2022-2023学年浙江省台州市海协作体高一下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年浙江省台州市海协作体高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若a，，i是虚数单位，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据复数相等的充要条件列出方程，求解即可得出答案.

【详解】根据复数相等的充要条件可得，解得，

所以，.

故选：D.

2．已知向量，，若，则（    ）

A．3 B．5 C．6 D．9

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示得出方程，求解即可得出答案.

【详解】根据已知可得，，解得.

故选：C.

3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出圆锥的轴截面，根据已知求出圆锥的母线，进而根据侧面积公式即可得出答案.

【详解】作出圆锥的轴截面如图

由已知可得，，，所以，

所以，圆锥的母线为，

所以，圆锥的侧面积为.

故选：B.

4．在中，已知，，，则角（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】直接利用正弦定理求解.

【详解】在中,由正弦定理，，结合题干数据，解得，

又，故，结合，解得

故选：A

5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

6．设非零向量，的夹角为，且，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知求出.由，平方整理即可得出.然后数量积的运算律，可求出，开方即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

又，

所以，

整理可得，.

则，

所以，.

故选：A.

7．如图，在△ABC中，M为BC边上一点，，，，△ABC的面积为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，则，，根据面积可求出.然后在以及中，根据余弦定理求出的值.最后在中，根据余弦定理，即可得出答案.

【详解】设，则，，

则，

所以，，，.

在中，由余弦定理可得，，

所以.

同理可得，在中，有.

在中，由余弦定理可得，

.

故选：C.

8．如图，在棱长为1的正方体中，P为正方形内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，取的中点为，连接，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上，由此求得长的范围.

【详解】如图所示，取的中点，取的中点为，连接，

由三角形的中位线的性质，可得，则，

又由平面，平面，可得平面，

连接，可得且，

则四边形为平行四边形，可得，

因为平面，平面，所以平面，

又因为，平面，所以平面平面，

由直线与平面无公共点，所以点在线段上，

当为的中点时，取得最小值，最小值为，

当与点或重合时，取得最大值，最大值为，

所以线段的长的范围是.

故选：B.

【点睛】方法点拨：取的中点，取的中点为，连接，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上是解答的关键.

二、多选题

9．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ）

A．

B．复数的虚部为2

C．复数在复平面对应的点在第一象限

D．为纯虚数，则实数

【答案】AD

【分析】根据复数的计算即可求解.

【详解】,为纯虚数，则,故A,D对.

复数的虚部为,,对应的点为，不在第一象限，故B,C错误.

故选：AD

10．如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．与所成的角为

D．与为异面直线

【答案】BCD

【分析】由异面直线定义可知AD正误；证得平面后，利用线面垂直性质可知B正确；由可知所求角为，由长度关系可得，知C正确.

【详解】对于A，平面，，，平面，

与是异面直线，A错误；

对于B，，，，平面，

平面，又平面，，B正确；

对于C，，即为异面直线与所成的角，

，为等边三角形，，C正确；

对于D，，平面，，平面，

与为异面直线，D正确.

故选：BCD.

11．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则△ABC一定是锐角三角形

C．若，则△ABC一定为直角三角形

D．若，则△ABC一定是等腰三角形

【答案】AC

【分析】根据正弦定理结合已知可得，即可得出A；B根据余弦定理只能得出C为锐角，无法判断A、B的情况；根据余弦定理角化边，结合已知整理，即可判断C、D项.

【详解】对于A项，由正弦定理可得，，所以，所以，故A项正确；

对于B项，由余弦定理可得，所以为锐角，但无法判断角，故B项错误；

对于C项，由余弦定理以及，代入已知整理可得，，所以△ABC一定为直角三角形，故C项正确；

对于D项，由余弦定理以及，代入已知整理可得，，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D项错误.

故选：AC.

12．如图，以为圆心，1为半径的圆C，△ABD为圆C的内接正三角形，M为边BD的中点，当△ABD绕圆心C转动，同时N在边AB上运动时，的取值有可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由题意求出正三角形△ABD的边长为，则，，设，则，根据数量积的运算得，结合三角函数的性质得出的范围，判断即可.

【详解】设正三角形△ABD的边长为，

因为外接圆的半径为1，所以，解得，

则，，又，

设，则，

,

∵，，

∴，

∴，由此可知ABC符合.

故选：ABC.

三、填空题

13．设复数z满足（其中i是虚数单位），则      ．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案.

