2022-2023学年天津市河西区高二上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年天津市河西区高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由斜率和倾斜角关系可直接得到结果.

【详解】由题意知：直线的斜率.

故选：A.

2．已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（    ）

A． B． C． D．以上都不能

【答案】C

【分析】根据空间向量基本定理判断一组向量是否共面，即可判断这组向量能否作为空间的基底.

【详解】∵，

∴与，共面，

∴不能与，共同构成空间向量的一组基底．

易知均能与，共同构成空间向量的一组基底．

故选:C．

【点睛】本题考查了利用空间向量基本定理判定一组向量能否作为基底，属于基础题.

3．直线的一个方向向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由直线的方程，先求斜率，结合直线的方向向量的定义，即可得到答案．

【详解】解：因为的斜率，

结合选项可知直线的一个方向向量为．

故选：．

4．已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，设，根据，列出方程即可求解.

【详解】设，则，，由，得

，解得，故

故选：B

5．在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.

【详解】

如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，

所以，

所以.

故选：C

6．已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a=（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1

【答案】C

【详解】试题分析：两直线互相垂直，满足，整理为，解得或，故选C.

【解析】直线的位置关系

7．已知，，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义直接计算求解．

【详解】解： 向量在向量上的投影向量为

．

故选：B．

8．判断圆与圆的位置关系为（    ）

A．相交 B．内切

C．外切 D．内含

【答案】B

【分析】根据圆的一般式方程分别求出两圆的圆心、半径及圆心距，再判断圆心距与两圆的半径和(差)之间的关系即可得结论.

【详解】解：因为圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

圆心距为，

所以两圆内切.

故选：B.

9．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】[方法一]：设而不求

设，则

则由得：，

由，得，

所以，即，

所以椭圆的离心率，故选A.

[方法二]：第三定义

设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：

故，

由椭圆第三定义得：，

故

所以椭圆的离心率，故选A.

二、填空题

10．已知，，则向量的坐标为______.

【答案】

【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.

【详解】已知，，则.

故答案为：

11．经过，两点的直线的斜率______.

【答案】

【分析】根据两点间的斜率公式求解即可．

【详解】由题经过,两点的直线的斜率．

故答案为：

12．椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于______.

【答案】14

【分析】设左、右焦点为,利用椭圆的定义即得解.

【详解】设左、右焦点为, 设，

由题得

因为，所以.

所以点P与另一个焦点的距离等于14.

故答案为：14

13．直线被圆截得弦的长为___________．

【答案】

【详解】试题分析：将圆的方程化为标准式，可得，利用点到直线的距离可以求得弦心距为，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为．

【解析】直线被圆截得的弦长．

14．PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________

【答案】

【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得

15．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是___________.

【答案】

【分析】设动点，用坐标表示已知条件并化简即可．

【详解】设，则，化简得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为，用坐标表示出题中动点满足的几何条件，然后化简即可．

三、解答题

16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.

(1)求圆的方程；

(2)求圆关于直线对称的圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆心为，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，且，由此可构造方程求得圆心坐标和半径，进而得到圆方程；

（2）设圆心关于直线的对称点为，根据连线与直线垂直、中点在直线上可构造方程组求得点坐标，又半径不变，由此可得对称的圆的方程.

【详解】（1）由题意可设圆的圆心为，

圆与直线相切，且过点，

，解得：，圆心，

半径，圆的方程为：.

（2）设圆心关于直线对称的点为，

则，解得：，即，

圆关于直线对称的圆的方程为：.

17．如图所示，在三棱柱中，和都是边长为2的正方形，平面平面，点G、M分别是线段AD、BF的中点.

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）找到的中点，构造平行四边形，通过线线平行证明线面平行；

（2）建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标系，找到对应面的法向量代入面面角公式计算公式计算即可.

【详解】（1）如图作线段的中点H，连接，，

⸪是的中位线，⸫且，

⸪点G是线段AD的中点，⸫且，

⸫，⸫四边形是平行四边形，

⸫，且平面，平面，

⸫平面.

（2）如图建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标系.

设平面的法向量为，

，

，

设平面的法向量为，可得，

令，则，故，

，

综上：平面与平面夹角的余弦值为.

18．已知椭圆的焦距为1，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于，两点，点为椭圆的右焦点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用焦距和离心率求出，，然后利用，求出，最后得出标准方程；

（2）先求出直线的方程，然后联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理得出，的值，然后计算的面积即可.

【详解】（1）由题可知，，得，，因为，所以，

所以椭圆的标准方程的标准方程为，即.

（2）由题可知，直线的斜率为，

所以直线的方程为，可化为，

设，

联立，得，

由韦达定理得，，

.