2022-2023学年辽宁省辽东区域教育研共同体高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省辽东区域教育研共同体高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据递推关系即可求解.

【详解】由可得，所以，，

故选：A

2．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率公式可得解.

【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，

所以，，

由条件概率可得：，

故选D.

【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.

3．在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界，我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始，已知二十四节气及晷长变化如图所示，若冬至、立春、春分晷长之和为三丈一尺五寸，雨水的晷长为九尺五寸，则小暑晷长为（一丈=十尺=一百寸）（    ）

A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸

【答案】B

【分析】设冬至晷长为尺，相邻两个节气晷长减少或增加的量为，依题意表示各节气的晷长，即可得到方程组，解得、，从而代入计算可得.

【详解】设冬至晷长为尺，相邻两个节气晷长减少或增加的量为，

则立春晷长为尺，春分晷长为尺，雨水晷长为尺，小暑晷长为尺，

依题意可得，解得，

所以小暑晷长为（尺），即小暑晷长为二尺五寸．

故选：B．

4．为调查某企业环境污染整治情况，得到了7组成对数据如下表所示：

由上表中数据求得Y关于x的回归直线方程为，据此计算样本点处的残差（残差=实际值-预测值）为（    ）

A．-0.25 B．0.25 C．0.15 D．-0.15

【答案】D

【分析】利用样本中心求解，即可求解时的预测值，由残差定义即可求解.

【详解】由表中数据可得，

故将样本中心代入得，

故，因此当时，,

所以样本点处的残差为，

故选：D

5．设等比数列满足，，则的最大值为（    ）

A．32 B．16 C．128 D．64

【答案】D

【分析】结合已知条件，求出的通项公式，然后求解当时的范围，进而可得到答案.

【详解】因为等比数列满足，，

所以，

从而，

故，则数列是单调递减数列，

当时，，

故.

故选：D.

6．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型结合对立事件的概率求法运算求解.

【详解】甲、乙均有3家社区医院可以选择，故共有个基本事件，

记“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件A，共有 3个基本事件，其概率，

所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率.

故选：D.

7．已知的展开式中的系数为22，则展开式中x的奇数次幂项的系数之和为（    ）

A．64 B．32 C．16 D．8

【答案】B

【分析】根据二项式展开式的特征可得，进而利用赋值法即可求解.

【详解】,故展开式中的系数为，

令，则令，

令得，两式子相减可得，

故选：B

8．若数列满足，则称此数列为“次等比数列”.现从1，2，4，8，16，32这6个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“次等比数列”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由列举法结合组合数公式以及古典概型概率公式得出这个数具有“次等比数列”性质的概率.

【详解】从个数中随机选取个不同的数共有种不同的选法，

因为，

所以具有“次等比数列”性质的个数有：，，，

，，，共种，

所以这个数具有“次等比数列”性质的概率为.

故选：D

二、多选题

9．已知随机变量X的分布如下，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据数学期望和方差的公式求解.

【详解】由分布列可知：，由数学期望定义可知：，A正确；

由可知：，B错误；

由方差的定义可知：，C正确；

，D错误；

故选：AC.

10．如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据作差法即可判断BCD，举反例即可判断A.

【详解】对于A，当，故不是递增数列，故A不符合，

对于B，，故是递增数列，故B符合，

对于C,，故为递增数列，,C符合，

对于D,，故为递增数列，D符合,

故选：BCD

11．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭中既有男孩又有女孩，事件B：该家庭中至多有一个男孩，则下列结论正确的是（    ）

A．若该家庭中有两个小孩，则

B．若该家庭中有三个小孩，则

C．若该家庭中有两个小孩，则A与B相互独立

D．若该家庭中有三个小孩，则A与B相互独立

【答案】ABD

【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和C，若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断B和D.

【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种情况，

(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)(男，女)，(女，男)，

则A与B不互斥，，，，

于是，所以A与B不相互独立，则A正确、C错误；

若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，共8种情况，

(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，

(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，则A与B不互斥，

，，，于是，

所以A与B相互独立，则C和D均正确.

故选：ABD

12．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．数列是等比数列 D．的数学期望

【答案】ACD

【分析】利用已知条件求出，，即可判断A，B；

利用推出，可判断C；

利用可判断D.

【详解】由题意，，故A正确；

，，故B错误；

当时，

整理得，

，

故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；

，

，

，

因，

所以，

，

故D正确，

故选：ACD.

三、填空题

13．一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取n次，用X表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的n的一个取值为_________.

【答案】9（答案不唯一）

【分析】根据二项分布公式计算.

【详解】显然，，

又，是9的倍数；

故答案为：9.

14．中国救援队在国际救援中多次创造生命救援奇迹，为祖国赢得了荣誉，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊.现有5支救援队前往3个不同受灾地区进行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾地区，且每个受灾地区至少安排1支救援队，其中甲、乙两个救援队只能去同一个受灾地区，则不同的安排方式共有_________种.

【答案】36

【分析】分类讨论是否有其他救援队与甲、乙两个救援队一起，结合组合数运算求解.

【详解】若只有甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有种；

若还有一支救援队与甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有种；

所以不同的安排方式共有种.

故答案为：36.

15．某企业未引入新技术前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中为单件产品的成本（单位：元），且；引入新技术后，单件产品的成本不变，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若引入新技术后，则实数_________.（附：若，则，，.）

【答案】

【分析】根据正态分布的性质求出的值，即可得解.

【详解】因为且，所以，解得，

所以引入新技术后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，

又，所以.

故答案为：

16．将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的n的最小值为_________.

【答案】19

【分析】根据给定条件，求出数列的通项形式，再分析不等式成立的最少项数作答.

