2022-2023学年福建省德化第二中学高二下学期阶段学业水平测试（期中）数学试题含答案

2022-2023学年福建省德化第二中学高二下学期阶段学业水平测试（期中）数学试题

一、单选题

1．设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题可根据导数的定义以及几何意义得出结果.

【详解】因为，

所以在点处的切线的斜率为，

故选：A.

2．设曲线在点处的切线斜率为3，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出导函数主，然后由求得切点横坐标，得切点坐标．

【详解】，由得，时，，所以．

故选：B．

3．将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（    ）

A．6 B．24 C．60 D．120

【答案】B

【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，分析连号的情况就可得甲的分法，②将剩下的3张参观券分给其他三人，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有种分法，

则有种不同的分法；

故选:B．

4．已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中 的系数(　　)

A．5 B．40 C．20 D．10

【答案】D

【详解】试题分析：先对二项式中的x赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，求出r，将r的值代入通项求出二项展开式中x4的系数．在中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n，∴2n=32，∴n=5，得到∴二项展开式中x4的系数，故选D.

【解析】二项展开式的系数

点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．

5．袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求解出“第一次摸到蓝球”的概率；“第一次摸到蓝球且第二次摸到红球”的概率；根据条件概率公式可求得结果.

【详解】记“第一次摸到蓝球”为事件；“第二次摸到红球”为事件

则，

所求概率为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.

6．设随机变量，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二项分布求解即可

【详解】

解得

故选：A

7．甲､乙､丙､丁四位同学各自对，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数，如下表

则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】根据的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，即可判断得到答案．

【详解】解：因为，

所以甲同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．

故选：．

8．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ）

A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系

【答案】C

【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对；

对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；

对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；

对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对.

故选：C.

二、多选题

9．如图是函数的导函数的图像，则以下说法正确的是（    ）

A．-2是函数的极值点；

B．函数在处取最小值；

C．函数在处切线的斜率小于零；

D．函数在区间上单调递增.

【答案】AD

【分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断

【详解】根据导函数的图象可得，

当上，，在上，，

故函数在上函数单调递减；在，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，所以A正确；

其中两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确；

由图象得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确；

由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以D是正确的，

故选：AD

10．设，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．展开式中二项式系数最大的项是第项 D．

【答案】ABD

【分析】根据赋值法即可求解AB，根据二项式系数的性质即可求解C，根据通项特征即可求解D.

【详解】对于A令得 ，故A正确 ；

对于B,令得，

而由A知：，因此，故B正确 ；

对于C，因为的展开式中二项式系数最大为，为第项，故C不正确 ；

对于D,因为的展开式中，，

所以，，，

因此，，所以，故D正确，

故选:ABD

11．已知随机变量X的分布列如下表所示．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用概率性质即可列方程组求得m、n，则可利用定义求得期望

【详解】依题意得，解得，，，

故选：AC．

12．如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（    ）

A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为

C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为

【答案】CD

【分析】根据等高堆积条形图即可结合选项求解.

【详解】由图可知，女生喜欢数学的占，男生喜欢数学的占，男生不喜欢数学的百分比为，故B错误，D正确；

显然性别与喜欢数学有关，故A错误；男生比女生喜欢数学的可能性大些，故C正确.

故选：CD.

三、填空题

13．一个质量为的物体做直线运动，设位移（单位：）与时间（单位：秒）之间的关系为，并且物体的动能．则物体开始运动后第5秒时的动能为       （单位：）

【答案】150

【分析】由位移与瞬时速度的关系有，将代入求速度，结合动能公式求第5秒时的动能.

【详解】由题设，，则第5秒时的速度，

所以.

故答案为：150.

14．《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制         个名字.

【答案】

【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有种不同命名分式，即可求解.

【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有种不同命名分式，

所以还可以命制个名字.

故答案为：.

15．已知随机变量服从正态分布，若，则      ．

【答案】

【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即可求得答案.

【详解】解：因为，所以，

因为随机变量服从正态分布，

所以，

所以.

故答案为：0.6.

16．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则        .

【答案】

【分析】我们根据对数的运算性质：，即可得出结论.

【详解】∵，而，故，，∴，，

∴.

故答案为：

【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.

四、解答题

17．已知函数，求：

（1）函数的图象在点处的切线方程；

（2）的单调递减区间.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；

（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.

【详解】（1）由题意得：，

，又，

在处的切线方程为，即.

（2）由（1）知：，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.

18．已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.

(1)求的值；

(2)求展开式中的常数项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二项式系数及组合数的性质计算可得；

（2）首先写出展开式的通项，再令的指数为，求出，最后代入计算可得.

【详解】（1）解：由题意得，所以.

（2）解：的展开式通项为，，

令，解得，所以展开式中的常数项为.

19．现有8道四选一的单选题，学生李明对其中6道题有思路，2道题完全没思路.有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李明从这8道题中随机任选1题.

(1)求选中的1题有思路的概率；

(2)求他做对该题的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；（2）根据全概率公式以及条件概率即可求解.

【详解】（1）设“选中1题有思路”

∴

（2）设“李明做对一道题”

由（1）

且，

∴

20．某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如表.

(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程；

(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为百万，请预估销售额需要达到多少

参考公式， .

【答案】(1)

(2)预计销售额需要达到百万

【分析】（1）首先求，再代入参考公式，即可求，代入求得回归直线方程；

（2）根据，代入回归直线方程，即可求.

【详解】（1）由表中的数据可得，，

，

，

故利润额对销售额的回归直线方程为 .

（2）该公司计划再开一个店想达到预期利润为百万，即千万，

，解得 ，故预计销售额需要达到百万.

21．新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目某研究机构为了了解学生对全文政治、历史、地理的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科，经统计，选择全文的男生有5人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的少10人.

（1）估计高一年级的男生选择全文的概率

（2）请完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．

附表：

（参考公式：，其中）

【答案】（1）．（2）见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．

【分析】（1）用频率估计概率，即可得到高一年级的男生选择全文的概率；

（2）由公式，计算观测值，结合附表即可得到答案．

【详解】（1）由题中数据可知，抽取的25名男生中，选择全文的有5人，

故高一年级的男生选择全文的概率约为．

（2）列联表如下：

根据列联表中的数据得，的观测值，

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．

【点睛】本题考查了完善列联表，考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．

22．已知函数，.

（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）已知，当，试比较与的大小，并给予证明.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3），证明见解析.

【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得，根据导数几何意义可求得结果；

（2）分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；

（3）令，可求得；令，利用导数和零点存在定理可确定，即的正负，从而得到的单调性和最值，通过最值可知，进而得到大小关系.

【详解】（1）由题意得：，

是的极值点，，解得：

，又，

所求切线方程为，即.

（2）由题意得：定义域为，，

当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，令，解得：，

当时，；当时，；

的单调递增区间为；单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）令，

则，

令，则，

函数在上单调递增，

又，，存在唯一零点，使得

当时，；当时，；

当时，；当时，；

函数在上单调递减，在上单调递增，，

又，即，，，

在上恒成立.

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值求解参数值、求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调性、比较函数大小关系的问题；比较函数大小关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.