【详解】,

故，

故答案为：

14．中，角A、B、C所对的边为，若，，，则的面积为     ．

【答案】/

【分析】利用余弦定理求得边c，再利用三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】因为，，，

则，即，

解得或（舍去），

所以.

故答案为：.

15．如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，，，则球O的体积等于            ．

【答案】

【分析】将该三棱锥补为一个长方体，求出长方体外接球的半径，即可得出答案.

【详解】将三棱锥补为一个同一顶点出发的三条棱长分别为的长方体，

则三棱锥外接球的半径，即等于该长方体外接球的半径.

易知长方体外接球的半径，

所以，球O的体积.

故答案为：.

16．设点是边长为2的正三角形的三边上的动点，则的取值范围为     

【答案】

【分析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标，写出各个点的坐标，分别讨论点在上.写出点坐标，由平面向量的坐标表示分别表示出，结合平面向量数量积的坐标运算求得，再根据二次函数的性质即可求得取值范围.

【详解】根据题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标：

正三角形的边长为2，则，点是三边上的动点，

，当在线段上时，设，

则

所

所以当时取得最小值为；当时取得最大值为2.

，当在线段上时，

直线的方程为，

设，

则，

所

所以当时取得最小值为0；当或时取得最大值为2.

，当在线段上时，

直线的方程为，

设，

则，

所，

，

，

，

所以当时取得最小值为；当时取得最大值为2.

综上可知，的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了平面向量在平面直角坐标系中的应用，由坐标法研究向量的数量积，分类讨论思想的综合应用，计算量大，属于难题.

四、解答题

17．已知复数．

(1)若，求a的值；

(2)求的最小值，

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解；

（2）根据复数模的公式，化简得到，进而求得有最小值.

【详解】（1）解：由复数，

可得，

所以，解得或．

（2）解：由复数，

可得，

所以当时，有最小值，最小值为.

18．已知向量，，．

(1)求；

(2)若，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知求出，然后根据数量积的运算律，即可求出答案；

（2）根据已知可得，然后根据数量积的运算律展开，结合已知条件，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得，

所以，

所以，．

（2）由，可得，

即，

即．

解得，．

19．如图，正三棱柱中，，，点为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过直线与直线平行证直线与面平行.

（2）通过等体积转化进行求解.

【详解】（1）解：连接，与相交于，连接，则是的中点，

又为的中点，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）取的中点，连，则，且，

又面，，且，

∴面，

，

.

20．在锐角三角形中，角的对边分别为,且．

(1)求角的⼤小；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对已知条件的边换成角，结合三角公式求出，根据的范围得出角的度数；

（2）根据正弦定理，将边用角来表示，转化成三角函数的值域问题的求解.

【详解】（1）由正弦定理得，

又，，

则，

化简得，

又，所以，则，

因为，

所以；

（2）由正弦定理得：，

∴，，

∴，

；

为锐角三角形，

∴，

解得： ，

∴，

∴，

∴，

∴，

即△ABC的取值范围为.

21．如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点．

(1)当P为线段中点时，求证：平面平面；

(2)当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角P-AB-C的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意，得平面，从而，又，可得平面，由此可证得结论；

（2）由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为，求得，作，，可证得∠PNM为二面角P-AB-C的平面角，求解即可.

【详解】（1）由题意，，，，平面，故平面，

∵平面，∴，

∵P为的中点，∴，且，平面

∴平面，

又∵平面ABP，∴平面平面.

（2）由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为，

故，解得．

作，，连接PN如图．

则平面ABC，又平面ABC，故．

又，平面PMN，故平面PMN，故∠PNM为二面角P-AB-C的平面角，

又，，故，

故，

即二面角P-AB-C的余弦值为.

22．如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．

(1)用，表示；

(2)若，，求的值；

(3)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知可得出，然后即可得出答案；

（2）先根据已知结合（1）的结论得出，然后根据三点共线得出，即可得出答案；

（3）先用得出，然后根据数量积的运算律可推得.根据（2）的结论可得出，，，换元，可得出.然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质，即可得出答案.

【详解】（1）因为D为BC中点，

所以，.

又因为，

所以.

（2）若，，

所以，，

所以.

因为M，O，N三点共线，

所以，

所以，.

（3）因为，，，

所以，

.

由（2）得，得，，

令，，则，

得.

根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，

且，，所以，

所以，.

因为，

所以，根据二次函数的性质可知，

所以的取值范围为.

【点睛】思路点睛：用基底表示出向量，根据向量数量积的运算律得出的表达式，然后根据的关系化简，进而根据基本不等式以及二次函数的性质，即可得出答案.