2022-2023学年江苏省无锡市江阴市第一中学高二下学期5月阶段测试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市江阴市第一中学高二下学期5月阶段测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市第一中学高二下学期5月阶段测试数学试题 一、单选题1．已知M，N均为R的子集，且，则（    ）A． B．M C．N D．R【答案】C【分析】利用补集、子集的定义可得，再利用交集的定义求解作答.【详解】M，N均为R的子集，且，如图，于是得， 所以.故选：C2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．【详解】若“，”为真命题，得恒成立，只需，所以时，不能推出“，”为真命题，“，”为真命题时推出，故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．3．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（    ）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；两边取常用对数，得；；所以.故选：D.4．下列说法错误的是（    ）A．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心B．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系C．若随机变量，其中，则D．若事件A与B互斥，且，则【答案】C【分析】A选项，根据最小二乘法的定义得到A正确；B选项，根据卡方的意义得到B正确；C选项，推导出，C错误；D选项，根据互斥事件的关系得到，再利用条件概率公式进行求解【详解】A选项，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，A正确；B选项，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关，B正确；C选项，若随机变量，其中，则，则，C错误；D选项，因为事件A与B互斥，且，则，且，则，D正确.故选：C5．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断出真数部分对应函数的单调性，结合定义域可求参数的取值范围.【详解】设，因为，故在上为减函数，而在区间内单调递增，故为减函数，故，又在上满足恒成立，故，故，故选：B.6．已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由解析式判断分段函数的单调性，根据单调性有在上恒成立，求a的范围.【详解】由在上递增，值域为，在上递增，值域为，所以在定义域上递增，且值域为，由题设不等式恒成立，即，故在上恒成立，所以.故选：D7．已知，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指对数互化，利用对数函数的性质判断a、b、c的大小.【详解】由题设，，又，而，则，综上，.故选：A8．已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由a，b，c，d满足：，得到点在曲线上，点在上，从而得到的几何意义就是曲线上的任一点到上的任一点的距离的平方.利用导数求出就是两曲线间距离的最小值，即可求出的最小值.【详解】因为实数a，b，c，d满足：，所以，.所以点在曲线上，点在上.所以的几何意义就是曲线上的任一点到上的任一点的距离的平方.由几何意义可知，当的某一条切线与平行时，两平行线间距离最小.设在点处的切线与平行，则有：，解得：，即切点为.此时到直线的距离为就是两曲线间距离的最小值，所以的最小值为.故选：B 二、多选题9．下列说法不正确的是（    ）A．若，则B．命题“，使得”的否定是“，都有”C．关于的不等式对于任意的都成立，则D．若，则，【答案】ACD【分析】AC可举出反例，B选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；D选项，利用换元法求解函数的解析式，注意定义域.【详解】A选项，当时，满足，但此时，故A选项说法错误；B选项，命题“，使得”的否定是“，都有”，B正确；C选项，当时，对于任意的成立，满足要求，当时，由，解得，故，C说法错误；D选项，令，则，故，故，，D说法错误.故选：ACD10．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（    ）A．若，则B．若，则A，B相互独立C．若A，B不相互独立，则D．若，则【答案】BD【分析】根据题意，利用相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式以及条件概率公式，依次判断所给的4个结论即可．【详解】对于A，若，则，故A错误;对于B，，,由于，则，相互独立，故B正确；若，不相互独立，则,故，故C错误；对于，，则，，则，故D正确.故选:BD11．已知实数，，满足，一定成立的不等式有（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】通过举例，令来判断A，B，通过构造函数，利用函数极值证明，进而判断C，利用基本不等式证明选项D【详解】解：对于选项A，取，则，而，故A错误；对于选项B，取，则，而，故B错误；对于选项C，由得到，构造，，可以得到，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取最小值，，故当时，，当且仅当时取等号，故C正确；对于选项D，，当且仅当即时等号成立，故D正确.故选：CD12．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（    ）A．B．当时，C．对不等式恒成立．则a的最大值为D．曲线 与曲线在上有1516个公共点【答案】AB【分析】首先得到的周期为4，利用周期性判断A；根据周期性求上的解析式判断B；画出的函数图象，根据恒成立判断a的范围判断C；画出的图象，数形结合、周期性判断区间内与的公共点个数判断D.【详解】由，故，所以，故的周期为4，又，，，A正确；若，则，若，则，若，则，B正确；由上分析可得函数图象如下：由，则，要使恒成立，由图知：，即，故a无最大值，C错误；由解析式及其图象：上有3个交点，所以在上有个公共点，在有2个公共点，故共有个公共点，D错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性及区间解析式画出函数图象，根据恒成立判断参数范围，利用周期性确定闭区间上两函数交点个数. 三、填空题13．写出一个同时具有下列性质①②的函数            ．①；②．【答案】（答案不一）【分析】本题属于开放性问题，只需填写符合要求的即可；【详解】解：依题意令，则，；故答案为：（答案不一）14．在的展开式中，x的系数为       ．【答案】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数．【详解】的展开式中，通项公式为，令，求得，可得展开式中含x项的系数.故答案为：．15．已知三次函数无极值，且满足，则      .【答案】【分析】由已知无变号零点可得，即，结合不等关系及基本不等式有，即可求目标式的值.【详解】由题设，则，即，所以，当且仅当时等号成立，又，故，可得，所以.故答案为： 四、双空题16．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬奥运会的比赛之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在⊙O中，得3分，冰壶的中心落在圆环A中，得2分，冰壶的中心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲､乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为；甲、乙得2分的概率分别为；甲、乙得1分的概率分别为.