2022-2023学年宁夏石嘴山市第一中学、平罗中学高二下学期联考数学（文）试题含答案

2022-2023学年宁夏石嘴山市第一中学、平罗中学高二下学期联考数学（文）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】利用复数的四则运算化简，再根据复数的几何意义即可得解.

【分析】因为，

所以对应的点为，它位于第二象限.

故选：B

2．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.

【详解】∵，

，

∴.

故选：A.

3．抛物线的焦点坐标为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的标准方程为，从而可得其焦点坐标．

【详解】抛物线的标准方程为，故其焦点坐标为，故选D.

【点睛】本题考查抛物线的性质，属基础题．

4．已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=

A． B．4 C．2 D．

【答案】D

【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，

∴ ，

解得 ，

故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可．

【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2．

故选D．

【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．

6．在平面直角坐标系中，经讨伸缩变换，后，圆变成曲线（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据伸缩变换的知识求得正确答案.

【详解】，

代入得.

故选：C

7．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意转化为在上恒成立，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数是上的增函数，可得在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

令，由二次函数的性质，可得当时，可得，

所以，即实数的取值范围是.

故选：C.

8．设和为双曲线的两个焦点，若是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设,,则,由、、是正三角形的三个顶点可知,由此可求出,进而得到双曲线的渐近线方程.

【详解】设 ,则,

、、是正三角形的三个顶点,

,

,

,

,

即,

,

∵双曲线的渐近线方程为,

即为

故选B

【点睛】本题考查了双曲线里的与渐近线方程的联系，注意几何关系的运用，属于基础题．

9．有下列说法：

①若某商品的销售量y(件)关于销售价格x(元/件)的线性回归方程为＝－5x＋350，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；

②线性回归直线：＝x＋一定过样本点中心；

③在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；

④在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好.

其中正确的结论个数为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据线性回归方程的意义，以及残差，相关系数的意义，判断选项.

【详解】对于①，线性回归方程为＝－5x＋350，当销售价格为10元时，销售量近似为300件，故①错误；

对于②，线性回归直线：＝x＋一定过样本点中心，故②正确；

对于③，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故③错误；

对于④，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故④正确.

所以正确的结论有2个.

故选：B.

10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（    ）

A．(－∞，－) B．(－∞，－)∪ (，＋∞)

C．(－，) D．(，＋∞)

【答案】B

【分析】求出导函数，根据函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则函数有两不同的零点，即，从而可得答案.

【详解】解：，

因为函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，

所以函数有两不同的零点，

即，解得或，

所以a的取值范围是(－∞，－)∪ (，＋∞).

故选：B.

11．已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆的标准方程可得：c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10，再根据余弦定理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，再联立两个方程求出t1t2＝12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．

【详解】由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，

∴c＝4，

设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，

所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，

在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，

所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64，

整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②

把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③

所以③﹣②得t1t2＝12，

∴∠F1PF2＝3．

故选A．

【点睛】本题考查椭圆的几何性质与椭圆的定义，考查了解三角形的有关知识点，以及考查学生的基本运算能力与运算技巧，属于中档题．

12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.

【详解】因为函数在区间上单调递增，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，

则，

所以在上递增，又，

所以.

所以的取值范围是.

故选：B

二、填空题

13．复数的共轭复数为        

【答案】2-i/

【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以复数的共轭复数为，

故答案为：

14．在极坐标系中，点到直线的距离为            ．

【答案】2

【分析】把点坐标和直线方程转化为直角坐标系下的点坐标和直线方程，利用点到直线距离公式，即得解

【详解】由题意，计算点的直角坐标为

即

直线

即

由点到直线距离公式可得：

故答案为：2

15．函数的图象在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.

【详解】因为，则，所以，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，

即.

故答案为：.

16．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为      .

【答案】

【分析】构造函数g(x)＝f(x)－2x－1，则原不等式可化为.利用导数判断出g(x)在R上为减函数，直接利用单调性解不等式即可

【详解】令g(x)＝f(x)－2x－1，则g（1）＝f（1）－2－1＝0.

所以原不等式可化为.

因为，所以g(x)在R上为减函数.

由解得：x>1.

故答案为：.

三、解答题

17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.在该极坐标系中圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线交于点、，若点的坐标为，求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】(1)由题中已知条件圆的极坐标方程为，对其平方并利用二倍角公式进行化简，再用，代入即可；

(2)利用直线的参数的几何意义求解即可.

【详解】解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得

圆的直角坐标方程式为

（2）直线l参数方程

代入圆方程得：

设、对应的参数分别为、，则，

于是.

【点睛】本题考查了由极坐标方程转为直角坐标方程以及直线参数方程的几何意义，考查了学生的计算能力，属于一般题.

18．已知等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的性质计算即可求解公差，进而可求通项，

（2）由裂项相消即可求解.

【详解】（1）由，可得公差，所以

（2），

所以

19．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男，女两组，再将两组的分数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成列联表：

（2）判断是否有的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

参考公式：（其中）

【答案】（1）列联表答案见解析；（2）没有的把握认为“数学尖子生与性别有关”.

【分析】（1）首先根据题意得到抽取的100名学生中，男数学尖子生人，女数学尖子生人；再填写列联表即可.

（2）根据列联表计算得，从而得到答案.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生（人），女生（人）；

据此可得列联表如下：

（2），

因为，所以没有的把握认为“数学尖子生与性别有关”.

20．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求点D到平面ABE的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）通过证明，，得证平面．

（2）由，利用体积法求点D到平面ABE的距离．

【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，

∴，且，

又平面，∴平面，

又平面，∴，

又，且，平面，

∴平面．

（2）∵，，，

∴，

∴，，．

在中，，，

∴边上的高为．

∴．

设点D到平面ABE的距离为d，

根据，得，解得，

所以点D到平面ABE的距离为．

21．已知椭圆，点是椭圆C上一点，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l：与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点，当面积最大时，求m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据点是椭圆C上一点，离心率为，由，且求解.

（2 ）先求得到直线l的方程为的距离，再将直线代入椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式求得，再利用求解.

【详解】（1）由题意可得，且，，

解得，，

则椭圆的方程为；

（2）由直线l的方程为，则到直线l的距离，

将直线代入椭圆方程可得，

由判别式，

解得，

设，，

则，，

由弦长公式可得，

，

，

，

，

，

，，

当且仅当时取得等号.

即当面积最大时，m的值为.

【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

 2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则弦长公式为，

  (k为直线斜率)．

注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．

22．已知函数（为常数）

1）讨论函数的单调性；

2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；

（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．

【详解】（1）函数定义域是，

，

时，恒成立，在上是增函数；

时，时，，递减，时，，递增．

（2）即在上恒成立，则，

设，则，时，，递增，时，，递减，，所以．