2022-2023学年天津市河西区高二下学期期中数学试题含答案

高二年级数学（一）

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】由分类计数原理求解.

【详解】由题意得：，

故选：A

2. 下列函数中，存在极值的函数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】根据极值的定义进行求解即可.

【详解】A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；

B：因为函数是正实数集上增函数，所以函数没有极值；

C：因为函数在区间、上减函数，所以函数没有极值；

D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，

故选：D

3. 设随机变量，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值.

【详解】因为随机变量，，

则.

故选：C

4. 已知，，那么等于

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】根据条件概率公式得出可计算出结果.

【详解】由条件概率公式得，故选B.

【点睛】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.

5. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ）

A. (0，1) B. (1，2)

C. (2，3) D. (0，1)(2，3)

【答案】B

【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．

【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．

故选：B．

6. 一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率计算公式即可求得恰好有一个二等品的概率

【详解】从这批产品中抽取4个，则事件总数为个，

其中恰好有一个二等品的事件有个，

根据古典概型的概率公式可知恰好有一个二等品的概率为，

故选：D．

7. 函数在区间上最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值．

【详解】解： 因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减，

，，得函数在区间上的最小值是．

故选：B．

8. 已知离散型随机变量的分布列如下，则（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【分析】先计算，再根据公式计算得到

【详解】

故答案选B

【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.

9. 已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数是（    ）

①；

②在上单调递增；

③函数有2个零点；

④有且仅有4个极值点．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【分析】对于①，利用导数的运算法则、基本函数的导数公式和导函数值的定义即可求解；对于②，利用函数的单调性与导数的正负的关系即可求解；对于③，利用函数的零点的等价条件转化为函数和函数在上交点的个数，分别作出函数的图象即可求解；对于④，利用③的结论及函数极值点的定义即可判断.

【详解】对于①，，所以，故①错误；

对于②，，当时，，所以在上单调递增，故②正确；

对于③，在上的零点为方程在上的根，易知0不是零点，所以在上的根，作出函数和函数在上的图象，如图所示

所以函数和函数在上有个交点，所以函数有个零点，故③错误；

对于④，由③可知，有且仅有4个极值点，故④正确.

故选：B.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分．

10. ______．

【答案】

【分析】直接利用排列组合公式即可

【详解】

可得：

故答案为：

11. 的展开式中常数项的系数为______．

【答案】60

【分析】利用二项展开式的通项公式求出常数项时的值，然后计算即可.

【详解】由二项展开式的通项公式为：

．

令，

所以展开式中常数项的系数为：

．

故答案为：60.

12. 某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同的选法共有________种．

【答案】

【分析】先从5名同学中选择3人，再把选出的3人分别参加数学、物理、化学竞赛，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，先从5名同学中选择3人，共有种不同的选法，

再把选出的3人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有种不同的安排方法，

由分步计数原理，可得共有种不同的选法.

故答案为：.

13. 若，则______．

【答案】2555

【分析】分别赋值和即可求得答案.

【详解】因为，

所以令时，

，

即，

令时，

，

即，

所以

，

故答案为：2555.

14. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.

【答案】    ①. ##    ②. ##

【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.

【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，

恰有一个是合格品的概率为，

若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.

故答案为：；.

15. 关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意知：函数的图象在区间上的图象与直线有三个不同的交点，求出直线与相切时的值，以及过点时的值，数形结合即可求解.

【详解】令，

则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，

等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

是过原点斜率为的直线，

设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，

所以，，所以，

所以切线方程为，整理可得：，

因为切线过原点，所以，即，所以，

所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，

记，则直线的斜率为，

由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，

所以实数的取值范围是

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．

（1）共有多少种不同的报名方法？

（2）甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？

（3）甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？

（4）每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？

（5）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）   

（5）

【分析】（1）每个同学都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；

（2）分析可知，丙、丁各有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；

（3）由题意可知，甲、乙报名的方法种数为，丙有种选择，丁有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；

（4）将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，然后再将这三组同学分配给、、三个项目，结合分步乘法计数原理可得结果；

（5）对项目的报名人数进行分类讨论：①项目没人报；②项目只有一人报.计算出两种情况下报名方法种数，再结合分类加法计数原理可得结果.

【小问1详解】

解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为.

【小问2详解】

解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择，

所以，不同的报名方法种数为.

【小问3详解】

解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为，

丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择，

由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.

【小问4详解】

解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、，

然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目，

所以，不同的报名方法种数为.

【小问5详解】

解：分两种情况讨论：

①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种；

②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同，

则、项目报名的人数均为，

则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名，

由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.

综上所述，不同的报名方法种数为.

17. 在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．

（1）求中国队以的比分获胜的概率；

（2）求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；

（3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）   

（2）   

（3）分布列见详解，.

【分析】（1）由题意可知中国队前三局都获胜，根据公式计算即可；

（2）先失一局再获胜，分为两种情况进行求解，即①中国队连胜3局，②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，利用公式计算即可；

（3）由题意知，分别求出对于的概率，列出分布列，求出数学期望即可.

【小问1详解】

设中国队以的比分获胜的事件为，

所以概率为：.

【小问2详解】

设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为，

则有2种情况：

①中国队连胜3局，此时的概率为：；

②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，

此时概率为：；

所以.

【小问3详解】

由题意知，

则，

，

，

所以的分布列为：

 所以的数学期望为：

.

18. 已知函数．

（1）求在点处的切线方程；

（2）求证：；

（3）若函数无零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【分析】（1）利用导数几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；

（2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解；

（3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，

所以，

所以在点处的切线的斜率为，

故在点处的切线方程为，即.

【小问2详解】

依题意知，函数的定义域为，

，

令，则，解得；

令，则，解得或；

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，取得最大值为，

所以.

【小问3详解】

依题意得，

，

当时，，在定义域上无零点；满足题意.

当时，，所以，

令，得；

令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，取得最大值为，

因为无零点,

所以，解得；

当时，因为，

所以，即，

所以在定义域上无零点；满足题意.

综上所述，实数a的取值范围