甲、乙所得分数相同的概率为           ；若甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的数学期望为           .【答案】          /【分析】利用独立事件同时发生的概率公式去求甲、乙所得分数相同的概率即可；先求得X的各可能取值对应的概率，再利用随机变量数学期望的公式即可求得X的数学期望.【详解】乙得3分的概率分别为；甲、乙得2分的概率分别为；甲、乙得1分的概率分别为.则甲得0 的概率为，乙得0 的概率为则甲、乙所得分数相同的概率为甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的可能取值为0，1， 2， 3， 4， 5，6，则；；；；；则故答案为：； 五、解答题17．不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合.(1)求集合A；(2)若___________，求实数m的取值范围．在①；②“ ​”是“​”的充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由不等式对一切实数x恒成立，分和两种情况讨论，当时可得，求解即可；（2）选①②③都有，从而列出不等式组，求解即可.【详解】（1）因为对一切实数x恒成立，所以当时，恒成立，满足题意；当时，则需，解得，综上，，故集合.（2）选①，，则，即不等式在区间上恒成立，令，则，解得，所以实数m的取值范围为；选②，“ ”是“​”的充分条件，则，同理得实数m的取值范围为；选③，“”是“”的必要条件，则，同理得实数m的取值范围为.18．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．  (1)请完成下列22列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关． 上课转笔上课不转笔合计合格25  优秀 10 合计  100(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望．(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为的概率为，当取最大值时，求k的值．附：，其中k【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.(2)分布列见解析，.(3). 【分析】（1）由卡方独立性检验计算可得；（2）由超几何分布的概率计算公式可得；（3）由二项分布的概率公式，结合求概率最大的方法可得.【详解】（1） 上课转笔上课不转笔合计合格254570优秀201030合计4555100零假设：成绩是否优秀与上课是否转笔无关.根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.（2）根据频率分布直方图大于600分的频率为，小于600分的频率为，故由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人，则从这10人中随机抽取5人，合格人数服从超几何分布，由题意的可能值为，故，，，，故分布列为2345.（3）由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为，故根据题意，则，若上课转笔的人数为时，最大，则，解得，故，所以当最大时，.19．已知函数是定义在上的奇函数，(1)求的值；(2)设函数，判断的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若函数（其中）在的最小值为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3) 【分析】（1）根据奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得正实数的值；（2）求得，根据指数函数的单调性可判断出函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明可得出结论；（3）令，，对实数的取值范围进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合已知条件可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：因为为上的奇函数，则，因为，则，可得对任意的恒成立，所以，，，解得.（2）解：由（1）可知，函数为上的增函数，证明如下：任取、且，则，所以，，所以，，故在上为增函数.（3）解：因为，当时，令，，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，①当时，即当时，函数在上为增函数，此时，解得，合乎题意；②当时，即当时，，可得，不合乎题意；③当时，即当时，函数在上为减函数，此时，解得，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.20．已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，证明【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）求出，对a分类讨论得出函数的单调性即可；（2）化简进而即证：对任意的恒成立，通过求导进而得证.【详解】（1）解：当时，当时，，则令，则，或，，则，综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）有两个极值是方程的两个不等实根，则要证：，即证：不妨设，即证：即证：对任意的恒成立令，，则从而在上单调递减，故，所以21．一个袋中装有黑球，白球和红球共个， 这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出个球， 得到黑球的概率是. 现从袋中任意摸出个球.(1)用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率， 并写出概率最小时的值. （直接写出的值）(2)若， 且摸出的个球中至少有个白球的概率是， 设表示摸出的个球中红球的个数， 求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；时，取得最小值.(2)分布列见解析， 【分析】（1）由题知袋中共有黑球，进而根据超几何模型求解概率，并结合单调性求得取得最小值时的值；（2）由题知，袋子中有黑球个，设袋中有白球个，，，进而根据题意得，故袋子中有红球个，再根据超几何分布求分布列，期望.【详解】（1）解：因为从袋中任意摸出个球， 得到黑球的概率是.所以，袋中共有黑球.记“摸出的球都是黑球”为事件，则，由于函数在上单调递增，所以，当时，取得最小值.（2）解：当时，袋子中有黑球个，设袋中有白球个，，，记“从袋中摸出的个球中至少有个白球”为事件，因为摸出的个球中至少有个白球的概率是所以，，整理得，解得或（舍）所以，袋子中有红球个，有白球个，黑球个.所以，随机变量的取值为，，，，所以，随机变量的分布列为：所以，22．已知函数．(1)当时，证明：；(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）求出导函数，由导函数的正负确定单调性得极小值，求得极小值后可证不等式成立；（2）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间，有极值的求得极值，结合零点存在定理得零点个数，从而得参数范围．【详解】（1）当时，令．令，解得，x2－0＋单调递减单调递增所以，当时，取到最小值，且最小值为，即恒成立．（2），1）当时，，所以在上单调递增，故至多存在一个零点，不合题意．2）当时，由可得，当时在上单调递减；当时在上单调递增；故当时，取到最小值，且最小值为．①若在上至多存在一个零点，不合题意；②若；由于，所以在上存在唯一零点．．设，则，当时，，所以在上单调递增．因为，所以，即．从而在上有两个零点．综上，a的取值范围为．