2022-2023学年河北省唐山市高二期末考试数学试题含答案

2022-2023学年河北省唐山市高二期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得到，从而求出交集.

【详解】集合，集合，

所以.

故选：A.

2．若，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.

【详解】由题意可知，，

.

故选：D.

3．已知p： q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.

【详解】当时，，所以，所以充分性满足，

当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，

所以是的充分不必要条件，

故选：A.

4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】根据以及可求出结果.

【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，

所以．

而，∴．

故选：C．

5．五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（    ）

A．240种 B．192种 C．144种 D．48种

【答案】B

【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解.

【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；

第二步：相邻女生排在一起有种；

第三步：4名男生排在剩下的位置有种.

因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法.

故选：B.

6．甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出1个球放人乙箱中，再从乙箱中随机取出1个球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解.

【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一个红球，事件表示从甲箱中随机取出一个白球，事件表示从乙箱中随机取出一个红球，

则，

所以.

故选：B.

7．已知函数，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.

【详解】因为的定义域为，且，

所以为偶函数，，

又当时，单调递减，

由以及，

可得，

即．

故选:D．

8．已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】利用等差数列的前项和公式，计算得到，再根据条件即可得到答案.

【详解】因为等差数列和等差数列的前项和分别为和，所以，

又，所以，

因此要为整数，当且仅当是正整数，又，则是36的大于1的约数，又36的非1的正约数有2，3，4，6，9，12，18，36，共8个，

则的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8个，

所以使得为整数的正整数的个数为8.

故选：C.

二、多选题

9．已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据正态分布的对称性逐一判断即可.

【详解】由，则，由，

所以，故A正确，B错误；

由，所以，

所以，故C正确；

由上可知，，故D错误.

故选：AC.

10．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.

【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.

对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立.

对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立.

对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立.

故选：BCD.

11．若，则下列说法中正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】利用换元法令，将方程转化为关于的多项式，然后利用赋值法进行求解即可.

【详解】令，则，

令，可得，即，故A正确；

令，可得，故B正确；

由题可知，故C正确；

由，对等式两边同时求导可得：

，

令，可得，故D错误.

故选：ABC.

12．若，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】分别构造函数，，，利用导数讨论其单调性，由单调性比较可判断ABC；构造函数，利用二次导数讨论单调性，然后由单调性可判断D.

【详解】令，则在上恒成立，

所以在上单调递减，又，所以，即，

所以，故A正确；

设，则在上恒成立，

所以在上单调递减，又，

所以，即，所以，故B正确；

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，又，

所以，即，即，即，所以，故C错误；

令，则，令，

所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，

所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，

所以，即，

所以，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】此类问题主要方法：先同构函数，再由导数导数讨论其单调性，然后利用单调性比较可得.

三、填空题

13．命题“，”的否定是         ．

【答案】，

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题，

所以该命题的否定为“，”．

故答案为：，

14．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：

根据表中数据得到关于的回归直线方程是，当售价为11.5元时，预测销售量为      件.

【答案】5

【分析】根据回归方程过样本中心点，求得，然后可得预测值.

【详解】由题意可知，

故回归直线过点，所以，解得，

所以关于的回归直线方程是，

当时，，

即售价为11.5元时，预测销售量为5件.

故答案为：5

15．若直线与曲线相切于点，则      .

【答案】

【分析】利用切点在曲线上和在切线上，以及切点处的导数等于切线斜率可解.

【详解】将代入，得，

所以，可得

又在直线上，所以，解得.

故答案为：.

16．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则      ．

【答案】

【分析】根据X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相应的概率，再利用期望公式求解.

【详解】解：X的可能取值是1，2，3，4，5，

则，，，，，

所以．

故答案为：

四、解答题

17．某工厂生产某产品的成本（万元）与销售额（万元）的几组对应数据如下表所示：

(1)根据以往经验可知，成本（万元）与销售额（万元）之间具有线性相关关系，求销售额关于成本的经验回归方程；

(2)根据（1）中经验回归方程，预测当销售额为200万元时，成本为多少万元？（结果保留一位小数）

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，其中为样本的平均值.参考数据：.

