABD

【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.

【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，

所以，

，

，

因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；

故

，

由知常数项为3，故B正确；

由，故D正确；

由，

，所以，

令，则；令，则，

则函数在上单调递增，则C不正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知函数，则方程的解为        .

【答案】

【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.

【详解】当时，，

由于，所以.

故答案为：

14．已知，则          ．

【答案】

【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后把的值代入计算即可求出值．

【详解】解：，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于基础题．

15．已知函数的极小值为2，则     

【答案】

【分析】求函数的极小值的表达式，列方程求.

【详解】函数的定义域为，

求导得，令可得，

当时，，函数在单调递减；

当时，，函数在单调递增，

故的极小值为，

由已知可得，

所以．

故答案为：.

16．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为    ．

【答案】

【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则

若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为，

在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，

,

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

(1)当时，求值；

(2)若是偶函数，求的最大值．

【答案】(1)4

(2)2

【分析】（1）先得到函数，再求值；

（2）先利用函数是偶函数，求得，再求最值.

【详解】（1）解：当时，，

所以；

（2）因为是偶函数，

所以成立，

即成立，

所以，则，

所以的最大值为2．

18．设集合，.

（1）若，求；

（2）当时，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）时，确定集合，再对集合化简，再得到，然后根据集合的交集运算，得到答案；（2）根据，得到，从而得到关于的不等式组，解出的取值范围.

【详解】（1）因为，所以集合

集合

，

所以，

所以

（2）因为，所以，

所以，解得.

【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，根据交集结果求参数范围，属于简单题.

19．已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝．

（1）求sinxcosx；     

（2）求sinx－cosx的值

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）两边平方后，根据平方关系式可得结果；

（2）根据－＜x＜0可知，再配方可解得结果.

【详解】（1）由sin x＋cos x＝两边平方得，

所以.

（2）因为－＜x＜0，所以，，

所以

【点睛】本题考查了平方关系式，考查了三角函数的符号法则，属于基础题.

20．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.

附：

【答案】(1)有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）依题意，列联表如下：

零假设：该校学生喜欢足球与性别无关，

的观测值为，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

（2）依题意，的可能值为，

，，

，，

所以的分布列为：

数学期望.

21．某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为，乙组研究新产品成功的概率为，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析.

【分析】（1）依据题设，结合独立事件的概率的乘法公式进行求解；

（2）根据题设求出所有可能取值的概率即可得其分布列.

【详解】（1）因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为为和，且相互独立，

所以，恰好有一种新产品研发成功的概率；

（2）根据题意，的可能取值有.

，

所以分布列为：

22．已知函数．

(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；

(2)讨论在上的单调性．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）求导得，根据垂直得到，解出方程即可；

（2），利用二次函数或一次函数的图象与性质合理分类讨论即可.

【详解】（1）由题知，,

，解得.

（2）

(i)当时，若，则，

若，此时开口向下，对称轴为，

所以当时，，

在单调递减；

(ii）当时,开口向上，,

则（根据二次函数大致图象知舍去）

且当时,单调递减;

当时,单调递增.

(iii)当时，开口向上，对称轴在单调递增,

当时，在单调递增.

综上：当时,在单调递减;

当时,在单调递减,在单调递增，

当时,在单调递增.