2022-2023学年宁夏石嘴山重点中学高二（下）联考数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年宁夏石嘴山重点中学高二（下）联考数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  设集合 ，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  抛物线的焦点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知双曲线的离心率是，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，圆变成曲线(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设和为双曲线的两个焦点，，若是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  有下列说法：
若某商品的销售量件关于销售价格元件的线性回归方程为，当销售价格为元时，销售量一定为件；
线性回归直线：一定过样本点中心；
在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；
在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好．
其中正确的结论个数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，则面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  复数的共轭复数为______ ．

14.  在极坐标系中，点到直线的距离为______ ．

15.  函数的图象在点处的切线方程为______ ．

16.  已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．在该极坐标系中圆的方程为．
求圆的直角坐标方程；
设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．

18.  本小题分
已知等差数列中，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
 

19.  本小题分
某中学高三年级有学生人，其中男生人，女生人为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了名学生，统计了他们期中考试的数学成绩，然后按照性别分为男，女两组，再将两组的成绩分成组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

若规定成绩不小于分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成列联表：

判断是否有的把握认为“数学尖子生与性别有关”？
参考公式：其中

20.  本小题分

如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，．

求证：平面；

求点到平面的距离．

21.  本小题分
已知椭圆：，点是椭圆上一点，离心率为．
求椭圆的标准方程；
直线：与椭圆相交于，两点，且在轴上有一点，当面积最大时，求的值．

22.  本小题分
已知函数为常数．
讨论函数的单调性；
不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算以及复数的几何意义的理解，考查了化简运算能力，属于基础题．
先利用复数的乘法运算求出的代数形式，从而得到对应的点的坐标，即可得到答案．

【解答】

解：复数，对应的点的坐标为，
故复数对应的点位于第二象限．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是交集及其运算，属于基础题．
根据已知条件计算出集合，并写出集合、区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到．
【解答】
解：，
，
，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的几何性质，要注意所给的抛物线方程是不是标准方程．
根据题意，由抛物线的方程分析可得该抛物线的焦点在轴正半轴上，且，由焦点坐标公式计算可得答案．

【解答】

解：抛物线的方程为，
其焦点在轴正半轴上，且，
则其焦点坐标为，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程，属于基础题．
由双曲线方程求得，再由双曲线的离心率求得值．

【解答】

解：由双曲线，得，
又，得，
即，
解得，．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：第一个图中有根火柴棒组成，
第二个图中有个火柴棒组成，
第三个图中有个火柴组成，
以此类推
组成个系列正方形形的火柴棒的根数是
第个图中的火柴棒有
故选：．
由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是，公差是的等差数列，写出通项，求出第项的火柴根数．
本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，看出规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，
依题意，将代入圆方程，得．
故选：．
直接利用伸缩变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：曲线的方程的伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系转化为恒成立，解不等式即可得到结论．
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，根据函数的单调性转化为恒成立是解决本题的关键．
【解答】
解：要使函数是上的单调增函数，
则恒成立，
即判别式，
解得，
故实数的取值范围是，
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：若，，是正三角形的三个顶点，
设，，则，
、、是正三角形的三个顶点，
，，
，
，即，
，
双曲线的渐近线方程为，
即为
故选：．
设，，则，由、、是正三角形的三个顶点可知，由此可求出，进而得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的性质，主要是渐近线方程的求法，在解题时要注意审题，由、、是正三角形的三个顶点建立方程，考查运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：线性回归方程为，当销售价格为元时，销售量近似为件，不一定就是件，故错误；
线性回归直线一定过样本点的中心，故正确；
在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故错误；
在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好，故正确．
正确的结论有个．
故选：．
由线性回归方程的意义判断；利用残差图与预报精确度的关系判断；由关指数与回归效果的关系判断．
本题考查统计及其有关概念，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
又既有极大值又有极小值，
在上有两个不相等的实根，
，
解得：或，
故选：．
由题意知，从而可得在上有两个不相等的实根，从而可得，从而解得．
本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，将条件转化为有两个不同的根，是解决本题的关键，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：椭圆方程为，
，，，
设，，
由椭圆的定义可得，
在中，，
根据余弦定理可得，
整理可得，
把两边平方得 ，
由得，
面积为．
故选：．
根据椭圆的几何性质，余弦定理，三角形的面积公式，方程思想，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，椭圆的焦点三角形面积的求解，余弦定理与三角形面积公式的应用，方程思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
在上单调递增，，
所以．
所以的取值范围是．
故选：．
由分离参数，利用构造函数法，结合导数，求得的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以复数的共轭复数为．
故答案为：．
根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可．
本题主要考查复数的除法运算法则，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：点转换为直角坐标为；
根据转换关系，直线转换为；
所以．
故答案为：．
首先把极坐标转换为直角坐标，把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直角坐标和极坐标之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
则，
所以，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程．
本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，，
则．
又不等式，即，
，
，
在上为减函数，
，
，即不等式的解集为．
故答案为：．
构造函数，则原不等式可化为利用导数判断出在上为减函数，直接利用单调性解不等式，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：圆的方程为整理得：，由极坐标与直角坐标互化公式，
得圆的直角坐标方程式为．
把直线的参数方程为为参数代入圆方程得：，
设、对应的参数分别为、，
则，，
于是． 

【解析】直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

18.【答案】解：由，可得公差，
所以．
，
所以． 

【解析】由等差数列的性质计算即可求解公差，进而可求通项，
由裂项相消即可求解．
本题主要考查等差数列的通项公式，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由已知条件可得，抽取的名学生中，男生占人，
女生占人，
由频率分布直方图可知，在抽取的名学生中，男生尖子生占人，
女生尖子生占人，
可得列联表如下：

，
没有的把握认为“数学尖子生与性别有关”． 

【解析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及列联表之间的数据关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ证明：，，分别为，的中点，
，且，
又平面，平面，
又平面，，
又，且，平面，平面，
平面．
Ⅱ，，，
，
，，．
在中，，，
边上的高为．
．
设点到平面的距离为，
根据，得，解得，
点到平面的距离为． 

【解析】Ⅰ证明平面，可证，进而利用线线垂直证明线面垂直；
Ⅱ利用等体积法求点到平面的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到面距离的求法，属中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得，且，，
解得，，
则椭圆的方程为；
由直线的方程为，则到直线的距离，
将直线代入椭圆方程可得，
由判别式，解得，
设，，
则，，
由弦长公式可得，
，
当且仅当时取得等号．
即当面积最大时，的值为． 

【解析】运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程；
由点到直线的距离公式和弦长公式，结合三角形的面积公式，以及基本不等式可得所求最大值，以及取得最值的条件．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数定义域是，，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
综上，时，在上是增函数；
时，在上是减函数，在上是增函数；
即在上恒成立，则，
设，则，
时，，递增，时，，递减，
，
所以，即实数的取值范围为． 

【解析】求导得，分与两类讨论，可得函数的单调性；
依题意，在上恒成立恒成立，设，求导分析可得，继而可得实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与等价转化思想的运用，考查构造法与逻辑推理能力及运算能力，属于中档题．