【答案】(1)

(2)65.7万元

【分析】（1）先求出样本中心点的坐标，利用公式求出再求出的值即可；

（2）令，求得的值即可.

【详解】（1），

所以，

所以回归方程为

（2）由（1）知，令，得（万元），

即预测当销售额为200万元时，成本大约为65.7万元.

18．设函数.

(1)若关于的不等式的解集为，求的解集；

(2)若时，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出，从而解不等式求出解集；

（2）先得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】（1）由题知的两个根分别是，3，

则，解得

故，

，解得.

所求解集为.

（2）时，，即，所以有，

那么

，

当且仅当，即时，取等号.

故的最小值为9.

19．已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“”求解作答.

（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）在数列中，，当时，，两式相减得，

即，而，有，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，

所以的通项公式是.

（2）由（1）知，

则，

于是，

两式相减得，

所以.

20．随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：

(1)根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？

(2)对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析，有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）完成列联表，利用公式求解，即可得出结论.

（2）利用超几何分布求解对应概率，得出分布列，即可得出结果.

【详解】（1）根据题意，得到列联表为：

零假设为：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联.

根据列联表中数据，可以求得：

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.

（2）从男生中抽取：（人），

从女生中抽取：（人）.

的所有可能取值为，，，，

，

，

的分布列为：

所以.

21．高二年级上学期共进行5次月考，每次月考成绩互不影响.记语文和英语为文科科目，记数学和物理为理科科目，其余科目暂不参与评估.每次月考中，文科科目与理科科目总数不少于3门成绩优秀，将获得“优学达人”称号，某学生在高二上学期的月考中，从文科科目和理科科目中各随机抽取5次成绩，其中4次文科科目和3次理科科目成绩优秀.

(1)从文理科各抽取的5次成绩中，分别随机抽取2次文科科目和2次理科科目成绩，求至少有3次成绩优秀的概率；

(2)经过该学生寒假期间的自主学习，每次月考文科科目和理科科目每门成绩优秀的概率分别为，，且，高二下学期共进行5次月考，设该学生在这5次月考中获得“优学达人”称号的次数为，求的数学期望的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分三种情况：1次文科科目和2次理科科目成绩优秀，2次文科科目和1次理科科目成绩优秀，2次文科科目和2次理科科目成绩优秀，分别求出各种情况的概率，再利互斥事件有一个发生的概率公式即可求出结果；

（2）先求出自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率，并求出其范围，根据条件知学生获得“优学达人”称号的次数，再利用二项分布的均值公式即可求出结果.

【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有：

①1次文科科目和2次理科科目成绩优秀的概率为，

②2次文科科目和1次理科科目成绩优秀的概率为，

③2次文科科目和2次理科科目成绩优秀的概率为，

故所求的概率为.

（2）由已知可得，自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率为

，

因为，且，所以，即，

所以，所以，

所以.

令，则在上单调递减，

所以，

因为该学生获得“优学达人”称号的次数，

所以，

即的数学期望的取值范围是.

22．设函数，，.

(1)求在上的单调区间；

(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)证明：当时，.

【答案】(1)答案见解析

(2)a≤1

(3)证明见解析

【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；

（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.

（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.

【详解】（1）解：由函数，可得，

当，即时，，此时函数在上单调递增；

当，即时，令，解得；

令，解得，

函数在上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，函数单调递增区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为.

（2）解：设函数，则，

令，则，

当，即时，，即，

即，所以成立，此时符合题意；

当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，又由，此时在上单调递减，

所以，显然不满足题意.

综上可得，实数的取值范围为.

（3）证明：取，由（2）知，

因为，令，代入得到，

即，且，

令，，即，代入化简得到，

所以成立.

【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.