辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

20222-2023学年度下学期期中考试高二试题

数学

命题人：沈阳31中  孔庆彬 审题人：丹东二中  卢丹

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数的导数为（    ）

A. B.

C. D.

2.已知数列满足，，其前项和为，则（    ）

A. B. C.3 D.

3.用数学归纳法证明，当时，等式左边应在时的基础上加的项是（    ）

A.  B.

C.  D.1

4.将一个底面半径为1，高为2的圆雉形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（    ）

A. B. C. D.

5.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（    ）

A. B. C.0.8 D.0.96

6.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数，在某种玩法中，用表示解开个圆环所需的最少移动次数，若数列满足，且当时，，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（    ）

A.10 B.16 C.21 D.22

7.已知数列的前项和满足且，则（    ）

A.40 B.35 C.12 D.5

8.已知函数（其中，为自然对数底数）在处取得极小值，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）

9.设函数，则下列结论错误的是（    ）

A.函数在上单调递增

B.函数在上单调递减

C.若，则函数的图象在点处的切线方程为

D.若，则函数的图象与直线只有一个公共点

10.数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A.已知，，则使得，，成等比数列的充要条件为

B.若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022

C.若，则数列前5项的和最大

D.设是等差数列的前项和，若，则

11.关于函数，下列说法正确的是（    ）

A.函数的极小值为2

B.函数有且只有1个零点

C.当时，恒成立

D.对任意两个正实数，，且，若，则

12.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样的数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数的解析式唯一，且满足，.则函数的图象在点处的切线方程为______.

14.购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率，按复利计算，那么每期应付款为______元.

15.已知数列的前项和为，且满足，则______.

16.已知函数，，若图象向下平移个单位后与的图象有交点，则的最小值为______.

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分10分）

已知等差数列为递增数列，前项和为，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和

18.（本小题满分12分）

为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了800名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：

（1）依据列联表中的所有样本观测数据，能否认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；

（2）若从学校所有女生中随机抽取3人，用表示这3人中经常锻炼的人数，用样本频率估计概率，求的分布列及数学期望.

附：（1），其中.

（2）临界值表

19.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；

（2）试讨论函数的单调性.

20.（本小题满分12分）

某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：

（1）根据上述提供的数据，求出关于的回归方程，并预测进货量为16（吨）时的销售天数；（结果保留整数）；

（2）在该商品进货量不超过6吨的范围内任取2个值，求该商品进货量恰好有1个值不超过3吨的概率.

参考数据和公式：，，，.

21.（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，且数列的前项和为，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

设函数，其中.

（1）若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值.

（2）已知导函数在区间上存在零点，证明：当时，.

2022—2023 学年下学期期中考试高二试题答案

一、单选题：

1-5.B、B、C、C、C 6-8：D、D、B

二、多选题：

9.ABD 10.CD 11.BC

10.ABD【详解】A项，，，，，，，，，，，，，…，所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A正确；

C项，，故C错误；

B项，斐波那契数列总有：，所以，

，所以，故B正确；

D项，因为，，∴，，

，…，

所以，故D正确.

三、填空题：

13.；

14.880；【详解】设每期应还款元，则

第1期还款后，还欠款

第2期还款后，还欠款…

第12期还款后，还欠款

第12期还款后，还欠款应为0.

所以

即

所以

故答案为：880.

15.502；

16.2；【详解】由题意可得，即在上有解，

设，其中，则，

令，其中，则，

故函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，

即，

令，其中，则，

故在上递增，

因为，则，，由可得，

所以，，则，

且当时，，则，此时函数单调递减，

当时，，则，此时函数单调递增，

故，

所以，.故答案为：2.

四、解答题：

17.解：（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，

因为，，成等比数列，所以，即①，

又，所以②，

联立①②解得，

故.

（2）由（1）可知，，

所以数列的前项和

18.解：（1）由题意得

，

因此可以认为的把握认为性别因素会影响学生锻炼的经常性.

（2）由频率估计概率得，在学校女生中随机抽取1个经常运动的女生的概率为，

由题得，则，

，

，

，

所以的分布列为：

所以的期望.

19.解：（1）由题意时，函数，

所以，

令得或，.

当或时，；当时，；

所以在和上单调递增，在上单调递减.

所以函数在时取得极大值，且；

在时取得极小值，且，又，，

所以函数在区间上取得最大值为，最小值为；

（2），且，

当时，，此时在单调递增；

当时，时，，此时单调递增；

时，，此时单调递减；

当时，时，，此时单调递增；

时，，此时单调递减；

综上所述：当时，函数单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，；

函数的单调递减区间为.

当时，函数的单调递增区间为，；

函数的单调递减区间为.

20.解：（1）

所以

所以，，

所以回归直线方程为，

当时，，

预测进货量为16时的销售天数为11天.

（2）进货量不超过6吨有2、3、4、5、6，共5个，任取2个的基本事件有：

，，，，，，，，，，共10种结果，

恰好有1次不超过3吨的基本事件有：，，，，，，，共6种结果，

所以所求的概率为.

21.解：（1）由，得①，

所以当时，②.

由①减②，得.

因为数列为各项均为正数的数列，所以，

又由，，得，所以，

所以，

故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.

（2）由（1），得，所以数列的前项和.

所以，

两式作差可得：

所以

由于，，则数列在上单调递增，于是

22.解：（1），，故

，故

（2），

令得或

∵在区间上存在零点，∴，即，

由此可知当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴在上，

设，则，

∵，∴，∴，

∴在上单调递减，

又，，∴

∴当时，