2022-2023学年内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法公式化简，进而可得解.

【详解】由，

其在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，

故选：A.

2．若复数，则的共轭复数＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算化简复数，结合共轭复数的定义可得复数.

【详解】因为，因此，.

故选：A.

3．已知命题，则为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.

【详解】含有量词的命题的否定步骤为：替换量词，否定结论.

所以为.

故选:C

4．若：，：，则是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件分析判断.

【详解】由题意可得：：，

显然可以推出，但不能推出，

所以是的必要非充分条件.

故选：B.

5．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】举特值可知都不正确，根据指数函数为增函数可知正确.

【详解】当时，，，故和不正确；

当时，，故不正确；

 因为为增函数，所以当时，，故正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题.

6．椭圆的长轴长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】将椭圆的方程化为标准方程求解.

【详解】解：椭圆的标准方程为，

所以，则长轴长为.

故选：D

7．双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程性质和双曲线的离心率公式，即可求解.

【详解】由双曲线中，

所以离心率，

故选：C.

8．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】变换得到，得到焦点坐标.

【详解】抛物线，即，，，故焦点坐标为.

故选：D

9．已知，则的值为（    ）

A． B．– C． D．–

【答案】C

【分析】求导，再令即可得解.

【详解】，

所以.

故选：C.

10．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数

B．当时，取到极小值

C．在区间上，是减函数

D．在区间上，是增函数

【答案】D

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;

对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．

故选：D.

11．已知函数，则的极小值为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【分析】利用导数求极值.

【详解】函数的定义域为.导函数.

令，解得：.

列表得：

所以的极小值为-1.

故选：B

12．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象.

【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，

故选：D.

二、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离为          .

【答案】6

【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程即可计算作答.

【详解】由抛物线可得，且焦点在y轴正半轴上，

则焦点坐标为，准线为，

所以焦点到准线的距离为.

故答案为：6.

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点椭圆上，且，则        .

【答案】4

【分析】根据椭圆的定义即可求解.

【详解】因为椭圆，则椭圆的长轴长，

又，，

所以，

故答案为：4.

15．已知函数的导函数为，且满足，则        ．

【答案】

【分析】根据题意，求导可得，然后令，即可得到结果.

【详解】因为，则，

令，可得，解得.

故答案为:

16．已知函数，则曲线在点处的切线方程为        .

【答案】

【分析】根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】，，

切线斜率，故切线方程为，

即.

故答案为：

三、解答题

17．求下列函数的导数

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）利用求导法则可求得.

【详解】（1）解：因为，则.

（2）解：因为，则.

18．求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标

【答案】长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.

【分析】把椭圆方程化为标准方程，求得的值，进而求得长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.

【详解】由椭圆，可得，

可得椭圆的焦点在y轴上，且，则，

所以，

所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率，

焦点为，顶点坐标为.

19．分别求适合下列条件的方程：

(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；

(2)经过点的抛物线的标准方程.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；

（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.

【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为

由条件可得.所以.

所以，

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.

（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，

此时，所求抛物线的标准方程为；

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，

此时，所求抛物线的标准方程为.

综上所述，所求抛物线的标准方程为或.

20．已知曲线：

(1)求的值；

(2)求曲线在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线上也在切线上的原理求解..

【详解】（1）由题得，所以.

（2）因为，

所以，切线方程为，

即.

21．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

22．被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动．”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态．某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示．

(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；

(2)依据的独立性检验，能否认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)，

(2)该地大学生是否喜欢跑步与性别有关

【分析】（1）根据题意可得女大学生有人，进而可得喜欢跑步的频率，再完善列联表可得男大学生喜欢跑步的频率；

（2）完善列联表，计算卡方进行独立性检验即可.

【详解】（1）由题意可得样本中女大学生有人，则女大学生喜欢跑步的频率是，故该地女大学生喜欢跑步的概率是．

由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，

故该地男大学生喜欢跑步的概率是．

（2）由题意，完善列联表：

零假设为：该地大学生是否喜欢跑步与性别无关．

由题意可得．

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．