2022-2023学年江西省南昌市八一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市八一中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（    ）

A．60种 B．120种 C．125种 D．243种

【答案】C

【分析】采用分步乘法计数原理进行计算。

【详解】由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，所以每个人有5种选择．则不同的报名方式共有（种），

故选：C．

2．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．

【详解】由题意，解得，

∴椭圆方程为或

故选：A．

【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．

3．设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】C

【分析】设直线的方向向量为，利用，，又与有公共点B，从而即可求解.

【详解】解：因为，，为平面的三点，

所以，，

设直线的方向向量为，则，

因为，,

所以，，又与有公共点B，

所以直线垂直于平面，即，

故选：C.

4．若直线的方向向量为，平面、的法向量分别为、，则下列命题为假命题的是（    ）

A．若，则直线平面

B．若，则直线平面

C．若，则直线与平面所成角的大小为

D．若，则平面、的夹角为

【答案】B

【分析】利用空间线面位置关系与空间向量的关系，可判断AB选项的正误；利用空间角与空间向量的关系可判断CD选项的正误.

【详解】对于A选项，若，则为平面的一个法向量，故直线平面，A对；

对于B选项，若，则直线平面或直线平面，B错；

对于C选项，若，则直线与平面所成角的大小为，C对；

对于D选项，若，则平面、的夹角为，D对.

故选：B.

5．如图，在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构建空间直角坐标系，求，的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求与所成角的余弦值即可.

【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，

∴，.

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B

6．已知直线交椭圆于两点，若点为两点的中点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用点差法求得直线的斜率.

【详解】椭圆，

依题意可知直线的斜率存在，

设，则，

两式相减并化简得，

即，

所以直线的斜率为.

故选：D

7．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.

【详解】椭圆的焦点，

设，

，

所以，

由于，，

所以的取值范围为.

故选：A

8．棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（          ）

A．2 B． C．4 D．1

【答案】A

【分析】先证明PD=2PC，再在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，求出，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值.

【详解】

设，所以，，

所以PD=2PC.

在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，

设点P(x,y),则，

整理得，

所以，

即,所以|AP|的最小值为2.

故选：A

【点睛】本题主要考查线面角的计算，考查空间几何的轨迹问题，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、多选题

9．到直线的距离等于的直线方程可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】易知所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，利用平行线间的距离求解.

【详解】因为所求直线与直线的距离为，

所以所求直线与已知直线平行，

设所求直线方程为，

所以，

解得或，

故所求直线方程为或．

故选：CD

10．下列四个结论正确的有 （    ）

A．对于任意两个向量，若，则或或

B．若空间中点 满足，则三点共线

C．空间中任意三个向量 都满足

D．对于任意两个向量， 都有

【答案】AB

【分析】对选项A，根据得到或或，即可判断A正确，对选项B，根据题意得到和为公共点，即可判断B正确，对选项C，利用特殊向量即可判断C错误，对选项D，根据即可判断D错误.

【详解】对选项A，若，则或或，故A正确.

对选项B，因为，

所以，

所以，

又因为为公共点，所以三点共线，故B正确.

对选项C，若为空间向量中的单位向量，且夹角为，

的夹角为，

则，，，故C错误.

对选项D，因为，

当时，，故D错误.

故选：AB

11．圆与圆相交于，两点，则（    ）

A．的直线方程为 B．公共弦的长为

C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为

【答案】ACD

【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.

【详解】由，得，则，半径，

由，得，则，半径，

对于A，公共弦所在的直线方程为，

即，所以A正确，

对于B，到直线的距离，

所以公共弦的长为，所以B错误，

对于C，因为，，，

所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，

对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，

所以直线为，即，所以D正确，

故选：ACD

12．某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（    ）

A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式

C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节

【答案】BD

【解析】根据表格分类讨论即可得到结果.

