2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区第二中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知点，，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“相关点直线”．给出下列直线:①；②③；④，其中为“相关点直线”的是（    ）

A．①③ B．②④ C．②③ D．③④

【答案】B

【分析】根据可判断点的轨迹为圆，将问题转化为直线与圆有共同点即可，利用代数法联立方程判别式法或者利用圆心到直线的距离与半径的关系的几何法即可求解.

【详解】由题意可知，点P的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，其方程是．

解法一:①把代入并整理得，，∴，∴直线与圆相离，∴直线不是“相关点直线”．

同理，通过联立直线和圆的方程，可得直线②，④与圆相交，直线③与圆相离．所以②④符合题意．

故选:B．

解法二:①圆心到直线，即的距离为，∴直线与圆相离，∴直线不是“相关点直线”．

同理，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，可得直线②，④与圆相交，直线③与圆相离．所以②④符合题意．

故选:B．

2．极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距是（    ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由极坐标化为直角坐标方程并确定圆心坐标，应用两点式求圆心距.

【详解】由对应普通方程为，即圆心为，

由对应普通方程为，即圆心为，

所以两个圆的圆心距为.

故选：C

3．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】A

【解析】将变形为，由等差数列的定义得出，从而得出，求出的最值，即可得出答案.

【详解】因为时，，所以，而

所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.

又因为恒成立，即恒成立，所以.

由得

所以，所以，即实数的最小值是2

故选：A

4．直线与直线互相垂直，则a的值为（    ）

A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0

【答案】C

【分析】先考虑其中一条直线的斜率不存在时（和）是否满足，再考虑两直线的斜率都存在，此时根据垂直对应的直线一般式方程的系数之间的关系可求解出的值.

【详解】当时，直线为：，满足条件；

当时，直线为：，显然两直线不垂直，不满足；

当且时，因为两直线垂直，所以，解得，

综上：或.

故选C.

【点睛】根据两直线的垂直关系求解参数时，要注意到其中一条直线斜率不存在另一条直线的斜率为零的情况，若两直线对应的斜率都存在可通过去计算参数的值.

5．已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（    ）

A．100 B．25 C．50 D．

【答案】D

【解析】设圆的方程为，将代入，求出圆的方程，即可求出面积的最大值.

【详解】设圆的方程为，将代入可得，

，解得.

故圆的一般方程为，即，

故的面积.

面积的最大值为.

故选：.

【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.

6．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】试题分析：如图所示：曲线即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），

表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，

直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，

∴b=1+2，b=1-2

当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1

结合图象可得≤b≤3

故答案为C

7．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将转换为，连接，找到点的位置，从而求出线段和的最小值

【详解】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示：

作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，此时，的值最小，且，由圆的标准方程得：点坐标为，半径，所以，，所以最小值为9

故选：C

8．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.

【详解】解：依题意，当时，，则，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，

所以，

所以

，

所以的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ）

A．直线的一个方向向量为

B．直线的一个方向向量为

C．平面的一个法向量为

D．平面的一个法向量为

【答案】AC

【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.

【详解】由题意，,,,,,

∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；

设平面的法向量为， 则,

由，得，

令得，则正确;

设平面的法向量为，则，

由，得，

令得，则不正确.

故选：.

10．已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，（），若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的方程为

B．双曲线的离心率为

C．函数（，）的图象恒过双曲线C的一个焦点

D．直线与双曲线C有两个交点

【答案】AC

【分析】根据已知可得为定值，结合基本不等式求出的取值范围，得到t的最大值，从而取出m，逐项判断即可.

【详解】设，则，

所以，

所以，

又，

当且仅当等号成立，

又，且实数t的最大值为1，

所以，即，

所以双曲线的方程为，故A正确；

则双曲线的离心率，故B错误；

双曲线的焦点坐标为，

函数（，）的图像过定点，故C正确；

双曲线的渐近线为，而直线的斜率为，

所以直线与双曲线C有没有交点，故D错误，

故选：AC

【点睛】本题考查双曲线标准方程求法、双曲线的性质，利用圆锥曲线的常用结论是解题的突破口，考查分析理解，计算化简的能力，属于中档题.

11．下列说法不正确的是（    ）

A．不能表示过点且斜率为k的直线方程

B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为

C．直线与y轴的交点到原点的距离为b

D．设，若直线与线段有交点，则a的取值范围是

【答案】BCD

【分析】利用给定式子有意义可判断A；利用直线方程的截距式能表示直线的前提判断B；

利用直线截距的意义判断C；直线l过定点，借助数形结合可得a的范围判断D作答.

【详解】因过点且斜率为k的直线方程为，由知，，即不过点，A正确；

当x轴、y轴上的截距a，b都为0时的直线方程不能用表示，B不正确；

直线中的b是该直线在y轴上的截距，它可以取负数，而直线与y轴的交点到原点的距离为非负数，C不正确；

直线过定点P(0，-1)，如图，直线PB斜率，直线PA斜率，

点P与线段AB上的点所成直线斜率范围是，

即或，则a的取值范围是，D不正确.

故选：BCD

12．已知正项数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则，

B．，使单调递增

C．，使

D．若，则数列中有无穷多项大于

【答案】ACD

【分析】直接由递推关系式依次计算即可判断A选项；由和作差得到进而得到和异号即可判断B选项；由即可判断C选项；分和结合递推关系式依次判断和的大小即可判断.

【详解】对于A，若，则，

，，即，，A正确；

对于B，由可得，两式相减得，

由可得，若，则，

若，则，故不具有单调性，B错误；

对于C，若，由解得，显然恒成立；

若，由上知：，可得，，又为正项数列，，可得，

即存在，使，故C正确；

对于D，若，则，，，可知为偶数时，；

若，则，，，可知为奇数时，；

故时，数列中有无穷多项大于，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若圆与圆的公共弦的长为，则圆上位于下方的点到的最长距离为             .