【详解】令数列的第项与数列的第项为公共项，即，，

于是，则或，，

即有或，，

因此或，，

从而数列是数列和的项从小到大排列得到的，

显然数列都是递增的，

而当时，，，

当时，，，显然，

即数列前18项均小于2023，第19项为2116，是第一个大于2023的项，

所以使得成立的n的最小值为19.

故答案为：19

四、解答题

17．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.数列满足，当时，_________.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)选择条件见解析，

(2)

【分析】（1）若选①利用累加法计算可得，若选②，可得，再利用累乘法计算可得；

（2）由（1）知，利用裂项相消法计算可得.

【详解】（1）若选①，当时，由，

得 ，

显然对于上式也成立，所以的通项公式；

若选②，当时，由，得，

所以

，

显然对于上式也成立，所以的通项公式；

（2）由（1）知，

所以数列的前项和

.

18．为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了A疗法，另一部分患者采用了B疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：

根据图表，得到以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：

(1)求2×2列联表中的x，y，z的值，并判断是否有95%的把握认为此种疾病是否治愈与治疗方法有关；

(2)现从采用A疗法的患者中任取2名，设治愈的患者数为，求的分布列与期望.

附：，.

【答案】(1)，，；有

(2)分布列见解析，1

【分析】（1）根据题意列式求解，完善列联表，根据公式求，并与临界值对比分析；

（2）根据题意结合超几何分别求分布列和期望.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以列联表为

则，

因为，所以有95%的把握认为此种疾病是否治愈与治疗方法有关.

（2）由题意可知：的取值为0、1、2，

则，

故的分布列为

所以.

19．农民脱贫致富，已经成为当下中国社会的大政方针，近年来全面建成小康社会取得伟大历史成就，脱贫攻坚战取得决定性胜利，为实现脱贫目标，某县积极探索区域特色经济，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收.

(1)该县统计了2022年6~12月这7个月的月广告投入x（单位：万元）和月销量y（单位：万件）的数据如表所示：

根据上表数据，求该县这7个月的月广告投入x和月销量y的相关系数（精确到0.01），并用相关系数说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；

(2)该县为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行调研，对因广告宣传导向而购买特产客户的年龄段和性别统计结果是：客户群体中青年人约占15%，其中男性为20%；中年人约占50%，其中男性为35%；老年人约占35%，其中男性为55%，以样本估计总体，视频率为概率，在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户.

（ⅰ）求抽取的客户是男性的概率；

（ⅱ）若抽取的客户是男客户，则他是哪个年龄段的可能性最大.（请直接写出答案）

参考数据：，，；

参考公式：相关系数.

【答案】(1)0.99，可以

(2)（ⅰ）；（ⅱ）老年人

【分析】（1）由相关系数的计算公式即可代入求值，

（2）根据全概率计算公式可求解抽到男性的概率，由贝叶斯公式即可求解老年人的可能性最大.

【详解】（1）由已知可得，，，，

所以，.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（2）（ⅰ）分别设抽取的客户为青年人、中年人、老年人为事件、、，抽到男性为事件.由已知可得，，，，

，，，

故抽取的客户是男性的概率为.

（ⅱ）老年人.理由如下:由于抽取的客户是男客户，

则他是中青年年龄段的可能性为，

是中老年年龄段的人的可能性为，

是老年人年龄段的人的可能性为，

所以老年人年龄段的可能性最大.

20．已知数列满足，且.

(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；

(2)记数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，

（2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）变形得：，

又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列.

从而，即.

（2）由（1）知，故数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列；偶数项是以9为首项，9为公比的等比数列，所以

.

21．2023年是我国全面贯彻党的二十大精神的开局之年，3月初我们迎来了十四届全国人大一次会议和全国政协十四届一次会议的胜利召开.2023年全国两会顺利结束以后，为调查学生对两会相关知识的了解情况，某市对全市高中生开展了两会知识问答活动，现从全市参与该活动的学生中随机抽取1000名学生，得到了他们两会知识问答得分的频率分布直方图如下，由频率分布直方图可认为该市高中生两会知识问答得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和.

(1)若该市恰有3万名高中生，试估计这些高中生中两会知识问答得分位于区间的人数；

(2)若规定得分在84.7以上的为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到的学生得分不是优秀，则继续抽取下一个，直到取到得分优秀的学生为止，如果抽取次数的期望值不超过7，且抽取的总次数不超过n，求n的最大值.

（附：，，，，若，则，）

【答案】(1)24450

(2)7

【分析】（1）根据正态分布的性质求出给定区间的概率，即可估计人数；

（2）先求出优秀的概率，然后求出几何分布列，利用错位相减法求出期望，根据函数性质及题目数据求出n的最大值.

【详解】（1）由题意，全市高中生中两会知识问答得分近似服从正态分布，

则，所以，

而，

所以该市3万名高中生中两会知识问答得分位于区间的人数约为（人）；

（2）由可知，任意抽取一人，得分优秀的概率，

设抽取次数为，则的分布列如下：

故，

又，

两式相减得：，

所以，

而在时递增，

结合，，知，

当时，；当时，；当时，，

所以的最大值为7.

22．已知数列的前n项和满足.

(1)求的通项公式；

(2)证明：能被5整除；

(3)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由的关系即可作差求解，

（2）由二项式展开式即可求解，

（3）利用数学归纳法，结合放缩法以及等比数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）因为，所以，故.

当时，，此时，即，

所以；

（2）由(1)知，

,

注意到上式中，等号右边前面1011项都是10的倍数，最后两项为，

所以能被5整除；

（3）由(1)知当n=1时，；

当n≥2时，，

于是

，

综上：对任意的,.