【详解】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：

若生物选第2节，

则地理可选第1节或第3节，有2种选法，

其他两节政治、自习任意选，

故有种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；

若生物选第3节，

则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．

根据分类加法计数原理可得选课方式有种．

综上，自习可安排在4节课中的任一节．

故选：BD.

三、填空题

13．求双曲线的渐近线为        .

【答案】

【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.

【详解】双曲线的标准方程为，

所以，且双曲线的焦点在轴上，

渐近线方程为.

故答案为：.

14．已知向量，，则的值为         .

【答案】

【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

15．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是       

【答案】

【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的对称点求得反射光线所在直线方程.

【详解】由解得，

所以直线与的交点为，

点在直线上，

点关于直线的对称点在反射光线上，

所以反射光线所在直线方程为，

整理得

故答案为：

四、双空题

16．如图，在四面体中，是的重心，G是上的一点，且，若，则           ；若四面体是棱长为2的正四面体，则           .

【答案】     /0.75     /

【分析】第一空：利用空间向量的线性运算法则，结合三角形重心的性质求解；

第二空：将两边同时平方，利用数量积的运算律计算即可.

【详解】

，

则

将两边同时平方得：

故答案为：；.

五、解答题

17．已知抛物线C的方程是.

(1)求C的焦点坐标和准线方程；

(2)直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.

【答案】(1)焦点为，准线方程：

(2)

【分析】（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．

【详解】（1）（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，

∴，∴焦点为，准线方程：.

（2）∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，

∴直线L的方程为，

代入抛物线化简得，

设，则，

所以．

故所求的弦长为12．

18．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．

（1）求证：；

（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）利用平面可得，再利用即可；

（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系即可求出；或利用等体积法也可.

【详解】（1）证明：∵平面，平面，

∴，又，

，平面，平面，

∴平面，

又平面．

∴．

（2）解：法一：如图，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，

∴，，，

设为平面的法向量，

则，即，

令，则，

设直线与平面所成角为，

则．

法二：如图，

在中，由得，

在中，由得，

在中，由得．

在中，由得，

在中，由，

得，

，

设点到平面的距离为，

由，

得，

即，

设直线与平面所成的角为，

则．

19．正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：

(1)点到直线的距离；

(2)点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离.

（2）利用向量法求得到平面的距离.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

所以到直线的距离为:

.

（2）由（1）得

设平面的法向量为，

则，故可设，

所以点到平面的距离为．

20．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，.

(1)试用向量，，表示向量；

(2)若，，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用，然后，最后计算即可.

（2）根据（1）的条件，先平方后开方计算即可.

【详解】（1）由题可知：，点E为的中点

所以，

所以

所以

（2）由（1）可知，

且，，

所以

所以

21．在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将沿AC折起到位置，使得平面平面（如图2）.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的大小.

（3）设，根据与平面所成角的正弦值列方程，求得，进而求得正确答案.

【详解】（1）在梯形中，，，，P为AB的中点，

可得为等边三角形，四边形为菱形，

故，而平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）得，，，故，，

而平面平面，平面平面，平面，，

平面，

两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则取得，

平面的一个法向量为，

由图得二面角为锐角，设二面角为，

故，

因为，所以二面角的大小为.

（3）设，则，，，

的，，

设平面的一个法向量为

CQ与平面所成角的正弦值为，

化简得，解得（舍去），

故存在，使得CQ与平面所成角的正弦值为．

22．已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．

(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；

(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

【分析】(1)由题意知C： ，进而设直线l的方程为 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；

(2）设直线l的方程为），进而结合向量的坐标表示得 ， 再结合在双曲线上,推得得是方程的两根，进而得 ，证明结论.

【详解】（1）当 时 ，双曲线C：，

过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，

则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

与C联立得， ，

则，则 ，

由

，

可得 ，所以 ，

所以．

（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，

则，

由 , 得 ，

所以 ， ，

 由点M在双曲线C上，可得 ，

化简得 ，

同理 ，

故是方程的两根，则为定值.