【答案】

【分析】先求出公共弦的方程，利用公共弦长为可以得到到公共弦的距离后可得下方的点到的最长距离.

【详解】公共弦的方程为，因弦长为，故圆心到的距离，所以即，圆心，故到的距离为，又圆心的半径为，故圆上位于下方的点到的最大距离为.

【点睛】如果圆与圆相交，那么公共弦的方程为.

14．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为     ．

【答案】

【分析】根据两个圆外切，连心线长度等于两个圆半径之和，列出方程，解方程组求得的值.

【详解】两个圆的圆心分别为，两个圆的半径分别为，由于两个圆外切，故，解得.

【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的标准方程和几何性质，考查两点间的距离公式.属于基础题.两个圆的半径分别为，圆心距为，若，则这两个圆外切；若，则这两个圆外切；若，则这两个圆相交；若，则这两个圆内切；若，则这两个圆内含.

15．直线与圆相切，则          .

【答案】

【分析】由直线与圆相切的几何表达式 列式可得结果.

【详解】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，

即：到直线的距离为，

，求解关于实数的方程可得：.

故答案为：.

16．记为等差数列的前项和，若，则           .

【答案】7

【分析】根据下标和性质得到，再根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】解：∵是等差数列，，

.

故答案为：

四、解答题

17．已知抛物线和直线相交于，两点，且抛物线的焦点在直线上.

（1）求；

（2）设圆经过，两点，且与抛物线的准线相切，求圆的方程

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）将抛物线的焦点为代入直线的方程解出，再方程联立，由抛物线的定义可得弦长得到答案.

（2）设圆的圆心坐标为，求出的中垂线方程，根据条件可得，从而可得圆心坐标，得出答案.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

由代入直线的方程得，即的方程为，

设，，则由得，

所以，，

由抛物线定义得

（2）由（1）得线段的中点坐标为，

所以的中垂线方程为即，

设圆的圆心坐标为，而抛物线的准线为，

则由解得，或，

所以圆的方程为或.

【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系以及求弦长和求圆的方程，解答本题的关键是根据抛物线的定义可得弦长，由条件得出关于圆心的方程组，属于中档题.

18．已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用可得关于的递推关系，整理得到，从而为等差数列，利用公式可求其通项.

 （2）利用等差数列的前项和的公式得到，故，利用裂项相消法可求的前项和后可求其该和的范围为，从而可求的最小值.

【详解】（1）时，，又，所以，

当时，

，

作差整理得：，

因为，故，所以，

故数列为等差数列，所以．                

（2）由（1）知，所以，

从而

．

所以，故的最小值为．

【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

19．已知数列及，，．

（1）求的值，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和；

（3）若对一切正整数n恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），，；（2）

（3）或

【分析】（1）由可得，，；由可得，进而求得；

（2）设数列的前n项和为，求得，分别讨论及时的正负，即可得到与的关系，进而求得的公式；

（3）令，利用单调性求出最大值，则原不等式可等价于对一切正整数n恒成立，求解m即可．

【详解】（1）因为，

所以所以；

，所以；

，所以.

因为，

所以，即.

所以.

（2）由（1）知，，故数列的前n项和：

，

由得，

则当，时，

=；

当，时，

=；

综上，.

（3）令，

∴当时，；

当时，；

当时，.

∴当n=2时，取最大值.

又对一切正整数n恒成立，

即对一切正整数n恒成立，

得或

20．已知两个定点，如果动点满足.

(1)求点的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；

(2)若直线分别与点的轨迹和圆都有公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，轨迹是以为圆心，半径为2的圆；

(2).

【分析】（1）设，利用两点距离公式及已知，整理化简即可得轨迹方程，进而判断图形.

（2）由直线与圆的有交点，利用圆心到直线距离与半径的关系列不等式求参数k的范围即可.

【详解】（1）设，由，则，化简得：；

∴的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.

（2）直线与圆相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，

直线与圆相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，

∴综上，直线分别与的轨迹和圆都有公共点时，实数.

21．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据已知条件及等比数列，求出数列的公比，可得数列的通项公式，再根据数列，之间的关系及等差数列的定义，求数列{bn}的通项公式；

（2）记，对化简、变形，得，再对分奇偶进行证明即可．

【详解】（1）设数列的公比为，由，得，

又，得，解的或（舍去），

∴．又，

∴，即，得．

当时，，得，

∴，即，

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故．

（2）由（1），记，则，

由，

可知．

当为奇数时，；

当为偶数时，．

综上所述，．

【点睛】关键点点睛：

（1）由等比数列的性质求等比数列通项，根据等差数列的定义判断等差数列并写出通项公式；

（2）对化简变形，将其分解为两项之和形式，再对中的分奇偶进行讨论．

22．在平面直角坐标系中，点为椭圆上一动点，直线交椭圆于两点，且满足．

（Ⅰ）已知直线的斜率为，用表示的值；

（Ⅱ）若的面积为，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）设，利用点差法和平面向量基本定理可得结果；

（Ⅱ）求出线段中点坐标和直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形面积公式求出三角形的面积，结合已知面积列方程可解得结果.

【详解】（Ⅰ）设，则，，

两式相减，可得，所以，

 又由，所以，

所以，，

故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

所以线段中点坐标为，

故直线的方程为，即，    

将代入，并整理得，

所以， ，

故

又因为点到直线的距离

，

所以

，            

化简得，即，

因为恒成立，故．

【点睛】本题考查了斜率公式，考查了平面向量基本定理，考查了点到直线的距离公式、弦长公式，考查了三角形的面积公式，考查了运算求解能力，属于中档题.