2024届江苏省江阴市第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案

这是一份2024届江苏省江阴市第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，，再根据补集和交集的概念即可求解．
【详解】由，可得，即，则，
由，可得或，则或，所以，
故.
故选：A.
2．设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解.
【详解】由复数，可得，所以，
所以.
故选：D.
3．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可.
【详解】解：设向量与的夹角为θ，
∵，
不妨设，则，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题.
4．设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解出的范围，结合二次函数的性质求解出的范围，由此可比较出大小.
【详解】因为m，n为正实数，所以，当且仅当时取等号，
又，
所以，
故选：B.
5．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
6．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可
【详解】
由已知得：，，
所以，
由得：
所以
所以
由得：
所以
故选：C
7．“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排，，，，，，G，H共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生不安排看望老人甲，学生不安排看望老人乙，则安排方法共有（ ）
A．1260种B．2520种C．1440种D．1890种
【答案】C
【分析】利用组合计数，结合乘法计数原理求得每两位学生看望一位老人的总安排方法数，以及A看望老人甲、B看望老人乙的情况和看望老人甲同时B看望老人乙的方法种数，然后利用集合的元素个数的容斥原理计算可得所求.
【详解】8名学生看望四位老人，每两位学生看望一位老人共有种安排方法，
其中A看望老人甲的情况有种；
B看望老人乙的情况有种；
A看望老人甲，同时B看望老人乙的情况有种，
符合题意的安排方法有种，
故选：C.
【点睛】本题考查组合应用问题，关键是从正面计算，并利用集合的容斥原理求解.
8．已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线相切于点，，的中点为，下面给出了四个结论:
①直线过定点；
②的斜率不存在；
③轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
④，两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
其中正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【答案】C
【分析】利用导数求得切线方程，进而可得直线的方程，可判断①，联立直线与抛物线，可得点坐标，可判断②，设点，结合韦达定理可判断③，根据抛物线定义结合韦达定理可判断④.
【详解】设，，因为，所以，
所以过点的切线方程为，即，所以（i），
同理过点得切线方程为（ii），
将分别代入（i）（ii），得，，
所以直线的方程为，所以直线过定点，故①错误；
联立方程，得，整理得，
所以，则，，所以点的横坐标为，所以轴，故②正确；
设，由题意得，，设直线，的斜率分别为，.则.
当时，，即直线与直线关于轴对称，故③正确；
因为点到准线的距离为，点到准线的距离为，所以，故④正确；
故选：C.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
二、多选题
9．递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当时最小D．时n的最小值为8
【答案】ABD
【分析】由等差数列通项公式基本量的计算即可判断AB；由等差数列前n项和二次函数特性即可判断C；由等差数列前n项和的不等式法即可判断D.
【详解】A、B：由题意可设等差数列的公差为d，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确.
C：，
由得，当或4时最小，故C错误.
D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确.
故选：ABD.
10．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则的可能取值为（ ）
A．5B．20C．35D．50
【答案】BC
【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.
【详解】第一次操作后，剩下的纯药液为，
第二次操作后，剩下的纯药液为，
因为第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，
所以解得
又，所以的取值范围为，
故选：BC.
11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
12．若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知函数()，若有最小值，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先，根据函数解析式求得二次函数的对称轴为，所以在区间上，单调递增，所以在时取得最小值，在处取得最大值，代入求得参数；再求得即为答案.
【详解】解：∵开口向下，对称轴，
∴在上单调递增，最小值为，最大值为．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴和单调性，考查运算求解能力，属于基础题型.
14．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是 .
【答案】240
【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.
【详解】先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240
15．如图，在棱长为1的正方体中，直线到平面的距离等于 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系后，利用向量法可证平面，再求点到平面的距离即可.
【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
又，所以.
又平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于直线到平面的距离为.
16．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.
四、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
18．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
19．如图，四边形ABCD为正方形且边长为2，E、F分别为AD、BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)证明BF⊥平面PEF即可；
(2)作，垂足为H，以H为坐标原点，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，求出各所需点坐标，求出平面ABFD法向量，利用向量法求解所求角.
【详解】（1）由已知可得，，又，∴平面．
又平面，∴平面平面；
（2）作，垂足为H．由(1)得，平面．
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，设＝1，建立如图所示的空间直角坐标系且；
由(1)可得，．
又，∴，又，故．
可得，
则，，则，
易知为平面的法向量．
设与平面所成角为，
则．
∴与平面所成角的正弦值为．
20．双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率．
【答案】（1）．（2）．
【详解】试题分析：（1）设，根据题设条件可以得到，从而解得的值．
（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．由|AB|=4构建关于的方程进行求解．
试题解析：（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，．
设，，直线．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
由，，得，
故，
解得，故的斜率为．
【解析】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、弦长公式
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
21．销售费用预算是以销售收入预算为基础，通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系，力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示，某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的为合理区间，当年销售费用超出年销售收入的，说明企业的销售环节出现一定的问题，需要加强销售管理.下表为该企业的年销售费用x（单位：千万元）和年销售收入y（单位：千万元）的相关数据：
(1)求年销售费用x的方差.
(2)通过数据分析，该企业的年销售用x与年销售收入y之间符合线性相关关系，求出线性回归方程.
(3)若该企业2023年预算年销售费用为12千万元，试预测2023年的年销售收入，并判断2023年的年销售费用预测值是否在合理区间内.（精确到0.01千万元）
参考数据：374.
参考公式：，，，.
【答案】(1)
(2)
(3)约121.67万元，在合理区间内
【分析】（1）计算，再计算方差得到答案.
（2）确定，根据公式计算，，得到回归方程.
（3）计算预测值，在合理区间内，得到答案.
【详解】（1），
.
（2），故.
由题表中的数据，得.
又因为，所以，
所以，
所以该企业的年销售费用x与年销售收入y之间的线性回归方程为.
（3）2023年的年销售收入的预测值（千万元）.
，2023年的年销售费用预测值在合理区间内.
22．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
2017
2018
2019
2020
2021
2022
x
3
5
6
8
9
11
y
31
50
54
86
85
114
0
1
0
0
0